1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Мы будем обозна-чать эти представления черезравен(2jстамения+ 1)(2j' +D(jj').Порядок представленияD(jj')1). Инфинитезимальные матрицы этого предопределяются формулами (22.33), в KOfOPЫX Mj и Т; -5.Прямое произведение Henpивoдuмых nредставленийинфинитезимальныевращений с весамиматрицынеприводимых249представленийгруппыiво вто-j и j' соответственно.Обратим внимание на то, что из-за наличия множителярой формуле (22.33) инфинитезимальныe матрицы В!-) не ЯВЛЯЮТСЯаlПИЭРМИТОВЫМИ И, следовательно, представления D(jj') не унитарны. Неунитарность конечномерных представлений группы Лоренцасвязана с тем, что группа Лоренца не ЯWIЯется компактной. Кромеконечномеркых неприводимых представлений группа Лоренuа имеет также бесконечномерныеунитаРНhIе неприводимые представления.В квантовой механике эти представленияимеют ограниченнуюобластьприменения (см.
главу XIV), и мы их рассматривать не будем.5.Прямое произведение неприводимыхпреДСТ8влений rpуппы ЛоренцаДля рассмотрения этого вопроса мы опять воспользуемся установленнымсоответствиемпредставленийгруппы Лоренца спредставлениями rpуппы0+(4). Условимся неприводимые представлениягруппыI 0+(4), соответствующие нелриводимым представлениям n(jj')группыI Лоренца, обозначать через пи/) .Мы видели, что неприводимые представления группы 0+(4) можновыразить как прямое произведение неприводимых представлений двухгрупп трехмерных вращений:(22.34)где9 и g' -элементы, принадлежащие двум независимым группам трехмерных вращений.
Найдем разложение прямого произведения jjUlj~) Х jjU2j~) на неприводимые части. Согласно (22.34) мы можемнаписать(22.35)Если МЫ буд~м рассматривать равенство матриц представления с точностью до преобразования подобия, то в правой части(22.35)мыможем переставить порядок множителей. Используя правило КлебшаГордана для групп О ~ (3) (см. главу XII), МЫ получимjj(jlJ~) Х jjU2i;) = (DUl)(g) х D(j2)(g)) х (D(з~)(g') х DU;)(g')) =j~+j;Jl+12= ЕФj=!j,-j21D(j)(g)Х ЕФj'=lj~ -j;1DU')(g').(22.36)250ГлаваНо согласноXXlI.Группа Лоренца и ее Henpи80дuмыe представления(22.34) полученныйрезультат можно привести следующемувиду:jl+j2jjUll~) Х jjU2j;)=j~ ~j;L L$jjU;').(22.37)j=ljl-j21 j'~lj~-j~1ЯСНО, что в силу установленногосоответствия между неприводимымипредставлениями группы Лоренца и rpуппы O~(4) мы получим аналогичное разложение для прямого произведения двух неприводимЪ1Хконечномерныхпредставленийrpуппы Лоренца.Упражнения22.1.До:казать, что произволъное собственное преобразование Лоренцаможет быть представлено в виде произведения шести однопараметрическихпреобразований в двумерных плоскостях.22.2.Написать явное выражение для инфинитезимальных матрю( нсприводимых представлений:D(о ~) ,D( ~ о) ) D( ~4) ,D(! ~).22.3.
На какие неприводимые представления rpупnы трехмерных вращенийможет быть раЗJlожено представление n Ui')?22.4. Найти разложения на неприводимые представленияn(! о) х n(4 4),D(!~) х D(~ ~).22.5. Доказать, что четырехмерный векторпо неприводимому представлению D(! ~) .(%0) %1, %2) %з)преобразуетсяГлаваXXIIIУравнение Диракав качестве приложени.я теории предстамений группы Лоренца МbIрассмотрим релятивистеки mmaриантное волновое уравнение для сво-бодной частицы со спином!-уравнение Дирака.
Так как ВОJПIоваяфункция в этом случае яwmется многокомпоненmой величиной, которая при преобразовании Лоренца должна преобразовыватъся по некоторому представлению группы Лоренца, то это уравнение фактическипредстааляет собой систему линейных дифференциальных уравнений.Мы предполагаем, что читатель знаком с теорией уравнения Дирака,обычно излагаемой в курсах квантовой механики. Поэтому в этой главемы ограничимся исследованием лишь трансформационных свойств егорешений. Рассмотрим сначала общие свойства релятивистеки инвариантных уравнений.1.Релятивистски инвариантные уравненияСистему линейнhIX диффереJШИальных уравнений первого порядка,описывающих состояние свободной частицы, можно записать в видедфLO-aЖОдф+ L 1-aЖlд~дфaa+ L2- + L3- + iхфЖ2zз= О,(23.1)rдe 'ф = (~~) - многокомпонентная ВОJПlOвая ФУНЮJ,ИЯ переменНbIX Жо, жI, Х2, жз, аLo, ...
