1612725465-542b3179b36a4849700e0b2ecf7da111 (828844)
Текст из файла
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТМеханико-математический факультетКафедра математического моделированияГ. С. Хакимзянов, С. Г. ЧерныйМЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙЧасть 4. Численные методы решения задачдля уравнений гиперболического типаУчебное пособиеНовосибирск2014ББК В22.193УДК 519.63Х 162Рецензентканд.
физ.-мат. наук А. С. ЛебедевИздание подготовлено в рамках реализации Программы развитиягосударственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Новосибирский государственный университет» на 2009–2018 годы.Х 162Хакимзянов, Г. С.Методы вычислений: В 4 ч. : учеб. пособие / Г. С.
Хакимзянов,С. Г. Черный ; Новосиб. гос. ун-т. – Новосибирск : РИЦ НГУ, 2014. –Ч. 4: Численные методы решения задач для уравнений гиперболического типа. – 207 с.ISBN 978-5-4437-0265-0Учебное пособие соответствует программе курса лекций «Методывычислений», который читается на механико-математическом факультете НГУ. В его четвертой части излагаются основы численных методов решения начально-краевых задач для уравнений гиперболического типа, формулируются задачи для семинарских занятий, приводятсяобразцы контрольных работ и заданий для практических занятий наЭВМ.Пособие предназначено для студентов и преподавателей математических специальностей высших учебных заведений.ББК В22.193УДК 519.63ISBN 978-5-4437-0265-0c Новосибирский государственный⃝университет, 2014c Г. С.
Хакимзянов,⃝С. Г. Черный, 2014ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4§ 1. Схемы для линейного уравнения переноса . . . . . . . . . . . . . .5§ 2. Свойство монотонности разностных схем . . .
. . . . . . . . . . . . 27§ 3. Построение монотонных схем на основе методадифференциального приближения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45§ 4. Схемы для нелинейного уравнения переноса . . . . . . . . . . . . 60§ 5. Схемы на адаптивной сетке для уравнения переноса . . . 82§ 6. Разностные схемы для уравнения колебаний струны . . . 95§ 7. Разностные схемы для гиперболической системыуравнений с постоянными коэффициентами . .
. . . . . . . . . . 107§ 8. Разностные схемы для системы нелинейныхуравнений мелкой воды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124§ 9. Разностные схемы для задач газовой динамики . . . . . . . . . 156§ 10. Контрольная работа по теме «Исследование разностныхсхем для уравнения переноса» . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176§ 11. Задания для лабораторной работы 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Ответы, указания, решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 205ПредисловиеВ четвертой части пособия изложены основы численных методов решения начально-краевых задач для уравнений гиперболического типа,сформулированы задачи по этой теме для семинарских занятий, приведены задания для практических занятий на ЭВМ и пример контрольнойработы.Теоретические вопросы изложены достаточно кратко. Для более глубокого изучения рассматриваемых вопросов мы рекомендуем обратиться к учебнику С. К.
Годунова и В. С. Рябенького [5], а также к книгамГ. И. Марчука [15], А. А. Самарского [20], А. А. Самарского и А. В. Гулина [22], А. А. Самарского и Е. С. Николаева [23], Б. Л. Рождественского и Н. Н. Яненко [18] и учебным пособиям, изданным в НГУ [8, 24,29, 30]. На лекциях рассматриваются теоретические вопросы, связанныес исследованием только конечно-разностных схем. В качестве примероврассмотрены схемы для линейного уравнения переноса, нелинейногоскалярного уравнения первого порядка, уравнения второго порядка,описывающего колебания струны, линейной системы уравнений первого порядка, системы нелинейных уравнений мелкой воды и уравненийгазовой динамики.Каждый параграф сопровождается задачами, которые необходиморешить на семинарских занятиях.
Многие задачи снабжены указаниями и подробными решениями. Дополнительные материалы для семинарских занятий можно найти в задачниках [1, 7, 21].В пособии приведены примеры заданий для практических занятийв компьютерных классах, даны рекомендации по выполнению заданий,обсуждаются вопросы, связанные с разработкой программ и представлением результатов. Дополнительные задания можно взять из методических пособий [11, 14, 16].Четвертая часть пособия имеет самостоятельную сквозную нумерацию параграфов и рисунков и самостоятельный библиографическийсписок. Внутри параграфов для формул и утверждений (лемм и теорем) использована двухиндексная нумерация, например 4.2.
Ссылки наформулы, леммы, теоремы из предыдущих трех частей пособия [26–28]даются добавлением спереди к их номеру цифры 1, 2 или 3. Например, вместо «по формуле (4.2) из пособия [26]» мы пишем «по формуле(1.4.2)», вместо «по теореме 8.3 из пособия [27]» – «по теореме 2.8.3».Авторы выражают глубокую признательность рецензенту Александру Степановичу Лебедеву за ценные советы и критические замечания,которые способствовали улучшению этого учебного пособия.4§ 1.
