1612725465-542b3179b36a4849700e0b2ecf7da111 (828844), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

е. модифицированная схема будетнелинейной.Рассмотрим уравнение переноса (2.1) в случае a = const > 0. СхемаЛакса – Вендроффа (1.50) может быть переписана так)unx,j+1/2 + unx,j−1/2 a2 τ ( nun+1− unjj+a−ux,j+1/2 − unx,j−1/2 = 0, (2.26)τ22hилиunx,j+1/2 − unx,j−1/2− unjun+1ahjn+ aux,j−1/2 +(1 − aæ)= 0,τ2h(2.27)илиun+1− unjahj+ aunx̄,j = −(1 − aæ) unx̄x,j .τ2(2.28)П.

д. п. (1.79) противопоточной схемы содержит в правой части диссипативный член 0, 5ah (1 − aæ) uxx , а в представлении (2.28) такой жедиссипативный член в разностной форме имеет противоположный знак.Таким образом, схема Лакса – Вендроффа представляется в виде монотонной схемы с направленной против потока разностью, дополненнойтак называемым антидиффузионным членом, который устраняет диссипативный член в п. д. п.

противопоточной схемы, превращая ее в схему Лакса – Вендроффа. Уменьшая антидиффузионный член в местахвозможного появления осцилляций, можно попытаться предотвратитьих.Регулировать антидиффузионный член в схеме Лакса – Вендроффа(2.27) будем с помощью функции-ограничителя Φ(ξ) некоторого аргумента ξ:)(un+1− unjaj+aunx,j−1/2 + (1 − aæ) (Φunx )j+1/2 −(Φunx )j−1/2 = 0. (2.29)τ2Если Φ ≡ 0, то имеем монотонную противопоточную схему первогопорядка аппроксимации. Если же Φ ≡ 1, то получаем схему Лакса –Вендроффа второго порядка аппроксимации на гладких решениях, ноосциллирующую на разрывных решениях.35В разностной схеме (2.29) Φj+1/2 = Φ(ξj+1/2 ). В качестве дискретного аргумента ξj+1/2 выберем величинуξj+1/2 nu x,j−1/2unx,j+1/2= 1при unx,j+1/2 ̸= 0,приunx,j+1/2(2.30)= 0.На осциллирующем решении отношение unx,j−1/2 /unx,j+1/2 становится отрицательным, поэтому при ξj+1/2 < 0 полагаем, что Φj+1/2 = 0.

Далеебудем считать, что функция Φ = Φ(ξ) непрерывного аргумента ξ такжепринимает нулевые значения при ξ < 0. Более того, предполагая, чтофункция-ограничитель является непрерывной, полагаем, что Φ(ξ) ≡ 0при всех ξ ≤ 0.Далее рассмотрим случай, когда ξj+1/2 > 0. Будем подбирать функцию-ограничитель таким образом, чтобы схема удовлетворяла TVDусловию (2.23) и сохраняла второй порядок аппроксимации на гладкихрешениях. Для этого преобразуем модифицированную схему Лакса –Вендроффа (2.29) к виду (2.22):(( ))− unjun+1aΦj+ aunx,j−1/2 + (1 − aæ)− Φj−1/2 unx,j−1/2 = 0,τ2ξ j+1/2или[()]un+1− unj1 − aæ ( Φ )j− Φj−1/2 unx,j−1/2 = 0.+a 1+τ2ξ j+1/2Таким образом, коэффициенты схемы (2.29), записанной в виде (2.22),определяются по формулам[()]1 − aæ ( Φ )+−Cj+1/2= 0,Cj−1/2=a 1+− Φj−1/2 .2ξ j+1/2Согласно теореме 2.3, условие−0 ≤ Cj−1/2≤1æ(2.31)будет гарантировать, что схема Лакса – Вендроффа с введенной в неефункцией-ограничителем будет сохранять монотонность численного решения.

