1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Таким образом, общая rpуппа Лоренца разбиваетсяна четыресовокупности:L:L++1\00 ~ -1det А == 1~o ~ 1detA = 1Aoo~-lАоо ~1=-1dеtЛdetA == -1Ясно, что эти совокупности нельзя связать друг с другом пугем непрерывного изменения Элементов матрицы Лоренца. СовокупностьLtсама по себе образует группу. Доказательство основано на следующемсвойстве: матрицы, для кoroрых Аоо ~тельно, пусть А и Лматрицы АЛ равен-1, образуюг rpymry. Действидве такие матрицы. Интересующий нас элемент{ЛЛ}ОО = ЛооАоо + Ао1Л 1о + АО2 Л 20 + АозЛ зо .Применяя неравенство Шварца и используя формулы(22.15)(22.11)и(22.13),МbI можем написать(Ло1А 1о + Л О2 Л20 + ЛозАзо) ~2~ (АО122-2-22 -2-2+ Л О2 + ЛОз) (А 10 + А20 + лзо ) < ЛОоЛОо·Отсюда следует, что {АЛ}ОО(22.16)> о.
Так как матрица АЛ принадлежитобщей группе Лоренца, то окончательно мы получаем(22.17)что и требовалось доказать.Можно показать, что любые две матрицы, принадле:жащие одной совокупности, могут быть переведены непрерывным образом другв друга. Отсюда следует, в частности,что группаLt,содержащаяединичную матрицу, содержит таюке все собственные преобразованияЛоренца.
ГруппуLt называютсобственнойгруппойЛоренца. Если ввести в рассмотрение следующие три матрИЦЪI, принадлежащие общейгруппе Лоренца,р=(-1ооО1ООО1ОООs=(00:-! _~0-1~),оГлава244XXII.Группа Лоренца1=(-~оu ее-!Henpи80дuмыe представления~ ~)о -~ -~то общую группу Лоренца можно будет разложить на следующие сопряженные совокупности:FL~,Lt,SLt,IL:.Очевидно, что последние три совокупности совпадают с введенныминами ранее совокупностями L:, L~, L~.2.Связь группы Лоренцас rpуппой четырехмерных вращенийПокажем теперь, что группа Лоренца в окрестности единичного элемента однозначно связана с группой четырехмерных вращений O~(4).В дальнейшем это поможет нам получить все конечномерныe неприводимыIe представления собственной группы Лоренца.Найдем сначала число параметров или число независимbIX элементов матрицы преобразования Лоренца.
Мы видели, что матрицы Лоренца должны удовлетворять равенствуца Л*FЛ симметрична: (Л*FЛ)*= Л*FЛ,(22.8).Так как матрито условие (22.8) эквивалентно 10 условиям, наложенным на матричные элементы. Отсюдаследует, что из 16 элементов матрицы Лоренца независимых только6. Поэтому преобразование Лоренца является шестипараметрическим.Этими параметрами могут бытъ три составляющих скорости относительного движения и три эйлеровых угла поворora, определяющих взаимную ориентацию систем координат. Однако в дальнейшем в качественезависимых параметров нам будет удобнее выбрать углы поворотовв двумерных плоскостях (XOXl)' (ХОЖ2), (ХоЖз), (XlX2), (ХlХЗ), (Ж2ЖЗ).эти параметры мы обозначим через <POl, '1'02, 'l'ОЗ; 1P12, 'ФIЗ, 'Ф2З, а соответствующие им инфинитезимальные матрицы-черезBo l , ВО2, Воз;В]2, В 1З , ·В2З·Введем в рассмотрение группу четъlрехмерных вращений 0+(4).КоординаТh1 пространства, в котором действуют преобразования Ipуппы 0+(4), также будем обозначать через Хо, Х1, Ж2, Хз.
В отличиеот(22.1) для этой группы инвариантом будет положительно определенная квадратичная форма2ХО+ Ж]2 + Х22 + Хз.2(22.18 )Рассмотрим npoизвольное преобразование из rpуппы четырехмерных вращеНИЙ t оставляющее неизменными координаты Ж2 и Хз. Очевидно, что это обычное вращение в Шlоскости (жо Ж1), которое может2.Связь группы Лоренца с группой четырехмерных вращений245быть представлено в видеЖ~ ~ ЖО cos ~ - Xtsin <р,Рассмотрим равенстваХ'l = хо sin<p + Ж. cos ~.(22.19)(22.19)при мнимых значениях переменных хои ~, заменив ~ на i'(J, %0 наizo, x~ на iж~. Тогда вместо (22.19) мыполучимix~ = iжо ~os i<p - Жt sin i~,илиx~ = хо сЬ ~+ Ж1 sh ~,Если преобразование= ixo sin i<p + Жt сos i~(22.20)= хо sh ~ + Ж.
