1612725465-542b3179b36a4849700e0b2ecf7da111 (828844), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Покажем, что схема Лакса – Вендроффа (1.49) (не обладающая диссипацией при aæ < 1) не сохраняет монотонность численного решения. Пусть начальная функция для уравнения (2.1) имеетвид (1.61){1, при x ≤ 0,u0 (x) =0, при x > 0.28Следовательно, начальная сеточная функция{1, при j ≤ 0,u0j = u0 (xj ) =0, при j > 0является монотонно убывающей. Перепишем рассматриваемую схемув виде одношаговой схемы (1.50), а затем в виде схемы (2.4) с коэффициентамиb−1 =a2 æ2 + aæ,2b0 = 1 − a2 æ2 ,b1 =a2 æ2 − aæ.2(2.6)Тогда нетрудно убедиться, что на первом слое по времени имеет месторавенство1,при j ≤ −1,b+b,при j = 0,−10u1j =b,при j = 1,−10,при j ≥ 2.При aæ < 1 схема устойчива, но b−1 + b0 > 1, т.
е. сеточная функция u1jне является монотонно убывающей.Монотонность схем для уравнений с постоянными коэффициентамиможно исследовать, пользуясь следующей теоремой [3].Теорема 2.1. Для того чтобы разностная схема (2.4) с постоянными коэффициентами bα сохраняла монотонность, необходимо и достаточно выполнение при всех α условийbα ≥ 0.(2.7)Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Предположим, чтосхема (2.4) сохраняет монотонность, однако существует отрицательныйкоэффициент bα0 < 0. Возьмем монотонно возрастающую функцию{0,j < α0 ,nuj =(2.8)1,j ≥ α0 .Тогдаu0n+1 − un+1−1 ==∑α≥α0∑αbα −bα unα −∑α≥α0 +129∑bα un−1+α =αbα = bα0 < 0,т.
е. функция un+1 не является монотонно возрастающей, и, следовательно, схема (2.4) не сохраняет монотонность, что противоречит исходному предположению. Полученное противоречие доказывает, что всекоэффициенты bα неотрицательны.Достаточность. Пусть bα ≥ 0 и unj – монотонная функция, например, монотонно возрастающая функция. Тогда∑∑un+1− un+1bα unj+α −bα unj−1+α =jj−1 =α=∑α()bα unj+α − unj−1+α ≥ 0,αn+1т. е. u– также монотонно возрастающая функция.
Таким образом,схема (2.4) сохраняет монотонность.Возвратимся вновь к примерам 2.1 и 2.2, причем теперь не будемпредполагать, что a > 0. Противопоточная схема для уравнения (2.1)при произвольном знаке коэффициента a выглядит так:un+1− unjunj − unj−1unj+1 − unjj+ a++ a−= 0,τhhгдеa+ =a + |a|,2a− =(2.9)a − |a|.2Перепишем ее в виде (2.4)un+1= b−1 unj−1 + b0 unj + b1 unj+1 ,jгдеb−1 = æa+ ,b0 = 1 − æ|a|,(2.10)b1 = −æa− .При выполнении условия устойчивости|a|æ ≤ 1(2.11)все эти коэффициенты неотрицательны.
Кроме того, они являются постоянными, поэтому, согласно теореме 2.1, противопоточная схема (2.9)сохраняет монотонность решения при условии (2.11).Схема Лакса – Вендроффа устойчива при том же условии (2.11),что и противопоточная схема, и ее можно записать в виде (2.10) с коэффициентами (2.6), откуда видно, что при условии |a|æ < 1 один из30коэффициентов – b−1 или b1 – отрицателен. Согласно теореме 2.1, отсюда следует, что схема Лакса – Вендроффа, имеющая второй порядокаппроксимации по τ и h, не сохраняет монотонность численного решения. Но, возможно, существуют другие схемы второго порядка аппроксимации, которые обладают свойством монотонности. Оказывается, чтотаких схем нет. В работе [3] показано, что для линейного уравнения переноса (2.1) невозможно построить монотонную схему с постояннымикоэффициентами второго порядка аппроксимации.2.2. Рассмотрим теперь схему (2.4) с переменными коэффициентами bα .
Будет ли для таких схем условие (2.7) неотрицательности коэффициентов достаточным для сохранения монотонности численногорешения? Оказывается, нет. Приведем соответствующий пример.Пример 2.3. Пусть решается задача Коши для уравнения(2.12)ut + a(x)ux = 0,где a(x) – строго возрастающая положительная ограниченная функция:0 < a(x) < 1 и a′ > 0.
Возьмем для решения этой задачи схему с переменными коэффициентами()un+1− 0, 5 unj+1 + unj−1unj+1 − unj−1j+ aj= 0,(2.13)τ2hгде aj = a(xj ), xj – узел равномерной сетки. Выписанная схема является аналогом схемы Лакса (1.46), которая сохраняет монотонностьчисленного решения (см. задачу 2.1).Будем считать, что для любого j выполнено условие(2.14)æaj < 1,гарантирующее устойчивость схемы (2.13) в равномерной норме по начальным данным:∥un+1 ∥C ≤ ∥u0 ∥C .(2.15)Запишем схему (2.13) в виде (2.4):un+1= b−1,j unj−1 + b1,j unj+1 ,jгдеb−1,j =1 + æaj,231b1,j =1 − æaj,2(2.16)при этом коэффициенты bα снабжены дополнительным индексом j, поскольку они являются переменными коэффициентами и изменяютсяпри переходе от одного узла к другому.В силу условия (2.14) оба коэффициента положительны, однако схема (2.13) не сохраняет монотонность численного решения.