Далее мы предполагаем, что условие устойчивости схемы Лак36са – Вендроффа выполнено, т. е. aæ ≤ 1. Тогда для того чтобы неравенства (2.31) были справедливыми для всех aæ ≤ 1, необходимо и достаточно выполнения неравенств(Φ)−2 ≤− Φj−1/2 ≤ 2,ξ j+1/2а для этого достаточно потребовать выполнения для всех j следующихнеравенств:(Φ)0≤≤ 2,0 ≤ Φj+1/2 ≤ 2.ξ j+1/2Область в плоскости переменных Φ и ξ, в которой выполняются этинеравенства, изображена на рис. 5, а.

Если график функции Φ = Φ(ξ)лежит в этой области, то модифицированная схема (2.29) будет сохранять монотонность численного решения.Φ2Φ2Φ =2Φ=2ξΦ=2ξΦ =210Φ=ξ10120ξΦ =101а2ξбРис. 5. а – в заштрихованной области модифицированная схема Лакса – Вендроффа (2.29) является TVD-схемой; б – в области с двойнойштриховкой модифицированная схема Лакса – Вендроффа являетсяTVD-схемой второго порядка аппроксимацииИтак, далее будем считать, что Φ(ξ) = 0при ξ ≤ 0,(2.32)0 ≤ Φ(ξ) ≤ min(2, 2ξ)при ξ > 0.Исследуем теперь порядок аппроксимации модифицированной схемы, предполагая, что непрерывная функция Φ = Φ(ξ) удовлетворяет37следующим дополнительным ограничениям:|Φ(ξ1 ) − Φ(ξ2 )| ≤ L |ξ1 − ξ2 | ,∀ξ1 , ξ2 ,(2.33)(2.34)Φ(1) = 1,т.

е. потребуем, чтобы функция Φ = Φ(ξ) удовлетворяла условию Липшица с некоторой постоянной L > 0 и график этой функции проходилчерез точку (1, 1).Перепишем модифицированную схему Лакса – Вендроффа (2.29)в виде исходной схемы Лакса – Вендроффа (2.27) с добавочным членом()un+1− unjaj+ aunx,j−1/2 + (1 − aæ) unx,j+1/2 − unx,j−1/2 +τ2a+ (1 − aæ) Rjn = 0,2(2.35)()()Rjn = Φj+1/2 − 1 unx,j+1/2 − Φj−1/2 − 1 unx,j−1/2 .(2.36)гдеПусть u = u(x, t) – достаточно гладкое решение задачи Коши (2.1),(2.2).

Подставим это решение в выражение (2.36), сохранив в нем всепрежние обозначения, но учитывая, что теперьunx,j+1/2 =u(xj+1 , tn ) − u(xj , tn )h∀j.(2.37)Очевидно, что если на n-м слое по времени функция u(x, tn ) является линейной, u(x, tn ) = Bx + C, то Rjn ≡ 0. Используя условия (2.33),(2.34), нетрудно проверить, что для квадратичной функции u(x, tn ) =Ax2 + Bx + C (A ̸= 0) равенство Rjn = O(h2 ) имеет место для всех узлов произвольного числового промежутка (α, β), не содержащего точку экстремума x∗ = −B/2A.

В общем случае справедливо следующееутверждение.Лемма 2.1. Пусть выполнены условия (2.33), (2.34) и достаточногладкое решение задачи Коши (2.1), (2.2) удовлетворяет на некоторомчисловом отрезке [α, β] условиюux (x, tn ) ̸= 0∀x ∈ [α, β] .(2.38)Rjn = O(h2 ) ∀xj ∈ (α, β) .(2.39)Тогда38Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть xj ∈ (α, β). Используя формулуТейлора и условие (2.34), получаем, чтоhhRjn = [Φ(ξj+1/2 ) − 1] · [ux + uxx ] − [Φ(ξj−1/2 ) − 1] · [ux − uxx ] + O(h2 ) =22()= Φ(ξj+1/2 ) − Φ(ξj−1/2 ) ux +[]h+ Φ(ξj+1/2 ) − Φ(1) + Φ(ξj−1/2 ) − Φ(1) uxx + O(h2 ).2Здесь производные ux , uxx решения u(x, tn ) вычисляются в узле xj .Учет условия Липшица (2.33) приводит к следующему неравенству:|Rjn | ≤ ξj+1/2 − ξj−1/2 L|ux |+(2.40))h(+ |ξj+1/2 − 1| + |ξj−1/2 − 1| L|uxx | + O(h2 ).2Далее оценим величины ξj±1/2 .

