1612725465-542b3179b36a4849700e0b2ecf7da111 (828844), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Функция minmod обладает следующими свойствами:minmod(u, v) = minmod(v, u);|minmod(u, v)| ≤ |u|,|minmod(u, v)| ≤ |v|;(3.41)(3.42)minmod(u, v) · minmod(v, w) ≥ 0;(3.43)max (|minmod(u, v)| , |minmod(v, w)|) ≤ |v|.(3.44)Д о к а з а т е л ь с т в о следует непосредственно из определения (3.38) (или (3.39)).55Далее введем функцию g j+1 − gjh unx,j+1/2γj+1/2 =0при unx,j+1/2 ̸= 0,при(3.45)unx,j+1/2 = 0и перепишем выражение для потока∗fj+1/2=()]()1[ nfj+1 + fjn + h gj + gj+1 − a2 æ(1 + θ0 ) + sγj+1/2 h unx,j+1/2 .2Подставляя полученное выражение в уравнение (3.35), получаем− unjun+11 [ nj+auj+1 + aunj +τ2h()()+h gj+1 + gj − a2 æ(1 + θ0 ) + sγj+1/2 h unx,j+1/2 −)](()−aunj − aunj−1 − h gj + gj−1 − a2 æ(1 + θ0 ) + sγj−1/2 h unx,j−1/2 = 0,илиut,j +1[ naux,j+1/2 + aunx,j−1/2 + h γj+1/2 unx,j+1/2 + h γj−1/2 unx,j−1/2 −2()− a2 æ(1 + θ0 ) + sh γj+1/2 unx,j+1/2 +]()+ a2 æ(1 + θ0 ) + sh γj−1/2 unx,j−1/2 = 0.Таким образом, схема предиктор-корректор (3.3), (3.4), (3.34) приведенак виду (2.22), при этом±Cj+1/2=]1[ 2a æ(1 + θ0 ) ∓ a + (s ∓ 1)h γj+1/2 .2(3.46)Из теоремы 2.3 следует, что для монотонности схемы (3.3), (3.4), (3.34)необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты (3.46) удовлетворялинеравенствам (2.23).
Проверим выполнение этих неравенств.Теорема 3.1. При выполнении условия (3.24) cхема предикторкорректор (3.3), (3.4) с переменным параметром (3.34), (3.31) сохраняет монотонность численного решения.56Д о к а з а т е л ь с т в о. С учетом выражения (3.31) будем иметь] s ∓ 1()1[±= |a| ∓ a + (s ∓ 1)h γj+1/2 =Cj+1/2a + h γj+1/2 . (3.47)22Оценим слагаемое, содержащее функцию γ. Из формул (3.40) и (3.43)следует, что числа gj и gj+1 не могут иметь разные знаки, поэтому справедливо неравенство |gj+1 − gj | ≤ max (|gj |, |gj+1 |).
Следовательно,max(|gj |, |gj+1 |)|gj+1 − gj |h γj+1/2 = h≤.h |unx,j+1/2 ||unx,j+1/2 |Из формул (3.40) и (3.44) получаем, чтоmax(|gj |, |gj+1 |) ≤поэтому1 2 næa θ0 ux,j+1/2 ,2 1)|a| (h γj+1/2 ≤ æa2 θ0 =1 − |a|æ22(3.48)и)a2 (1 − |a|æ > 0,2()т. е. числа a и a + h γj+1/2 одного знака: sgn(a) = sgn a + h γj+1/2 .Следовательно, формулу (3.47) можно переписать так:]1[±Cj+1/2= |a + h γj+1/2 | ∓ (a + h γj+1/2 ) .(3.49)2a · (a + h γj+1/2 ) ≥ a2 −Из выражения (3.49) следует неотрицательность коэффициентов±Cj+1/2.
