1612725465-542b3179b36a4849700e0b2ecf7da111 (828844), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Линейная модель мелкой воды. Простейшей математической моделью, в рамках которой можно описывать движение жидкостис поверхностными волнами, является линейная модель мелкой воды:∂η∂u+ h0= 0,∂t∂x∂u∂η+g= 0,∂t∂xη(x, 0) = η0 (x),u(x, 0) = u0 (x),(1.6)(1.7)(1.8)где η(x, t) – возвышение поверхности жидкости над невозмущеннымуровнем (см. рис. 2), u(x, t) – скорость жидкости, η0 (x) и u0 (x) – возвышение и скорость в начальный момент времени t = 0, h0 = const – глубина бассейна, g = const – ускорение свободного падения.7Систему уравнений (1.6), (1.7) можно записать в виде однороднойсистемы (1.1) с матрицей A и вектором решения u:()()0h0ηA=,u=.(1.9)g0uМатрица A имеет два различных действительных собственных значения√λ1 = −c0 , λ2 = c0 = gh0 ,(1.10)поэтому система уравнений (1.6), (1.7) имеет гиперболический тип.Уравнения характеристик (1.2) принимают такой вид:dx= −c0 ,dtdx= c0 ,dt(1.11)поэтому характеристики являются прямыми линиями. Характеристики, проходящие через точку (x, t), t > 0, пересекают ось Ox в точкахxl и xr , гдеxl = x − c0 t,xr = x + c0 t.(1.12)Левые собственные векторы матрицы A, соответствующие собственным значениям (1.10), задаются формуламиl1 = (c0 , −h0 ) ,(1.13)l2 = (c0 , h0 ) .y= η (x,t)y0lxy=-h0Рис.
2. Обозначения в задаче о распространении и трансформацииволн в бассейне с вертикальными стенкамиСогласно (1.4) связь между инвариантами Римана r = s1 , s = s2и исходными зависимыми переменными задается формуламиr = c0 η − h0 u,s = c0 η + h0 u,8(1.14)откудаη=r+s,2c0u=s−r.2h0(1.15)Из формулы (1.5) с учетом равенств (1.14) получаем формулы длярешения задачи Коши в инвариантахr(x, t) = r(x − λ1 t, 0) = r(x + c0 t, 0) = c0 η0 (xr ) − h0 u0 (xr ),(1.16)s(x, t) = s(x − λ2 t, 0) = s(x − c0 t, 0) = c0 η0 (xl ) + h0 u0 (xl ).(1.17)И наконец, используя соотношения (1.15), получаем точное решениезадачи Коши (1.6), (1.7), (1.8)η0 (xl ) + η0 (xr ) h0 u0 (xl ) − u0 (xr )+·,2c02u0 (xl ) + u0 (xr )c0 η0 (xl ) − η0 (xr )u(x, t) =+·.2h02η(x, t) =(1.18)При решении рассматриваемой начально-краевой задачи необходимо поставить по одному условию на каждом из концов отрезка [0, l].Будем, например, считать, что стенки бассейна являются непроницаемыми для жидкости, что означает равенство нулю скорости жидкостина этих стенках:u(0, t) = u(l, t) = 0.(1.19)Приведем в окончательном виде математическую формулировку задачи о движении жидкости с поверхностными волнами в ограниченномбассейне: найти непрерывное в замкнутой области D̄ = [0, l] × [0, T ]решение η(x, t), u(x, t) следующей начально-краевой задачи∂η∂u+ h0= 0,∂t∂x∂η∂u+g= 0, 0 < x < l, 0 < t ≤ T,∂t∂xu(0, t) = u(l, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T,η(x, 0) = η0 (x), u(x, 0) = u0 (x), 0 ≤ x ≤ l.(1.20)1.3.
Линейное уравнение переноса. Итак, если матрица A однородной гиперболической системы уравнений (1.1) постоянна, то такую систему можно свести к системе уравнений в инвариантах Римана,9при этом уравнения для инвариантов Римана не зависят друг от другаи каждое из них имеет видut + aux = 0,a = const.(1.21)Это уравнение является простейшим гиперболическим уравнением и называется линейным уравнением переноса. На этом уравнении можноизучать свойства разностных схем, применяемых для решения гиперболических систем уравнений.Рассмотрим для линейного уравнения переноса (1.21) задачу Кошиut + aux = 0, −∞ < x < ∞, 0 < t ≤ T,u(x, 0) = u0 (x), −∞ < x < ∞.(1.22)Характеристика x = x(t) уравнения (1.21) определяется уравнениемdx= a,dt(1.23)т.
е. является прямой с наклоном a к оси Ot. Следовательно, точноерешение задачи Коши определяется по формулеu(x, t) = u0 (x − at).(1.24)График точного решения в момент времени t получается переносом графика начальной функции на величину at (в положительном направлении оси Ox, если a > 0 и наоборот).Для уравнения переноса с постоянным коэффициентом a легко выписать точное решение и для начально-краевой задачи.
Пусть, например, a = const > 0. Тогда корректной будет следующая начальнокраевая задачаut + aux = 0, 0 < x ≤ l, 0 < t ≤ T,u(0, t) = µ0 (t), 0 ≤ t ≤ T,u(x, 0) = u0 (x), 0 ≤ x ≤ l, u0 (0) = µ0 (0).(1.25)Легко проверить, что если u0 (x) и µ0 (t) – дифференцируемые функции,то решение задачи (1.25) определяется формулой{u0 (x − at)при t ≤ x/a,u(x, t) =(1.26)µ0 (t − x/a) при t ≥ x/a.1.4. Явная противопоточная схема.