Из теоремы Лагранжа [12] следует,чтоunx,j+1/2 = ux (x̃j+1/2 , tn ),unx,j−1/2 = ux (x̃j−1/2 , tn ),(2.41)где xj < x̃j+1/2 < xj+1 , xj−1 < x̃j−1/2 < xj . Будем считать, что шаг hнастолько мал, что узлы xj−1 и xj+1 принадлежат интервалу (α, β). Тогда x̃j±1/2 ∈ (α, β) и из условия (2.38) будет следовать, что unx,j±1/2 ̸= 0.Согласно формуле (2.30) величины ξj±1/2 определяются в этом случаевыражениямиξj+1/2 =unx,j−1/2unx,j+1/2,ξj−1/2 =unx,j−3/2unx,j−1/2.Раскладывая решение u(x, tn ) в узле xj по формуле Тейлора и учитывая обозначение (2.37), получаемhuxx + O(h2 )2ξj+1/2 =.(2.42)hux + uxx + O(h2 )2Поскольку решение предполагается достаточно гладким, то производная ux является непрерывной функцией на замкнутом отрезке [α, β].Поэтому из условия (2.38) будет следовать, чтоux −|ux (x, tn )| ≥ C0 = const > 0 ∀x ∈ [α, β] .39(2.43)Тогда11≤,|ux (xj , tn )|C0и равенство (2.42) можно преобразовать следующим образом:()(hh uxx )hux − uxx 1 −+ O(h2 )ux − uxx + O(h2 )22 ux2ξj+1/2 = (=)=h uxxuxux 1 ++ O(h2 )2 ux=ux − huxxuxx+ O(h2 ) = 1 − h+ O(h2 ).uxuxАналогично,)((h uxx )3h3hux −uxx 1 ++ O(h2 )uxx + O(h2 )22 ux2===huxux − uxx + O(h2 )2ux −ξj−1/2=ux − huxxuxx+ O(h2 ) = 1 − h+ O(h2 ).uxuxСледовательно,ξj+1/2 − ξj−1/2 = O(h2 ),ξj±1/2 − 1 = O(h).Подставляя последние выражения в формулу (2.40), получаем требуемое равенство (2.39).При выполнении условий леммы 2.1 модифицированная схема Лакса – Вендроффа с точностью до члена порядка O(h2 ) совпадает с исходной схемой Лакса – Вендроффа, поэтому она также имеет погрешностьаппроксимации порядка O(τ 2 + h2 ).

Из условия (2.38) следует, что отрезок [α, β] не содержит точек локальных экстремумов решения u(x, tn ).Можно показать, что в точке локального экстремума порядок аппроксимации модифицированной схемы Лакса – Вендроффа понижается допервого.Итак, если функция-ограничитель удовлетворяет условиям (2.32), томодифицированная схема Лакса – Вендроффа сохраняет монотонностьчисленного решения, а при дополнительных условиях (2.33), (2.34) онаимеет второй порядок аппроксимации за исключением точек локальныхэкстремумов решения.40На рис. 5, а в заштрихованной области нанесем еще две прямые:Φ = 1 и Φ = ξ (рис.

5, б). При Φ = 1 модифицированная схема (2.29)совпадает со схемой Лакса – Вендроффа второго порядка аппроксимации. Если Φ = ξ, то схема (2.29) превращается в схемуun+1− unj3unj − 4unj−1 + unj−2a2 τ unj − 2unj−1 + unj−2j+a=τ2h2h2(2.44)с направленной назад разностью второго порядка. Можно показать, чтоэта схема также имеет порядок аппроксимации O(τ 2 + h2 ) (см. задачу 2.6).Если мы возьмем любую функцию-ограничитель с графиком, расположенным между прямыми Φ = 1 и Φ = ξ и не выходящим за пределыTVD-области, то он (см.

