1612725465-542b3179b36a4849700e0b2ecf7da111 (828844), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Пусть, например, задана бесконечно дифференцируемая начальная функция{u1при x ≤ 0,u0 (x) =(4.11)u1 + (u2 − u1 ) exp [−(k/x)2 ] при x > 0(здесь u1 < u2 , k > 0). Решение задачи Коши (4.5), (4.11) описывается формулой (4.9). В силу условия u1 < u2 , функция u0 (x) являетсямонотонно возрастающей, поэтому уравнение (4.8) имеет единственноерешение ξ, и формулу (4.9) для решения задачи Коши (4.5), (4.11) можно переписать так:{u1при x ≤ u1 t,u(x, t) =(4.12)u1 + (u2 − u1 ) exp [−(k/ξ)2 ] при x > u1 t.Полученное решение будет бесконечно гладким в любой момент времениt > 0.Рассмотрим еще один пример начальной функции, для которой решение существует при всех t > 0, и для него можно выписать явную формулу.
Пусть u1 < u2 , x1 < x2 и начальная функция являетсякусочно-линейной:u1приx ≤ x1 , x−xx − x12u1 +u2 при x1 ≤ x ≤ x2 ,u0 (x) =(4.13)x2 − x1 x1 − x2u2приx ≥ x2 .Тогда на отрезке [x1 , x2 ] функция u0 (x) монотонно возрастает, поэтомуполучается семейство характеристик, проходящих через точки отрезка[x1 , x2 ], выходящих из одной общей точки (x∗ , t∗ ):x∗ = x1 + u1 t∗ = x2 + u2 t∗ ;t∗ = −x2 − x1,u2 − u1(4.14)где t∗ < 0, и расходящихся с ростом времени (рис. 9, а). Решение существует при всех t > 0, задается формулойu1приx ≤ xt1 , x − xttx − x12tt(4.15)u(x, t) =t − xt u1 + xt − xt u2 при x1 ≤ x ≤ x2 ,x212 1u2приx ≥ xt2 ,является непрерывной функцией, дифференцируемой всюду, за исключением двух точек xti = xi +ui t (i = 1, 2), в которых первая производная62терпит разрыв. Такие непрерывные решения задачи (4.1), (4.2) с конечным числом точек разрыва первых производных называются обобщенными решениями со слабыми разрывами.Решение (4.15) содержит центрированную волну разрежения – функцию, постоянную вдоль расходящихся характеристик, выходящих изодной и той же точки (4.14).
Легко показать, что в центрированнойволне разрежения имеет место равенствоx − x∗u(x, t) =,t − t∗поэтому формулу (4.15) для решения u(x, t) можно переписать в следующем виде:uприx ≤ xt1 , x −1x∗при xt1 ≤ x ≤ xt2 ,(4.16)u(x, t) =t−t∗tu2приx ≥ x2 .В центрированной волне разрежения график решения выполаживается:с ростом времени величина |ux | уменьшается (рис. 9, б).tu1.02.01231.50.51.00.00123x40а123x4бРис. 9. а – характеристики задачи (4.5), (4.13) при u1 < u2 ; б –решение задачи (4.5), (4.13) в моменты времени t = 0 (1), t = 0, 5 (2),t = 1 (3). u1 = 1, u2 = 2, x1 = 1, x2 = 2Пусть теперь выполняется обратное неравенство: u1 > u2 .
Тогдадо момента времени t < t∗ решение задачи Коши с начальным условием (4.13) по-прежнему является непрерывной функцией, определяемой по формуле (4.15), но при t = t∗ > 0 происходит пересечение63целого семейства характеристик в точке, координаты которой вычисляются по формулам (4.14). Следовательно, описанный способ нахождения решения становится непригодным, поскольку в точку (x∗ , t∗ ) характеристики будут приносить разные значения начальной функции,т. е. решение становится неоднозначным. Такое решение, когда характеристики сходятся в одну точку, называется центрированной волнойсжатия (рис.
