1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Следовательно, построенные ФУНКции будут приближенными собственными функциями рассматриваемойзадачи. Построим эти функции. Введем вместо функций 'Pk(r) их комбинации, симметричные и антисимметричные относительно инверсии:l{Jl+ f(Jз,'Р2+ 'Р4,'Р5+ l{J6,'Рl-'РЗ,'Р2-'Р4,'-Р5-'Р6·Ясно, что функции l{Jl - l{Jз, 'Р2 - 'Р4, 'Р5 - l{J6 должны преобразовыватьсяпо предстаRЛению Г~. Если пренебречь перекрыванием функций VJkИ считатьих нормированными,то соответствующиеприближенныесобственные функции нашей задачи можно записать в виде1...j2(I(J! - 1(J3),1...j2(1(J2 -1(J4),1...j2("P5 - "Р6) ..Приближенная собственная функция, преобразующаясяственному представлению Г I , имеет вид1Vб("Р!-+ "Р2 + "Р3 + 1(J4 + "Р5 + 1(J6).по тождеУ"азания"263решению задачОставшиеся две независимые функции симметричной цепочки,преобразующиеся по неприводимому представлению ГЗ, можно выбратьв виде1v4 [( СР2 + CJ'4) -(<р I + <Рз) ) ,1v'I2[(<P2 +СР4) + (СРI + CJ'з) - (<Ps + СР6»).8.3.Для простой кубической решетки обратная решетка также является простой кубической.
Для гранецентрированной решетки обратнойРис.Рис.19.20.является объемноцентрированная кубическая решетка. Зоны БрИJUlЮЭна для этих решеток изображены на рис.ДJlЯ гранецентрированнойдикулярныииего порядков.хосямчетвертогои20.Зона Бриллюэнаkzрешетки ограниченаП.il0СКОСТЯМИ,. перпендикулярнымиВ,и рис.треть-Зона БРИЛJ.rюэна для объ-емноцентрированнойвторого19решетки оrpа.ничена плоскостями,к осямпорядка.9.1. Буквами Г, В, М, Х, Л, ~, Е, Т,Z отмечены некоторые типичные симметричные точки зоны БРWIлюэнастой кубической решетки (рис.21).проХарактеры неприводимых представлений группволновых векторов, соответствующих ЭТИМTO(IкaM, приведены в табтщах:Рис.21.перпен-Прuложенuе264АЕ2СзЗiС2zЕс1icliCll.А1111Zt1111А2I1-1Z211-1-1Аз2-1ОZз1-1-11Z41-11-1Г,RЕзсl6С46С28Сзгl1111Г211-1-1ГЗ22ОГ43-1rsз["1i3iCl6iC46iC28iСз111111111-1-11О-122ОО-1-11О3-1-11О-11-1О3-1111111-1-11'"211-1-11-1г'322ОО-1г'43-1-11~3-11-1-1О-1-1-1-111-1--2-2ОО1О-311-1ОО-31-1IОД,ТЕс422С42iC42iC2~I11111~'111I-1-1~211-11-1~'211-1-11~52-2ОООУказания к решению задач.__.
_--- .Е,ЕS--,--- .С2icl265.Еl11iC211Е21-1-1Е)L-1-1L1:41-111-1мЕ2сlCll2C4 12С2i2iclicll.2iC4 1.2iC lХЕ2С: .lC;II2С4 112С2i2iCl-liclll2iC4 [12iC2M11111111111М2111-1-1111-1-1Мз1-11-111-11-11М41-111-11-111-1Ms2О-2ОО2О-2ООм'111111-1-1-1-1-1м'2111-1-1-1-1-111м;1-11-11-11-11-1м'41-111-1-11-1-11м'52О-2ОО-·2О2ОО~._~Примечание.
Вращение вокруг оси, перпендикулярной к векторуk,обозначено черезвекторk, -черезCl..,вращение BOKpyr оси, проходящей черезCII.Найти классификацию нормальных колебаНИЙ-это значит определить неприводимые представления трупп ВОЛНОВЫХ векторов, ПО которым преобразуюгся нормалъныIe координаты. Для определения характеров приводимоro предстаRЛения, по которому преобразуются нормальные координаты с даННЫ~f значением волнового вектора, воспользуемся формулами(9.8)и(9.9).Нам удобно представить их В следующемвиде:+ 2 cos tp) Е ei(ka)na для поворота,-(1 +- 2cos ~)a~ ei(ka)na для поворота с инверсией.(1X(g)={(*)Прuложенuе266Заметим, что если векторkлежит внyrpи зоны Бриллюэна, томножители ei(ka) можно опустить, так как в этом случае (ko) == о.8з84Выберем центр симметрии в узле А (рис.
