1612725465-542b3179b36a4849700e0b2ecf7da111 (828844), страница 4
Текст из файла (страница 4)
е. кроме ut .Покажем, например, как исключить производные по времени в членах порядка τ и τ 2 . Для этого перепишем уравнение (1.68) с учетомслагаемых до порядка O(τ 2 ) и O(h2 )ut + aux +ττ2hh2utt + uttt − a uxx + a uxxx = O(τ 3 + h3 )2626(1.69)и найдем с помощью полученного уравнения производную ut :ut = −aux −ττ2hh2utt − uttt + a uxx − a uxxx + O(τ 3 + h3 )2626(1.70)Эту производную подставим в слагаемые уравнения (1.69), содержащиепроизводные (ut )t и (ut )tt .
Учитывая порядок малости коэффициентовпри второй и третьей производных по времени, получаем, что в (ut )t21достаточно подставить производную (1.70), вычисленную с точностьюO(τ 2 + h2 ):τh(1.71)ut = −aux − utt + a uxx + O(τ 2 + h2 ),22а в (ut )tt – с точностью O(τ + h):ut = −aux + O(τ + h).(1.72)В результате такой подстановки уравнение (1.69) примет следующийвид:()τhτ2τ−aux − utt + a uxx +(−aux )tt =ut + aux +2226thh2= a uxx − a uxxx + O(τ 3 + h3 ),26илиaττ2aτ haτ 2utx − uttt +utxx −uttx =2446(1.73)ahah233=uxx −uxxx + O(τ + h ).26Выполнив подстановки в уравнение (1.69), далее аналогичные действия предпринимаем с уравнением (1.73).
Теперь надо подставить производную ut , определенную из уравнения (1.73), в четыре слагаемыхэтого же уравнения:()aτaτahτ2ut + aux −−aux +utx +uxx−(−aux )tt +2224xaτ haτ 2ahah2+(−aux )xx −(−aux )tx =uxx −uxxx + O(τ 3 + h3 ).4626После приведения подобных получим уравнениеut + aux −a2 τ 2aτ 2utxx +uttx =124( 2)aha τ h ah2=(1 − r) uxx +−uxxx + O(τ 3 + h3 ),226ut + aux −(1.74)в котором, в отличие от (1.69), нет вторых производных по времени.Оставшиеся в (1.74) смешанные производные utxx и uttx вычислим наоснове равенства (1.72):utxx = −auxxx + O(τ + h),uttx = a2 uxxx + O(τ + h).22(1.75)Следовательно, дифференциальное представление (1.74) примет видut + aux =ahah2(1 − r)uxx −(2r2 − 3r + 1)uxxx + O(τ 3 + h3 ).
(1.76)26Таким образом, мы избавились от производных по времени при степенях τ и τ 2 . Но производные по t пока остались при более старшихстепенях τ в правой части O(τ 3 +h3 ). Если продолжить описанную процедуру дальше, то в представлении (1.68) можно убрать производныепо времени до сколь угодно высокого порядка. В результате получимдифференциальное представление схемы в видеut + aux =ahah2(1 − r)uxx +(1 − r)(2r − 1)uxxx + . .
.26илиut + aux =∞∑k=2ck∂ku.∂xk(1.77)(1.78)Определение. Уравнение бесконечного порядка (1.78) называетсяП-формой дифференциального представления разностной схемы.Пусть разностная схема имеет порядки аппроксимации γ1 и γ2 по τи h соответственно.Определение. Дифференциальное уравнение, полученное из П-формы дифференциального представления отбрасыванием членов порядкаO(τ γ1 +1 , hγ2 +1 ) и более высокого, называется первым дифференциальным приближением (п. д.
п.) разностной схемы.Для противопоточной схемы (1.66) п. д. п. является дифференциальным уравнением второго порядкаut + aux = µuxx ,µ=ah(1 − r),2(1.79)которое, как видим, совпадает с уравнением (1.52) с диссипативнымчленом. Таким образом, при r ̸= 1 наша схема неявно вводит в аппроксимируемое уравнение переноса вязкость (диссипацию), которую называют аппроксимационной или схемной вязкостью. Наличие аппроксимационной вязкости и приводит к размазыванию начальной ступеньки.Определение. Свойство разностной схемы, обусловленное наличием в ее п. д.