10, а). В рассмотренном примере с кусочно-линейной начальной функцией (4.13) и u1 > u2 центрированная волна сжатия описывается формулами (4.15) или (4.16) и располагается в треугольникеxt1 ≤ x ≤ xt2 , 0 ≤ t ≤ t∗ , t∗ – момент возникновения градиентнойкатастрофы. Он определяется по той же формуле (4.14), по которойв предыдущем примере вычислялся центр волны разрежения. В центрированной волне сжатия величина |ux | с ростом времени увеличивается(рис. 10, б), и в момент градиентной катастрофы решение становитсяразрывным.Мы рассмотрели случай, когда начальная функция была задана формулой (4.13), и увидели, что для убывающей кусочно-линейной функции u0 (x) непрерывное решение существует только при t < t∗ . В случаепроизвольной начальной функции метод характеристик дает для решения формулу (4.10).
Продифференцируем обе части этой формулы попеременной x:ux = u′0 − u′0 ux t.tu1.02.01231.50.51.00.00123x40а123x4бРис. 10. а – характеристики задачи (4.5), (4.13) при u1 > u2 ; б –решение задачи (4.5), (4.13) в моменты времени t = 0 (1), t = 0, 5 (2),t = 1 (3). u1 = 2, u2 = 1, x1 = 1, x2 = 264Отсюда находимux =u′0.1 + u′0 tВидим, что если u0 (x) – убывающая функция, т. е. u′0 < 0, то наступитмомент времени1t∗ = − ′> 0,(4.17)u0 (x)когда производная ux перестанет существовать. Это соответствует пересечению двух или более характеристик, которые с линии t = 0 независимо приносят в одну точку области различные значения.
Гладкоерешение перестает существовать с момента времени (4.17). Решение становится разрывным. Поскольку дифференциальное уравнение не имеетрешение при t ≥ t∗ , то необходимо заменить его некоторым соотношением, которому подчинялось бы разрывное решение. И это соотношениедолжно быть эквивалентно дифференциальному уравнению на гладкомрешении.4.2. Разрыв в решении уравнения (4.1) может быть обусловлен заданием разрывной начальной функции (4.2). Однако, как показал разобранный пример с начальной функцией (4.13) при u1 > u2 , разрывное решение может возникнуть и при задании непрерывной начальнойфункции.
Выведем интегральное уравнение, которому удовлетворяетразрывное решение.Проинтегрируем уравнение (4.1) по произвольной ограниченной области D, лежащей в полуплоскости t ≥ 0 и имеющей кусочно-гладкуюграницу C = ∂D, и применим формулу Грина [12]:∫∫0=(I)−udx + f dt.ut + fx dxdt =DCТаким образом, получили интегральный закон сохраненияI−udx + f dt = 0,(4.18)Cкоторому удовлетворяет гладкое решение уравнения (4.1). Но, в отличие от (4.1), интегральное уравнение (4.18) может удовлетворяться для65разрывной функции u(x, t). Поэтому в основу определения разрывного решения (обобщенного решения с сильным разрывом) можно положить равенство (4.18), которое должно выполняться для любого кусочно-гладкого контура C.Отметим, что если для некоторой гладкой функции u(x, t) равенство(4.18) выполняется для любого кусочно-гладкого контура C, то функцияu(x, t) будет классическим решением уравнения (4.1).Пусть x = x(t) – линия, на которой решение u(x, t) терпит разрыв.В качестве D возьмем криволинейный четырехугольник abcd, содержащий некоторую дугу ef линии разрыва (рис.
11). Тогда интегральноеуравнение (4.18) для контура этого четырехугольника запишется в видеIudx − f dt = 0.abcdatdfcaebx=x(t)xРис. 11. Контур интегрирования в соотношении (4.18), используемыйдля вывода уравнения сильного разрыва (4.20)Будем стягивать отрезки ab и cd к точкам e и f пересечения с линиейразрыва.
Тогда интегралы по ab и cd обращаются в нуль, и уравнениепревращается в следующее∫[u]dx − [f ]dt = 0,(4.19)efгде [z] = zпр − zлев – скачок величины z на линии разрыва. На линииразрыва выполняется соотношениеdx =dxdt = Ddt,dt66где D – скорость движения точки разрыва. Поэтому равенство (4.19)можно переписать так:∫()[u]D − [f ] dt = 0.efВвиду произвольности участка ef подынтегральное выражение должноравняться нулю в каждой точке линии разрыва x = x(t)[u]D = [f ],(4.20)т.