Перейдем теперь к изучению конечно-разностных схем решения линейного уравнения переноса.10Начнем с явной схемы с направленными против потока разностями(противопоточная схема) для начально-краевой задачиut + aux = f (x, t), 0 < x ≤ l, 0 < t ≤ T, a = const > 0,u(0, t) = µ0 (t), 0 ≤ t ≤ T,u(x, 0) = u0 (x), 0 ≤ x ≤ l, u0 (0) = µ0 (0).(1.27)Всюду далее будем рассматривать только равномерные сетки, покрывающие замкнутую область D̄ = [0, l] × [0, T ].
Построим следующую разностную схемуun+1− unjunj − unj−1j+a= fjn ,τhun0 = µn0 , n = 0, . . . , M,u0j = u0 (xj ), j = 0, . . . , N,j = 1, . . . , N,(1.28)аппроксимирующую задачу (1.27) с порядком O(τ +h). Как и ранее, этусхему можно записать в операторном виде Lh uh = fh .Название противопоточная схема связано с тем, что если мы рассматриваем уравнение переноса как модельное уравнение для системыуравнений, описывающих течение жидкости или газа, и отождествляемкоэффициент a со скоростью жидкости, то при положительной скорости, т. е.
при a > 0, в схеме берутся левые разностные производные,использующие узел xj−1 , расположенный против «потока» (расположенный вверх по потоку).Введем равномерные нормы в пространстве сеточных функций Uhи пространстве правых частей Fh :∥uh ∥Uh = max ∥un ∥C ,(1.29)n()∥fh ∥Fh = max max |µn0 |, ∥(u0 )h ∥C , max ∥f n ∥C ,nn(1.30)где∥f n ∥C = max |fjn |∥un ∥C = max |unj |,0≤j≤N1≤j≤Nn– равномерные нормы на слое t = t .С помощью принципа максимума можно доказать следующее утверждение.Теорема 1.1.
Выполнение условияaτ≤1h11(1.31)достаточно для устойчивости противопоточной схемы (1.28) в равномерной норме.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть xj – узел сетки с номером 1 ≤ j ≤ N .Перепишем разностное уравнение схемы в этом узлеun+1= (1 − r)unj + runj−1 + τ fjn ,jгде r = aτ /h. Из условия теоремы следует, что 1 − r ≥ 0, поэтому будетсправедливой следующая оценка n+1 u ≤ (1−r) unj +r unj−1 +τ fjn ≤ (1−r) ∥un ∥ +r ∥un ∥ +τ ∥f n ∥ ≤jCCC≤ ∥un ∥C + τ max ∥f m ∥C .mВ граничном узле имеем следующую оценку n+1 n+1 ≤ max|µm = µu0 |.00mСледовательно, максимальное из левых частей этих неравенств не может превзойти максимального из двух чисел в правых частях этих неравенств:() n+1 nmu ≤ max max|µm|,∥u∥+τmax∥f∥0CC ,Cmmа это и есть принцип максимума.
Получили, что при условии (1.31)схема (1.28) удовлетворяет принципу максимума. Поэтому (см. теорему 3.1.1) она будет устойчивой в равномерной норме по начальным данным, краевым условиям и по правой части.Это же условие (1.31) является и необходимым условием устойчивости схемы (1.28), что следует из спектрального признака устойчивостиНеймана.
Докажем это. Возьмем гармоникуunj = λn eijφ(1.32)и подставим ее в однородное разностное уравнение. В результате длямножителя перехода получим уравнение()λ = 1 − r 1 − e−iφ = 1 − r(1 − cos φ) − ir sin φ.Следовательно,|λ|2 = 1 − 2r(1 − cos φ) + r2 (1 − cos φ)2 + r2 sin2 φ =12= 1 − r(1 − cos φ) [2 − r(1 − cos φ) − r(1 + cos φ)] = 1 − 2r(1 − cos φ)(1 − r).Пусть в схеме (1.28) шаги τ и h связаны законом предельного переходаτr = a = const.(1.33)hТогда собственные числа λ (φ) не зависят от τ , поэтому необходимоеусловие устойчивости Неймана сводится к требованию|λ (φ)| ≤ 1,∀φ ∈ R.(1.34)илиr(1 − cos φ)(1 − r) ≥ 0,∀φ ∈ R.(1.35)Очевидно, что это неравенство эквивалентно при a > 0 условию (1.31).Итак, условие (1.31) при a > 0 является необходимым и достаточнымусловием устойчивости противопоточной схемы в равномерной норме.Отметим, что при a < 0 схема (1.28) абсолютно неустойчива, поскольку в этом случае нарушается неравенство (1.34) (см.
задачу 1.1).Какую же схему следует использовать при a < 0, когда поток распространяется справа налево? Отметим, что в этом случае корректной будет такая начально-краевая задачаut + aux = f (x, t), 0 ≤ x < l, 0 < t ≤ T,u(l, t) = µl (t), 0 ≤ t ≤ T,u(x, 0) = u0 (x), 0 ≤ x ≤ l, u0 (l) = µl (l).a = const < 0,(1.36)Для этой задачи возьмем следующую противопоточную схемуun+1− unjunj+1 − unjj+a= fjn ,τhunN = µnl , n = 0, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