сЬ 'Р.(22.21)Х'1ж~имеет инвариант(22.19)x~ + x~ = inv,(22.21) получаетсято инвариант преобразованияна iжо:-ж~Но эта квадратичная+ жi(22.22)из(22.22)заменой хо(22.23)== inv.форма совпадает с инвариантомпреобразования Лоренца в плоскости (хо хl), Поэтому мы можем yrверждатъ,что преобразование (22.21) является двумерным преобразованием Лоренца.Аналогичны1t1образомможно получитьсвязь между преобразованиями Лоренца и преобразованиями rpуппы 0+(4) в плосКОСТЯХ (ХОХ2) И (ЖоZз). Что же касается преобразований в плоскостях (Ж1Х2), (Z2ХЗ), (ZIZЗ), то они для обеих групп совпадают, образуягруппу 0+(3).Таким образом, мы видим, что преобразования rpуппы Лоренцаполучаются из четырехмерных вращений заменой вещественных параметров поворотов в двумерных плоскостях (ЖОZi)(i= 1,2,3) на чистомнимые величиныI и одновременнозаменой координат хо наixo-ПоCKWIЪкy матричные элементы матриц четыIехмерньIx вращений являкугся периодическимифункциями,ствие между преобразованиямиимеет место только вмента.то взаимно однозначноесоответиз гpyrmы: Лоренца и rpуnпы0+(4)определенной окрестноcrи единичного элеЕсли матрицу четыехмерного вращения обозначить через0(<РО1, <РО2, ~оз; 'Ф12, 'Ф13, 1/J2З) , то соответствующая матрица rpynпы Лоренца может бытъ представлена в видеЛ('(JОl, ~02, ~оз; 1/J12, 1/JIЗ, 1/J2З) === V- 1 0(i<рОl'i'(J02,i~оз; 1/J12, 1/JtЗ, 'Ф2З)V,гдеу= (~оо1оО1ОО(22.24)l1Iава246XXII.Группа Лоренцаu ееHenpивoдuмыe представленияперестановочиыe соотношения3.ДJUI ивфииитеэим8JlЬНЫХ матрицПолучим перестановочныIe соотношения для инфинитезимальнbIXматрицrpуппыI Лоренца, соответствующих поворотам в двумерныхплоскостях.
Для этого мы сначала напишем перестановочные соотношения для инфинитезимальных матриц группы 0+ (4), а затем,используя уcraновленную нами связь (22.24), найдем перестановочныесоотношения для группы Лоренца.В rpуппе четырехмерных вращений можно выделить четыре подrpуппы трехмерных вращений, которые действуют в пространствах Rikjс координатамиXj, Xk, Xj:Ro12 :Хо,Хl,Х2;R 1 2З:Xl,Х2,2:з;R2ЗО:Х2,Хз,2:0;R зоl :Хз,Хо,2:1·Поэтому инфинитезимальные матрицы rpуппы 0+(4)', которые мыA01 , А02 , Ао з , A 12 , А 1 з, А23 (Aik == -Aki), :можно одобозначим черезновременно рассматривать как инфинитезимальныематрицы четырехrpупп трехмерных вращений:В О1 2:А 12 ,А20 ,А О1 ;R 12з :А 2 з,Аз],А 1 2;В230:Азо,Ао 2 ,А2З;RЗО1:А о ],А1з,Азо·для каждой из выписанных здесь троеК инфинитезимальных матрицмы имеем перестановочные соотношения типа (см.
главу== [Ai, A/r] = Aj.AiAk - AkAiТаким образом, мы получаемтальные три перестановочнЪJХ[Ао], А2З]= о,(22.25)перестановочных соотношений.12соотношения[A I2 , Азо] =так как матрицы, действующиеXI)о,Осимеют вид[АО 2, А 1з ] = о,(22.26)на разные пары координат,далжныкоммутировать.Теперь легко найти перестановочныесоотношения для инфинитезималъных матриц rpуппы Лоренца. Согласно(22.24)мы получаемследующую связь между инфинитезимальными матрицами обеих rpупп:(:~ ) О = iV- (:~)О v,1дА)( д'"_] (дО)О =Vд'" О V,V''"== V'OI, V'02, V'ОЗ;= "'12, "'13, "'23'(22.27)4.