Кроме того, из оценки (3.48) и условия (3.24) получаем, что−+Cj+1/2+ Cj+1/2= |a + h γj+1/2 | ≤|a|æ(3 − |a|æ)1|a|(3 − |a|æ)=< .22ææТаким образом, при условии (3.24) неравенства (2.23) теоремы 2.3 выполняются, поэтому схема предиктор-корректор (3.3), (3.4) с переменным параметром (3.34), (3.31) будет сохранять монотонность численного решения.Замечание. Легко проверить, что функция-ограничитель (2.50) модифицированной схемы Лакса – Вендроффа и параметр (3.34) схемыпредиктор-корректор связаны равенствомnθj+1/2= θ0 (1 − Φj+1/2 ),57(3.50)поэтому модифицированная схема Лакса – Вендроффа (2.51), (2.50) совпадает со схемой предиктор-корректор (3.3), (3.4), (3.34), (3.31) (см.
задачу 3.7).Замечание. Если при использовании схемы предиктор-корректорn(3.3), (3.4) с переменным параметром (3.34) сеточная функция θj+1/2в некоторых узлах достигает своей верхней границы θ0 , вычисляемой∗по формуле (3.31), то фактически в этих узлах расчет величины uj+1/2производится по формуле (3.6) для противопоточной схемы (3.7). Поэтому, если при a > 0 выполняется одно из условийunx,j−3/2 < 0,unx,j−1/2 > 0 > unx,j+1/2 ,илиunx,j−3/2 > 0 > unx,j−1/2 ,unx,j+1/2 > 0,то для расчета величины un+1используется противопоточная схема (3.7)jпервого порядка аппроксимации. Если производные численного решения на n-м слое по времени удовлетворяют одному из условийunx,j−3/2 ≥ unx,j−1/2 ≥ unx,j+1/2 ≥ 0,илиunx,j−3/2 ≤ unx,j−1/2 ≤ unx,j+1/2 ≤ 0,то un+1вычисляется по схеме Лакса – Вендроффа второго порядкаjаппроксимации.
Из формулы (3.34) следует также, что при выполнениилюбого из условий0 ≤ unx,j−3/2 < unx,j−1/2 < unx,j+1/2 ,или0 ≥ unx,j−3/2 > unx,j−1/2 > unx,j+1/2 ,расчет un+1будет выполняться по противопоточной схеме (2.44) второjго порядка аппроксимации. В зависимости от поведения производныхunx,j+1/2 , unx,j−1/2 , unx,j−3/2 возможно переключение на другие разностные схемы (см. задачу 3.8).58ЗАДАЧИ3.1.
Показать, что если в схеме предиктор-корректор (3.3), (3.4)параметр θ выбирается по формуле (3.8), то получается схема Лакса (1.46).3.2. Покажите, что при θ = (θ0 + θL )/2 и |a|æ < 1 схема предикторкорректор (3.3), (3.4) сохраняет монотонность численного решения.3.3.
Пусть в схеме предиктор-корректор θ = −1/2. Покажите, чтопри законе предельного перехода (1.84) эта схема будет абсолютно неустойчивой.3.4. Получить П-форму (3.25) дифференциального представлениясхемы предиктор-корректор (3.3), (3.4) в случае переменного параметраn= O(h).θj+1/23.5. Докажите, что противопоточная схема (2.44), аппроксимирующая со вторым порядком уравнение (3.1) с положительным коэффициентом a > 0, при условии (3.24) сохраняет на (n + 1)-м слое по временимонотонность произвольной монотонно возрастающей на n-м слое повремени функции un , удовлетворяющей условию unx̄x,j ≥ 0, а такжепроизвольной монотонно убывающей функции un , такой, что unx̄x,j ≤ 0.3.6. Докажите лемму 3.1.3.7.