штриховую линию на рис. 5, б) обязательнопройдет через точку (1, 1). Схема с таким ограничителем будет схемой,сохраняющей монотонность численного решения, а при выполнении дополнительного условия (2.33) она будет схемой второго порядка аппроксимации (за исключением точек локальных экстремумов решения).Приведем примеры функций-ограничителей (рис. 6), приводящихк монотонным схемам второго порядка аппроксимации:[]Φ(ξ) = max 0, min(1, ξ)(minmod),(2.45)[]Φ(ξ) = max 0, min(2ξ, 1), min(2, ξ) 2ξ|ξ| + ξ, ξ > 0,Φ(ξ) ==1+ξ|ξ| + 1  0, ξ ≤ 0(superbee),(Van – Leer).Другие примеры функций-ограничителей можно найти в [13, 32].Далее мы часто будем использовать функцию-ограничитель (2.45),поэтому приведем развернутую запись этой формулы: n n1при≤uux,j+1/2x,j−1/2 ,unx,j+1/2 · unx,j−1/2 ≥ 0, n  ux,j−1/2 n nпри>uuΦj+1/2 =(2.46)x,j+1/2x,j−1/2 ,n ux,j+1/2unx,j+1/2 · unx,j−1/2 ≥ 0,0при un· un< 0.x,j+1/241x,j−1/2Φ2Φ=2ξΦ =2Φ10=ξΦ =1012ξРис.

6. Графики функций-ограничителей minmod (• • •); superbee(◦ ◦ ◦); Van – Leer (——)В случае a < 0 модификация схемы Лакса – Вендроффа (2.26) такженачинается с ее представления в виде противопоточной схемы, дополненной антидиффузионным членом:()un+1− unjaj+ aunx,j+1/2 − (1 + aæ) unx,j+1/2 − unx,j−1/2 = 0.τ2Затем эта схема заменяется модифицированной()un+1− unjaj+aunx,j+1/2 − (1 + aæ) (Φunx )j+1/2 −(Φunx )j−1/2 = 0, (2.47)τ2при этом аргументом функции-ограничителя Φj+1/2 служит отношениеξj+1/2 =unx,j+3/2unx,j+1/2.(2.48)Аналогично рассмотренному выше случаю, на функцию-ограничительполучаем те же условия (2.32), (2.33) и (2.34).

В частности, функцияограничитель (2.45) будет задаваться теперь следующей формулой: n n1при≤uux,j+1/2x,j+3/2 ,unx,j+1/2 · unx,j+3/2 ≥ 0,  unx,j+3/2 n nпри>uuΦj+1/2 =(2.49)x,j+1/2x,j+3/2 ,nux,j+1/2unx,j+1/2 · unx,j+3/2 ≥ 0,0при unx,j+1/2 · unx,j+3/2 < 0.42Обозначив через s знак числа a, запишем формулы (2.46), (2.49)в виде одной формулы, справедливой при любом знаке числа a: 1при unx,j+1/2 ≤ unx,j+1/2−s ,unx,j+1/2 · unx,j+1/2−s ≥ 0,n  ux,j+1/2−s при unx,j+1/2 > unx,j+1/2−s ,Φj+1/2 =(2.50)nux,j+1/2unx,j+1/2 · unx,j+1/2−s ≥ 0,0при un· un< 0,x,j+1/2x,j+1/2−sгде s = sgn(a). Модифицированная схема Лакса – Вендроффа при произвольном знаке числа a запишется так:un+1− unja + |a| na − |a| nj+ux,j−1/2 +ux,j+1/2 +τ22()|a|+ (1 − |a|æ) (Φunx )j+1/2 − (Φunx )j−1/2 = 0.2(2.51)На рис.

7 показаны графики численного решения задачи из пп. 1.8,полученные с помощью модифицированной схемы Лакса – Вендроффа.Сравнивая этот рисунок с рис. 3, видим, что модифицированная схемаменьше размазывает разрыв. Сравнение с рис. 4 также подтверждаетпреимущество модифицированной схемы, поскольку в ее численном решении отсутствуют осцилляции, присущие решениям, полученным поисходной схеме Лакса – Вендроффа.y1.00.003210.51020x30Рис. 7.

Характеристики

Список файлов книги