Henpи80дuмыe представления247Преобразование подобия не изменяет переcrаново'пfых соотношений.Поэтому перестановочные соотношения для инфинитезималъных матриц группыI Лоренца ВО1, ВО2, Воз, B 12, В 1з , В2З будут такими :же, какдля матриц iA o1 , iAo2 , iА.оз, А 12 , А 1з , А2З. Это свойство будет, конечно,выполняться и для инфинитезимальных матриц представлений этихгрупп, для кorорых мы сохраним обозначения B ilc и Ailc.4.Неприводимые представленияМы уже знаем, что нахождение непривоДимых представлений непрерьmной rpуппы сводится к определению инфинитезимальных матриц этих представлений.Покажем, что задачу о нахождении конечномерных неприводимыхпредставлений группы Лоренца можно привести к аналоlИЧНОЙ задачедля группы 0+(4).
Действительно, если нам будут известны инфи-нитезимальныематрицы неприводимыхпредставлений rpyrmbl О"" (4) ,то соответствующие инфинитезимальн:ые матрицы дЛЯ группы Лоренцалибо будуг совпадать с ними (ддя пространственных вращений), либобудут отличаться множителем i (для преобразований, связывающихвременную и пространсгвенные координаты).Для определения инфинитезимальных матриц неприводимhlX предетаWIений rpуппы 0+(4) поступим следующим образом. Составимматрицы11J.Ll== 2(А 2з + Ао 1 ), Тl == 2(А2з - Ao 1),/L2= i(АЗIJ.Lз= "2(А 12 + А оз ),1+ А О2),11Т2 = i(АЗ1 - А02 ),Тз1= 2(А12 -(22.28)Аоз ).Летко проверитъ, используя перестановочные соотношения для матрицAik, что матрицы р, и т удовлетворяют таким же перестановоqиым соотношениям, что и инфинитезималЬНhIематрицы группытрехмерных врашений, т.
е.[p,,~]== р"(Т, т] == Т.(22.29)Кроме ТОГО, матрицы J.L1c и Ti коммутируют друг С другом. Мы удовлеJ.L/c и Ti возьмемтворим этим требованиям, если в качестве матрицJ.LiTiгдеMiи7i -= M i Х Ет) }(22.30)= Ем х Ti ,инфинитезималъные матрицы двух представлений rpуп- единичные матрицы этихпы трехмерных вращений, а Ер и Емпредставлений. На основании формулы(22.30)мы можем заключить,248ГлаваXXII.Группа Лоренцаu ее nenpи80дuмыeпредставлениячто группа четырхмерных вращений изоморфна прямому ПрОИЗDeдению двух групп трехмерных вращений. Так как все неприводимыепредсгавлеЮfЯ прямоro произведения двух групп могуг быть образованы композицией неприводимъrX представлений групп-сомножителей(см. главуIV),то неприводимые представления группы0+ (4) являются композицией неприводимых предстамений двух rpупп трехмерныхвращений.Мы знаем, что каждое неприводимоепредставлениеrpуппы вращений однозначно определяется своим весом j, КоторbIЙ может бытьравен неотрицателъномуuелому или полуцелому числу.
Поэтому неnpиводимые представления группы 0+(4) будут задаваться двумя числами j и j', каждое из которых может бытъ целыIM или полуцелым.Порядок такого предстамения равен произведению порядков неприВОДИМЫХ представленийrpупп трехмерных вращений, Т. е. равен(2j + 1) (2j' + 1).Инфинитезималъныематрицыnenpи8oдu.мoгOпредставлениягруппы0+(4) будyr определяться формулами (22.30), где вместо Mi и 7i надоподставить инфинитезимальные матрицы Henpи80диMых представленийгруппы0+(3).Если мы введем для инфинитезималъных матриц rpуппыI 0+ (4)новые обозначения:(22.31)то сможем написатьA~±)= (MiХ вт ± Ем Х Ti ).(22.32)для инфинитезимальных матриц неприводимых представлений группыЛоренца введем обозначения, аналогичные(22.31).Тогда мы получаемокончательно следующие выражения:B~+)= (MiХ Ер + Ем х 71), }в1-)= i(Mi Х вт - Ем Х 7i).(22.33)Таким образом, найденные нами неприводимые представления собственной группы Лоренца определяются парой чисел j, j', каждоеиз которых может быть целым или полуцелыI..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