22).Рассмотримэлементарнуювходят атомыI А ИB 1 • Приячейку,вкоторуюпреобразованиях симметрии атом А будет всегда оставаться на своем"'-...-.-I~--J)B6Рис.месте, а атом В 1будет совмещаться с атомами узлами В2, вз,... , ВВ.ми В2 , вз, ... ,Вв. Векторы о, входящие в формулу (*), соединяют узел В 1 с эквивалентныпредставления по формуле11.нуюпроцедуруВычислив характеры(*)разложенияи применяя обычэтоroпредставленияна неприводимыI,' мы получим следующую схему классификации нормальных колебаний рассматриваемого кристалла:.г~ г~I '-------1:1~~4~11:~4I-----M s, М 2, М 5, M sЛ1ЛзЛ1ЛЗ - - - - R~R~&1&5&1&5TsT; TsT;Z1 Z ;ZЗZ1 Z ;z.,Обратим внимание на то, что при переходе от более симметричнойrточки зоны БРИJUlюэна к менее симметричной (например, от точкик точке А) неприводимые представления для последней MOryr бытьполучены с помощью разложения представлений, соответствуюшихпервой.Например,r s = А ) + Аз,г~==hl+ Е з + ~4И т.
Д. Заметим, чтополученная здесь классификация нормальных колебаний, осНованнаяна чисто ~еханическом рассмотрении, справедлива лишь для неполярных кристаллов.Матр....... е.риводимwx предC'J'8.lUleНIIЙrpуппы Соо.Вращение на уголr.pОтражение в плоскости,прохошпu.еЙ через осьА}А2111-1Ет(e-~т~ei~1' )е ~)Уl(tlЗQНWll(реlUенuюЗQдо~10.1. ИСПQ1lЬЗУЯ метод, аналоПfЧНЫЙ тому, который был примеиеll в таве VJ для иахОJКдеиия матриц иеприводНМЫХ преДCJaВlJеllИЙгруппы Сп., мы получим результат, приведеllНЫЙ в таблице иа с. 266.18.1.ИСПQ1lЬЗОвать метод, изложенный на с.204,и классифнкациюIIормалЫIЫХ координат такой молекулы, получеииую и главе VJ[. Закои преобразования ОСЦНЛЛRТОРНЫХ вQ1IHoBых фуикций см.
иа с. 172.nромежуточиые и окоичательиые результаты для случая а) приведеныи таблице на с.268.18.2. Рассмотрим теllЗОР п-го раига в каноническом базисе, т. е.как I-теизор. Каждый из n Зllачков 1-теll3Ора принимает трн значения: 1, О, -1. HaitдeM сиачала число 6rn компоиеит симметричноготен3Ора п-го ранга, сумма значков КОТОрЫХ равна т.
Тогда кратнОСТЬr, неприводимого преДСПWJеиия D(L) и рассматриваемом тензориомпредспи,1еиии :'oIожет быть опреде,1еllа по фоР:'olулеr, =6L-6,.+I.Обозна'IИМ через 01, 00, 0_1 чнсла теНЗОрllЫХзначков данной комIlоиенты, раВНЫХСOOТВC'ТC'Пleнно1, О, -1 (01+00+0_1 = п). ОчеВИДllО,'ГГО m = 01 - 0_1' Поэтому мы можем напнсать HepaвeHCТ1IOЗнак раненства справа имеет меСТОТQ1IЬКО и том случае, если числа mn одинаковой четности. Отсюда следует, что 6rn = n - m1, если mn одинаковой четности, н 6rn = n - т, еслн m н n имеют противопо-+11и=ии~ю:е:И=а:=~Л~=;~;П~~И(: ~;) ~(пL~2>-~~~~: iи n противоположиой четИOCПl. В обоИХ случаяХ, коиечно,18.3.ВосПQ1lЬЗОRaТbCЯ методом, изложениым иа с.том упражнеиия22,1.205,L~ п.и результа18.2.Рассмотримдве системыотсчета,сительио друга С постояииой скоростьюЛоренца, связывающее пространственныедвижушиеся17.друг отноНаЙдем преобразованиеи время в этихкоордииатысистемах.