п. производных четного порядка, называется численнойдиссипацией.23П-форма дифференциального представления разностной схемы Лакса – Вендроффа имеет видut + aux = −ah2ah3(1 − r2 )uxxx −r(1 − r2 )uxxxx + . . . ,68а п. д. п.ah2(1 − r2 )(1.80)6совпадает с уравнением (1.53) с дисперсионным членом.
Следовательно,при r ̸= 1 схема Лакса – Вендроффа неявно вводит в аппроксимируемое уравнение переноса дисперсию, поэтому решение разностной схемыможет осциллировать (рис. 4).ut + aux + νuxxx = 0,ν=y1.00.003210.51020x30Рис. 4. Графики точного решения (штриховые линии) и численногорешения (сплошные линии), полученного с помощью схемы Лакса –Вендроффа в моменты времени t = 1 (1); t = 8 (2); t = 15 (3). a = 1;x0 = 10; aτ /h = 0, 5Определение.
Свойство разностной схемы, обусловленное наличием в ее п. д. п. производных нечетного порядка, называется численной дисперсией.Подведем итог наших рассуждений. Для задач с плавно меняющимся решением, вклад в которое высокочастотных гармоник невелик, точность схемы Лакса – Вендроффа выше точности противопоточной схемы. Если мы решаем численно задачу, в которой решение имеет резко меняющийся монотонный профиль, то применение противопоточнойсхемы первого порядка даст монотонный неосциллирующий профиль,но сильно сглаженный.
Это результат действия численной диссипации.Схема Лакса – Вендроффа, обладающая численной дисперсией, можетдать немонотонные профили численного решения в окрестности разрыва или резкого изменения решения, искаженные нефизичными осцилляциями.24ЗАДАЧИ1.1. Показать, что при a < 0 схема (1.28) абсолютно неустойчива.1.2. С помощью спектрального метода Неймана показать, что явнаясхема для уравнения (1.21)un+1− unjunj+1 − unjj+a= 0,τhn = 0, ..., M − 1, j = 0, ±1, ±2, . . .(1.81)при a > 0 абсолютно неустойчива.1.3.
С помощью спектрального метода Неймана вывести необходимое условие устойчивости трехслойной схемы «leap-frog» (схема с перешагиванием, схема «чехарда») для уравнения (1.21)un+1− ujn−1unj+1 − unj−1j+a= 0,2τ2hn = 1, ..., M − 1, j = 0, ±1, ±2, . . . ,(1.82)если закон предельного перехода задан в виде (1.33).1.4. Определить порядок аппроксимации явной схемы с центральнойразностьюun+1− unjunj+1 − unj−1j+a= 0,(1.83)τ2hпостроенной для уравнения переноса (1.21). С помощью спектрального метода Неймана исследовать устойчивость этой схемы, если законпредельного перехода задан в виде|a|τ= const.h(1.84)1.5.
Определить порядок аппроксимации мажорантной схемыun+1− unjunj+1 − unj−1|a|h unj+1 − 2unj + unj−1j+a=·,τ2h2h2(1.85)построенной для уравнения переноса (1.21). С помощью спектрального метода Неймана исследовать устойчивость этой схемы, если законпредельного перехода задан в виде (1.84).251.6. Определить порядок аппроксимации схемы Мак-Кормакаu∗j − unjunj+1 − unj+a= 0,τh()un+1− 0, 5 u∗j + unju∗j − u∗j−1j+a= 0,τ /2h(1.86)построенной для уравнения переноса (1.21). С помощью спектрального метода Неймана исследовать устойчивость этой схемы, если законпредельного перехода задан в виде (1.84).1.7. Определить порядок аппроксимации противопоточной схемыс весамиun+1− un+1un+1− unjunj − unj−1jj−1j+ σa+ (1 − σ)a= 0,τhh(1.87)построенной для уравнения переноса (1.21) с коэффициентом a > 0.С помощью спектрального метода Неймана вывести необходимое условие устойчивости схемы (1.87), если закон предельного перехода заданв виде (1.84).1.8.