е. скорость движения точки разрыва и значения решения по обе стороны разрыва не могут быть произвольными: они связаны уравнениемсильного разрыва (4.20).Вернемся теперь к уравнению Хопфа (4.5). Используя равенство(4.20), получаем следующее выражение для скорости движения точкиразрыва:u2пр − u2лев[f ]uпр + uлевD===.(4.21)[u]2(uпр − uлев )2Для начальной функции (4.13) методом характеристик было построено непрерывное решение (4.15), которое при u1 > u2 существует толькодля времени t < t∗ . Используя выражение (4.21), получаем следующуюформулу для разрывного решения задачи (4.5), (4.13) при t ≥ t∗ , т. е.после градиентной катастрофы:{u1 при x < x∗ + D(t − t∗ ),u(x, t) =(4.22)u2 при x > x∗ + D(t − t∗ ),гдеu1 + u2.(4.23)2В рассмотренном примере разрывное решение возникло из непрерывной начальной функции.
Пусть теперь сама начальная функцияявляется разрывной:{u1 , x < x 0 ,u0 (x) =(4.24)u2 , x > x 0 ,D=где u1 ̸= u2 . Согласно формуле (4.21), получаем следующее выражениедля разрывного решения при t > 0:{u1 при x < x0 + Dt,u(x, t) =(4.25)u2 при x > x0 + Dt.67u2.01231.51.00123xРис. 12. Графики двух решений задачи Коши (4.5), (4.24) приu1 < u2 . 1 – начальная функция (4.24); 2 – разрывное решение (4.25);3 – непрерывное решение (4.26). t = 1, u1 = 1, u2 = 2, x0 = 1Формула (4.25) получается одной и той же, как для значений u1 <u2 , так и для u1 > u2 . Однако в первом случае, при u1 < u2 , получаетсяеще одно решение в виде центрированной волны разрежения:u1x − x0u(x, t) =tu2x ≤ x0 + u1 t,припри x0 + u1 t ≤ x ≤ x0 + u2 t,(4.26)x ≥ x0 + u2 t.приГрафики решений (4.25) и (4.26) изображены на рис. 12.
Какое же изэтих двух решений нам следует взять в качестве решения задачи Коши(4.5), (4.24) при u1 < u2 ? Оказывается, что разрывное решение (4.25)не подходит, поскольку оно является неустойчивым.Теория нелинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа дает несколько критериев отбора устойчивых разрывных решений [18]. Один из таких критериев гласит, что в случае скалярногоуравнения (4.1) разрывное решение (4.25) будет устойчивым, если характеристики приходят на линию разрыва с обеих сторон. Для случаяu1 < u2 этот критерий не выполняется (рис. 13, а). Здесь характеристики «уходят» с линии разрыва. А в случае u1 > u2 (рис.
13, б) – критерийвыполняется: характеристики приходят на линию разрыва с обеих сторон и приносят на нее заданные начальные данные.68x=x0+Dtttx=x0+Dtx0x0xабxРис. 13. Характеристики задачи (4.5), (4.24) при u1 < u2 (а) и приu1 > u2 (б)u2.0141.5231.00123xРис. 14. Графики непрерывных решений задачи Коши для уравнения Хопфа при u1 < u2 для разрывной начальной функции (4.24) (1)и сглаженных на интервале (x0 − ε, x0 + ε) начальных функций (4.13):2 – ε = 0, 5; 3 – ε = 0, 2; 4 – ε = 0, 05. t = 1, u1 = 1, u2 = 2, x0 = 1Согласно другому критерию [18], если вместо разрывной начальной функции (4.24) взять сглаженную на интервале (x0 − ε, x0 + ε)(ε > 0) непрерывную начальную функцию, то соответствующее ей решение должно при ε → 0 давать в пределе решение, соответствующее разрывной начальной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