Рассмотрим преобразование Лоренца !/О), соответствуюшеедвюкению вдоо1ь оси Oz. Очевидно, что преобразование Лоренца, соответствующее двнжению со скоростью 17, может быть преДCJaВlJено в виае u!/O)(1/I)u- 1, где преобразование u совмещает ось Oz с напpaвnениемскорости 17. nреобразовaJlие и- I можно записать В виде 912("')91)(8),r:дe8-угап межау осьюOzИ скоростью17.оси авух систем могут быть ориеlПИРОванытe.1bI10 связь межау рассматриваемымиТак как простраиствеиныепроизвольно, то ОКОllчасистемамиспомошьюпреобразоваllИЯЛ=U'U90)(ф)u- =u"90э(ф)u- •1lотсчетаполучаетсяt-.)~Е01°iЕо;:::7ЗС201 ~З11'2= 275ЧЧ111.2832г(1)]г(3)6C~3= 16С201:;0111'411'24== 1=3ВСз01аз== 1= 2iЗiС201 ~ I01 -;.::а2а2= 346iC~5= 1а.а204=1= 1=16iC20111'2=3=28iСз01 ~06стаТ.
веса1= 163S}fнччн-1-111-11.66483241111112О-122ОО-1О-11О3-1-11О12-1.-11О-311-1ОО-11-tО-31-11О643ннч-1-111616811122Ог(4)3-1г(4)'3r(sYзос2iЧeтJIОСТЬг(2)' = 1'АEQiх=2'~~в:t:~Прuложенuе"главе У//269ПоеКQ.;1ЪКУ произволъное вращение и" можно представить в видеи"== 912 (")l(J2 923 ((JII) 912 (")tp ,то окончательно мы получаемЛ == 912('Р~)g2з(8")gI2('Р~)90з(ф)gI2(V')92з(8).22.3. Рассмотрим инфинитезималъные матрицы неприводимоroпредстаНJIения n O,1 2 ) группы Лоренца, соответствующие группе трехмерных вращений. Согласно формуле (22.33) они имеют видв: = (Mi х Ег+ Емх Tj),Т.
е. совпадают с инфинитезимальными матрицами прямого произведеиия n(ll) хn(12)двух неприводимых представлений группы вращений.Применяя правило Кл:ебша-Гордана, мы получим, таким образом, чтонеприводимое представление n(I"2) имеет следующее разложение:D(1112 ):"".::D(ll+12) ЕВ D(IJ"t 12-1) ЕеIIриложение к главеРис.23.•.. ЕВ D(I I I - 121).VIIОсвk -ro oopJ1ДК8 веnpивоДИМЫХ ореДСТ8вленвй группы О(К таблице на с.270-272)~'1Матрицы веприводIIМWX предетавлевий групп .. О(;)(с~Ж») 3с(7/)2c(z)2111111111111-1-1-1-1(~~)(~~)(~~)(~~)c(~)Еr(l)г(2)с(ж)2с(')4c(z)44%1/%г(3)J3~1I2 - .:2)r - зх 2г(4)1Jz ,zz,z1l(100)О1ОО О1О(-10-1ОО(-1О-1ОО(' -1О О) (-101О О)ООО0-1ОООО(-10О О1О0-1О ООбознаlIение: c~4)-г(~)Х,1I,%(1 О1 О) (1 -1О О)ОО1О)О-1( ~ 1) (-~ ~r)(-1 00) (О О -1) ( О 1О)(-1 О)1.ОО О)О -1 ОtО О)О1v11-2ТОО1О-1ОО-}О1ОО(10ООО)0-1I О( 001)О1О-}О О-JO ОО 0-1.(О1 -1О О)ООО1(-~ ~)~~~t:( -}О 0-1о О)О1О(1 00)ОО1О-1ООСЬ k -го порswка , проходящая через точки а (рис.