В самом деле,взяв монотонно возрастающую функцию{0,j < 0,unj =1,j ≥ 0,убеждаемся, что на (n + 1)-мn+1uj=слое по времени имеет место равенство0,b1,−1 ,b1,0 ,1,при j < −1,при j = −1,при j = 0,при j ≥ 1.Но b1,−1 > b1,0 , поэтому сеточная функция un+1не является монотонноjвозрастающей.Приведенный пример показывает, что для схем с переменными коэффициентами должны использоваться другие признаки монотонности,нежели признак (2.7), указанный в теореме 2.1.Теорема 2.2. Пусть коэффициенты разностной схемыun+1= b−1,j unj−1 + b0,j unj + b1,j unj+1j(2.17)удовлетворяют в каждом узле xj условиюb−1,j + b0,j + b1,j = 1.(2.18)Тогда выполнение при всех j условийb±1,j ≥ 0,b−1,j + b1,j−1 ≤ 1(2.19)необходимо и достаточно для того, чтобы схема (2.17) с переменнымикоэффициентами сохраняла монотонность численного решения.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Запишем схему (2.17) с переменными коэффициентами, удовлетворяющими условию (2.18), в следующем виде:()()un+1= unj − b−1,j unj − unj−1 + b1,j unj+1 − unj .(2.20)j32Тогда( n)( n)nnnun+1j+1 = uj+1 − b−1,j+1 uj+1 − uj + b1,j+1 uj+2 − uj+1 .Следовательно,()n+1un+1= unj+1 − unj (1 − b−1,j+1 − b1,j ) +j+1 − uj()()+ b1,j+1 unj+2 − unj+1 + b−1,j unj − unj−1 .(2.21)Необходимость. Пусть схема (2.17) монотонна.
Докажем, что ее коэффициенты удовлетворяют неравенствам (2.19). Предположим, чтоэто не так и какие-то из условий (2.19) не выполняются в некоторомузле xj0 , например b−1,j0 < 0. Положим{0, если j < j0 ,nuj =1, если j ≥ j0 .Из (2.21) тогда следуетn+1un+1= b−1,j0 < 0,j0 +1 − uj0т. е. функция un+1 не является монотонно возрастающей, что противоречит исходному предположению о монотонности схемы (2.17). Аналогично проверяются и остальные неравенства в (2.19).Достаточность. Пусть в каждом узле xj коэффициенты схемы(2.17) удовлетворяют неравенствам (2.19) и функция un является монотонной, например монотонно возрастающей.
Тогда из равенства (2.21)следует, что функция un+1 также будет монотонно возрастающей функцией. Теорема доказана.Нетрудно проверить, что коэффициенты схемы (2.16) не удовлетворяют второму из условий (2.19) теоремы 2.3, поэтому эта схема не является схемой, сохраняющей монотонность численного решения. Дадимдругую формулировку теоремы 2.2.Теорема 2.3. Для того чтобы конечно-разностная схемаun+1− unjj−++ Cj−1/2unx,j−1/2 − Cj+1/2unx,j+1/2 = 0,(2.22)τсохраняла монотонность численного решения, необходимо и достаточно выполнение при всех j условий1±−+Cj+1/2≥ 0,Cj+1/2+ Cj+1/2≤ ,(2.23)æunj+1 − unjгде æ = τ /h, unx,j+1/2 =.h33Д о к а з а т е л ь с т в о.
Схему (2.22) можно переписать в виде(2.17), при этом−b−1,j = æCj−1/2,+b1,j = æCj+1/2,−+b0,j = 1 − æCj−1/2− æCj+1/2.Тогда для коэффициентов bα выполняется равенство (2.18), а условия(2.19) эквивалентны условиям (2.23).Замечание. В работе [31] доказано, что выполнение неравенств(2.23) достаточно для того, чтобы схема (2.22) была TVD-схемой (TotalVariation Diminishing Scheme), т. е. схемой, решение un которой прилюбом n ≥ 0 удовлетворяет условию невозрастания полной вариацииTV (un+1 ) ≤ TV (un ),(2.24)где под полной вариацией сеточной функции un понимается величинаTV (un ) =∞∑|unj+1 − unj |.(2.25)j=−∞В настоящее время TVD-схемы и их разнообразные модификации применяются при решении многих задач с разрывными решениями. Причина столь большой популярности этих методов заключается в том, чтоони дают неосциллирующие профили решения, высокую разрешимостьв области разрывов и сохраняют высокую точность в областях гладкости решения.Современные TVD-схемы высокого порядка аппроксимации основаны на тех или иных способах восстановления (реконструкции) значений функций на границах ячеек по их значениям в центрах соседних ячеек.
При этом шаблон схемы является переменным и зависитот поведения численного решения. Алгоритмы реконструкции основываются на использовании специальных ограничителей потоков [8, 13],которые строятся так, чтобы схема с ограничителями обладала TVDсвойством (2.24).2.3. Монотонизация схемы Лакса – Вендроффа. Если начальная функция при t = 0 задана в виде ступеньки, то на следующих слояхпо времени мы будем получать по схеме Лакса – Вендроффа ступеньку,искаженную осцилляциями (см. рис.
4). Но оказывается, что схему Лакса – Вендроффа можно модифицировать так, чтобы она стала обладать34TVD-свойством (2.24), а значит, согласно теореме 2.3, стала бы схемой,сохраняющей монотонность численного решения. Однако коэффициенты модифицированной схемы уже не будут постоянными, они могутзависеть от решения на n-м слое, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