Схемы для линейногоуравнения переноса1.1. Некоторые сведения из теории гиперболических систем.Рассмотрим задачу Коши для линейной системы дифференциальныхуравнений первого порядка∂u∂u+A= f (x, t), −∞ < x < ∞,∂t∂xu(x, 0) = u0 (x), −∞ < x < ∞.0 < t ≤ T,(1.1)Здесь u = (u1 , . . . , um )T – m-мерная вектор-функция переменных x, t,A – вещественная m × m матрица с элементами aij (x, t).Определение.
Систему уравнений (1.1) будем называть гиперболической в некоторой области переменных (x, t), если в каждой точкеэтой области собственные значения λ1 , λ2 , . . . , λm матрицы A вещественны и различны.Определение. Интегральная кривая x = xk (t) обыкновенного дифференциального уравненияdx= λk (x, t)dt(1.2)называется k-ой характеристикой системы уравнений (1.1).Предполагается, что элементы матрицы A обладают гладкостью, достаточной для того, чтобы через каждую точку плоскости (x, t) проходила единственная характеристика, отвечающая собственному значению λk . Характеристики, проведенные через точку (x, t) (t > 0)в сторону убывания времени t, пересекут ось Ox в m различных точках.
Упорядочим собственные значения гиперболической системы (1.1)(λ1 (x, t) < λ2 (x, t) < . . . < λm (x, t)) и через [xl , xr ] обозначим отрезокоси Ox, ограниченный точками пересечения этой оси с m-ой и первойхарактеристиками.Определение. Областью зависимости точки (x, t) для системыуравнений (1.1) называется множество точек верхней полуплоскости, ограниченное крайними характеристиками x = xm (t), x = x1 (t)и отрезком [xl , xr ].Область зависимости точки (x, t) изображена на рис.
1, а. Решение uсистемы (1.1) в точке (x, t) будет зависеть только от значений u0 (x) на5отрезке [xl , xr ]. Следовательно, если начальные данные вне отрезка[xl , xr ] поменять на другие, то решение в точке (x, t) не изменится.Определение. Областью влияния точки (x0 , 0) называется множество точек (x, t) верхней полуплоскости, ограниченное крайнимихарактеристиками системы (1.1), выходящими из (x0 , 0), т. е. характеристиками, соответствующими собственным значениям λ1 и λm .Область влияния точки (x0 , 0) показана на рис. 1, б. Если начальные данные изменить лишь в точке (x0 , 0), то решение гиперболическойсистемы изменится только в точках (x, t), принадлежащих области влияния точки (x0 , 0).Предположим теперь, что нам вместо задачи Коши (1.1) нужно решить начально-краевую задачу на отрезке [0, l].
Тогда в дополнениек начальным условиям необходимо задать краевые условия. Количество краевых условий на каждой из границ определяется количествомвходящих внутрь области характеристик. Например, если через левуюграницу x = 0 внутрь области входит m0 характеристик, т. е. m0 собственных значений λk положительны при x = 0, то на этой границенадо задать m0 краевых условий. Если на границе x = l количество отрицательных собственных значений равно ml и, следовательно, ровноml характеристик входит в область через правую границу, то на этойгранице необходимо задать ml краевых условий.
Поскольку собственные значения зависят от времени, то количество краевых условий накаждой из границ может меняться со временем.tt(x,t)dx λdt = m___dx___=λdt 1xldx___λdt = mdx=λdt 1___xrx(x0 ,0)абРис. 1. Характеристики системы уравнений (1.1), ограничивающиеобласти зависимости точки (x, t) (а) и влияния точки (x0 , 0) (б)6xРассмотрим теперь однородную гиперболическую систему уравнений (1.1) с постоянными коэффициентами. Для постоянной матрицы Aее собственные векторы и собственные значения являются постоянными, т.
е. не зависят от x и t.Пусть lk – k-й левый собственный вектор матрицы A, отвечающийее собственному значению λk : lk A = λk lk (k = 1, . . . , m). Умножимсистему (1.1) слева на вектор lk :lk ·∂u∂u+ lk A= 0.∂t∂xЭто уравнение можно записать в следующем виде:∂lk · u∂lk · u+ λk= 0,∂t∂xили∂sk∂sk+ λk= 0,∂t∂x(1.3)гдеsk = lk · u,k = 1, . . . m.(1.4)Решение sk (x, t) уравнения (1.3) переносится вдоль характеристикибез изменения и потому вычисляется при t > 0 по начальному значениюsk в точке пересечения k-ой характеристики с осью Ox:sk (x, t) = sk (x − λk t, 0).(1.5)Функции sk называются инвариантами Римана.1.2.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