23 на с. 269). Рядом с символами неприводимыхпредставлений приведены примеры ненормированных базисов.~~г(С1 У ») 3I(c~%») зC(I)2c~2)с(З)1t-1-1Jс(4)2c(S:t2с(6)1111-1-1-1-1221IIГО)11IIIIг(2)-1xyz-1~s~~:tt=г(З)v'З!у2 _ :?) (r - зz 2г(4)yz, xz,хуr(S):t,y,z!vrэ)4_24( О -101)ОО-}О О(О01О -])О10О(!-~_vrэ)'(-t(О1 -]О О)ООо-}( 0]0)-1О ОО О1_vrэ)!I -1-~(О]О)1О О(-~ ~1) ( ~ 1) ( ~JjТОО О-1Оt-'2ООО0-121О1О О( -1О -1 О) (О101 О) ( О -1ОООО0-1-}О~)~ _!1( 0-10) (001)О001~2( О 0-1)1О-1ОО(-~ ~)О(] 00)001ООО1ООО ОО-1~~~~-1) (О 01) (-1О(-~ ~)1ОООО0-1О)-1с О0-1О)О;s---.-1( -1ОО О)1О О010N'-J~1'(1)г(2)жуzс(6)3с(с)C(d)33(c~CI»)2(с16») 2(c~c») ](C~d») 211111111I1I11111гР)JЗ~у2 __ z2)т .. - Зж](tvзс(а)JЭ)~~ _2~I(-~:r2 -1)_!22(JЭ) ( -t.;з~1 :~IТ-1) (-~ -1)1-1:v'3Т1-2(~) (-~.;з~1 ~~IТ-1)I~2(~)~1_2~I'-1tV~§~~Е::~г(4)yz,zz,xyLIг(5)Ж,у,Z(О1 ОО -1)ОО-[(О1ООо-1ОО0-\)(0-10·-1О) (001)( 0-10) ( О 0-11 О) ( -1О 01)1ОIОО(ОО -\О ·--1О)1ООО ОО0]0-1ОIО ОО-10О ООО-1О( 0-10)(00( О 0-11 О) ( -1О 01)1 1)1ОО ОО1О-1ОО ОО-1 ОО ООО-1О(ОО О1О)11ОО(ОО О1О)1IО О( -10О О -1)ООIО( -tО 0-1)ОООIОБиблиография[1]Вигнер Е.
Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теорииатомных спектров. М.: ИЛ,[2]1961.Ван дер Вардеn Б.Л Метод теории групп в квантовой механике. Харьков,1938.[31 Wey/Н. ТЬеTheory of Groups and Quantum Mechanics. Dover Publications)Inc., 1931.[4] Любарскuй Г.Н. Теория групп и ее применение в физике. М.: Гостехиздат,1957.~51 Хейне В. Теория rpупп в квантовой механике. М.: ИЛ,1963.[6]Гельфанд И. М., k/uНlloc Р. А., Шапиро з. Я.
ПредстаWIения группы вращенийи группы J10ренца. М.: Физматгиз, 1958.[7]МУРНа2ан Ф. Теория представлений групп. М.: ИЛ,[8]Воеmег1950.H.Darstellungen von Gruppen. Berlin, ]955.[9] Lomont J. S. Applications of Finite Groups. New York, 1959.(101 Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическимпроблемам.ЕДИТОрИ8.i"1 УРСС,2002.(11] Мс Weeny Я. Symmet.ry. Ал Introduction to Group Theory and Its Applications.Oxford: Pergamon Press, 1963.(12] Смирнов В. и. Курс RI~сшей математики. Т.
111. Ч. 1. М.: Наука, 1957.[13]Ландау л.Д., Лифщuц Е. М. Курс теретической физики. Т.3. Квантоваямеханика. М.: Наука,1974.and Dawber Р. J. Symmetry in Physics: in 2 vol. London: TheMacmil1an Press, 1979.Кар/аn 1. G. Symmetry of Many-Electron System. New York: Academic Press,1975.Bradley С. J.
and Cracknell А. Р. The Mathematical Theory of Simmetry inSolids. Oxfprd: Clarendon Press, 1972.CracknelJ А. Р. Group Theory in Solid State Physics. New York: Academic Press,1975.Burns G. and Glazer А. М. Space Group for Solid Statc Scientiests. 2nd ed. NewYork: Academic Press, 1975.Evarestov Я. А. and Smimov ~ Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