Используя принцип максимума, исследовать устойчивость в равномерной норме неявной противопоточной схемыun+1− unjun+1− un+1jjj−1+a= fjn+1 ,τhun0 = µn0 ,j = 1, . . . , N,(1.88)n = 0, . . . , M,u0j = u0 (xj ),j = 0, . . . , N,построенной для задачи (1.27).1.9. Используя принцип максимума, найти достаточное условие устойчивости в равномерной норме противопоточной схемы с весамиun+1− unjun+1− un+1unj − unj−1jjj−1n+1/2+ σa+ (1 − σ)a= fj,τhhun0 = µn0 ,(1.89)n = 0, . .
. , M,u0j = u0 (xj ),j = 0, . . . , N,построенной для задачи (1.27). Здесь 0 ≤ σ ≤ 1.261.10. Используя принцип максимума, доказать, что выполнение условия (1.44) достаточно для устойчивости противопоточной схемы (1.41)с переменным коэффициентом a(x, t).1.11. Получить п. д. п. (1.80) схемы Лакса – Вендроффа.1.12. Найти п. д. п. неявной схемыun+1un+1− un+1− unjjjj−1+a= 0,τh(1.90)построенной для уравнения переноса (1.21) с коэффициентом a > 0.Дать качественное объяснение поведения решения разностной схемыпри t > 0, если в начальный момент времени t = 0 задана ступенька (1.61).§ 2. Свойство монотонности разностныхсхем2.1.
Одно из основных требований, предъявляемых к разностнымсхемам, состоит в том, что решение разностного уравнения должно передавать особенности поведения решения аппроксимируемого дифференциального уравнения. Рассмотрим, например, задачу Коши для линейного уравнения переносаut + aux = 0,a = const > 0,−∞ < x < ∞,t > 0,(2.1)(2.2)u(x, 0) = u0 (x).Если u0 (x) — неубывающая (невозрастающая) функция переменной x,то при любом фиксированном t > 0 решение u(x, t) задачи (2.1), (2.2)также будет неубывающей (невозрастающей) функцией переменной x.Это следует из того, что в любой момент времени решение задаетсяформулойu(x, t) = u0 (x − at).(2.3)Естественно потребовать, чтобы и решение разностной схемы, аппроксимирующей задачу (2.1), (2.2), тоже обладало аналогичным свойством.
Но оказывается, что многие разностные схемы нарушают монотонность численного решения: вместо ожидаемых монотонных профилей получаются решения, содержащие нефизичные осцилляции (рис. 4).Причиной их возникновения является численная дисперсия разностных27схем, рассмотренная в предыдущем параграфе. В настоящем параграфе мы приведем условия, при выполнении которых разностная схемабудет сохранять монотонность численного решения.Рассмотрим произвольную явную разностную схему∑un+1=bα unj+α ,(2.4)jαгде α — целое число, α = α1 , α1 + 1, . . . , α2 , узлы xj+α определяютшаблон схемы.Определение. Разностная схема (2.4) называется схемой, сохраняющей монотонность численного решения (монотонной схемой), если она любую монотонную функцию un переводит в монотонную на(n + 1)-м временно́м слое функцию un+1 , причем с тем же направлением роста.Пример 2.1.
Аппроксимируем уравнение (2.1) на равномерной сетке противопоточной схемой− unjun+1unj − unj−1j+a= 0.τh(2.5)Эта схема имеет первый порядок аппроксимации по τ и h. Пусть сеточная функция un на n-ом временно́м слое является монотонной, например, монотонно возрастающей функцией, т. е. unj ≥ unj−1 для произвольного j. В этом случае при выполнении условия устойчивости схемы,имеющего вид aæ ≤ 1, где æ = τ /h, получим( n) ( n)nnnnun+1− un+1jj−1 = uj − aæ(uj − uj−1 ) − uj−1 − aæ(uj−1 − uj−2 ) == (1 − aæ) (unj − unj−1 ) + aæ(unj−1 − unj−2 ) ≥ 0.Итак, решение un+1 монотонно возрастает и на (n + 1)-ом слое. Такимобразом, противопоточная схема (обладающая диссипацией при aæ < 1)является схемой, сохраняющей монотонность.Пример 2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