Покажите, что модифицированная схема Лакса – Вендроффа(2.51), (2.50) совпадает со схемой предиктор-корректор (3.3), (3.4), (3.34),(3.31).3.8. Пусть коэффициент a в уравнении переноса положителен. Тогдаnnзначения параметров θj+1/2и θj−1/2в схеме предиктор-корректор (3.3),(3.4), (3.34), (3.31) будут зависеть от значений производных unx,j+1/2 ,unx,j−1/2 и unx,j−3/2 . Поэтому при одних соотношениях между этими производными будет получаться схема Лакса – Вендроффа для вычисления решения un+1в фиксированном узле xj , при других для этого жеjузла получится противопоточная схема, схема с направленной назадразностью второго порядка (2.44) или какие-то иные схемы. Запишите развернутую форму схемы предиктор-корректор для всевозможныхсоотношений между указанными производными.59§ 4. Схемы для нелинейного уравненияпереноса4.1. В настоящем параграфе мы рассмотрим разностные схемы дляскалярного уравненияut + [f (u)]x = 0,(4.1)в котором функция f зависит нелинейным образом от решения u, но независит от производных ut , ux .
Такие уравнения называются квазилинейными.Математическая формулировка начально-краевой задачи для уравнения (4.1), рассматриваемого на конечном интервале (0, l), должнавключать начальное условиеu(x, 0) = u0 (x)(4.2)и краевые условия. Количество краевых условий определяется поведением характеристик уравнения (4.1), которые задаются уравнениемdx= a(u),dt(4.3)a(u) = fu (u).(4.4)гдеКраевое условие необходимо задавать только на той границе интервала (0, l), через которую характеристика входит в область (0, l). Поэтому может оказаться, что краевых условий не нужно ставить вовсе,либо краевое условие нужно задавать в одной граничной точке x = 0или x = l или сразу в двух.
Поскольку уравнение (4.1) нелинейное, тонаклон характеристик в граничных точках x = 0 и x = l зависит от решения, и изменение решения может приводить к изменению количествакраевых условий на каждой из границ. Таким образом, задание краевых условий для нелинейного уравнения должно основываться на анализе каждой конкретной задачи. В силу сказанного мы не будем далееформулировать краевые условия для общего случая и зачастую вместо начально-краевой задачи для уравнения (4.1) будем рассматриватьдля него задачу Коши с начальным условием (4.2). Отметим, что длялинейного уравнения (3.1) с постоянным коэффициентом a > 0 характеристика входит внутрь области решения всегда через левую границуx = 0, поэтому краевое условие задается только на этой границе.60На примере задачи Коши (4.1), (4.2) для уравнения Хопфа (f = u2 /2,a(u) = u)ut + uux = 0,−∞ < x < ∞, t > 0(4.5)покажем, как можно найти ее решение u(x, t) методом характеристик.Характеристики уравнения (4.5) – это кривые на плоскости (x, t), определяемые дифференциальным уравнением (4.3)dx= u(x, t).dt(4.6)Пусть x = x(t) – решение уравнения (4.6).
Тогда левая часть уравнения (4.5) есть производная от u вдоль характеристики x = x(t)du(x(t), t) = 0,dtи для решения эта производная равна нулю, поэтому функция u(x(t), t)принимает постоянное значение на кривой x = x(t). Тогда из уравнения(4.6) следует, что каждая характеристика есть на самом деле прямаялиния, тангенс угла наклона которой к оси Ot равенu(x(t), t) = u(x(0), 0) = u0 (ξ),(4.7)где ξ = x(0) – точка пересечения характеристики с осью Ox. Уравнениеэтой прямой имеет видx − ξ = u0 (ξ)t.(4.8)Таким образом, чтобы найти значение функции u(x, t) в точке (x, t),следует вычислить соответствующее значение ξ, решив уравнение (4.8)(возможно, итерационным методом), и подставить найденное значение ξв формулу (4.7):u(x, t) = u0 (ξ).(4.9)Формулы (4.9), (4.8) приводят к следующему неявному виду решениязадачи Коши (4.5), (4.2):u(x, t) = u0 (x − ut).(4.10)Если начальные данные для уравнения (4.5) выбраны в виде непрерывной монотонно возрастающей функции, то решение рассматриваемого уравнения однозначно определено в полуплоскости t ≥ 0, и его61гладкость соответствует гладкости начальных данных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