,L зи х -некоторые матрицы, элементыкоторых не зависят от координат и времени.Рассмотрим условие инварианrnосm системы (23.1) относительнопреобразований Лоренца. Для этого запшnем ее в новой (штрихо-ванной) системе координат. Пусть Х и х'пространственно-временная точка= АХ-одна и та жев двух рассматриваемых системах.Закон преобразования волновой функции при переходе к штрихованной системе координат имеет вид'Ф'(ж')илиф:(ж') == D(А)'Ф(ж)L{jD".A{ Л)фfj(Ж).(23.2)Глава252Покажем, что матрицыУравнение ДиракаXXIII.D(A)образуют представление группы Лоренца.Действительно, при последовательном применении двух преобразований Лоренца мы получимф~(х") ==LD..,6(А')ф~(х') ==6==LD16 (Л')D6fj(А)фfj(Ж) ==L(3,6D..,fj(А")фl3(Ж)'(23.3)fjЗапишем уравнение (23.1) в штрихованной системе координат. для этого, применяя обратное преобразование, найдем(23.4)Далее, мы имеем3ж~ ==LАikЖk(23.5)k-Oи, следовательно,д3ддХik~OдЖ k-==LЛ ki -,'Подставляя(23.4)и(23.6)в(23.1),(23.6)получим~L D- 1 д1/J'л.
D-1,.k'ОL..-J iд' ki + Z~'r' == .(23.7)Ж k•i,k=OМатрицу ~ мы будем считать неособоЙ. Поэтому, не нарушая общности, можно положить ее равной матрице, кратной единичной. Действительно, мы всегда можем умножить обе части уравнения (23.1) на ~-l.Тогда, умножая (23.7) слева на матрицу D, получим~L..J AkiDLi Dk,i~O-lдФ'.,д' + f,~фИз требования инвариантностиЖkуравнения== о.(23.1)(23.8)относительно преобразования Лоренца следует, что3Lk =LAki.lnjD- 1(23.9);=0з1D- LkD ==Li=OЛkiL i .(23.10)1.Реляmивисmски инвариантные уравненияИмея в виду это равенство, говорят, что матрицыLt253пре06разуются,как четырехмерный вектор.
Формулы (23.9) дают нам условие инвариантности рассматриваемой системы дифференциальных уравнений.Выясним, какой вид имеют прocrеЙlIIИе релятивистски инвариaНТНbIe системы (23.1), состоящие из минимального числа уравнений.Так как число уравнений равно числу компонент ВОJПIовой функЦИИ, а последняя пре06разуется по некоторому предстамению группы Лоренца, то естественно начать исследование с уравнения, которое соответствует неприводимому представлению гpyJuIыI Лоренцаминимальной размерности.
Мы можем начать с тождественного од-номерного представления D(OO). Однако можно убедиться в том, чтод.,'I1Яэтогопредставленияневозможнонаписать релятивистски ШJ.Вaриантное уравнение типа (23.1). В самом деле, перенося член iхфв (23.1) в правую часть равенства, мы получим, что слева стоит ве-личина, преобразующаяся по представлениюD(OO)х D(~ ~), в то время как правая часть преобразуется по предcrавлению D(OO) 1). Ясно,что равенство двух величин, преобразующихся по разным представления\{, невозможно. для того tПобы можно было написать релятивистски инвариантную систему, решение которой преобразовывалосьбы по предcrавлению, содержащему тождественное, это представление должно было бы по крайней мере содержать еще неприводимоепредcrавление D(1~).
в этом случае мы получили бы систему, состоящую из пяти уравнений. Исследуем теперь уравнение для вол-новой функции, пре06разующейся по представлению D(~ о) второгопорядка. Применяя то же рассуждение, что и выше, мы увидим, чтослева в уравнении стоит величина, пре06разующаяся по представлениюD(~ о) х D(~ ~) = D(l~) ЕВ D(O ~),а справат. е.в-по представлениюэтомслучаенаписатьрелятивистскиинвариантнуюсистемутакже невозможно.
Однако мы не придем к противоречию, если будe~! считать,что волновая функция преобразуется по приводимомупредставлению D(~O)EВD(O!) четвертоrо порядка. Полагая в (23.10)D = D(~ о) ЕВ D(O~), можно однозначно определить матрицы L i • Полученная система будеr состоять из четыIехx уравнений для четырехкомпонент волновой функции. Эта система, записанная в виде уравнения1)(23.1),назьmается уравнением Дирака.См. упр.22.5.Глава254Уравнение ДиракаXXJII.Уравнение Дирака2.Матрицыгл.2).Li могут быть найдены из условий (23.10) (см.Мы сразу приведем явный вид уравнения Дирака:д~Lo-дхо+Lд~д~д~.1a +L2 a+L За +'tХ'ФХ2Хзхl[6],ч.2,(23.11)==0,гдеLo-L2=(~О1ОО1ООО1О(~ООО-z-iООО~)~),I(~L) =LзОО -1О~= ( -1-1)О1ООООО'1 -1О) .оООООО1ООО(23.12)Четырехкомпонентная ВОЛновая функция (биспинордирака) ф=(Е)преобразуется по представлениют .
е. две ее первые компоненты 'ФI, 'Ф2 преобразуются по прелставлению D( ~ О), а две последние 'Фз, 'Ф4 - по представлению D(O 4). Используя результат, полученный в предыдущей главе, можно написатьявный вид инфинитезимальных операторов этих неприводимых пред-ставлений. Для инфинитезималъНbJХ операторов представления n( ~ о)МЫ получим следующие выражения:в(+) = ~ (О121~),в(+) = ~ (О-1)Bi~) =:: ~-~) ,2221(1ОО'в Н = _~ (О21_~2 (О1 -1) 'Н _ 1(]) ---_~)НВ2В~),1(23.13)О-2ОI3.255Комплексно сопряженный бuсnuнор Диракаа для инфинитези..\1альныx операторов представления D(O i) найдем:~),в(+) = ~ (О121в(+) = ~ (О-1)в(+)= ~2 ( О13-~) ,221О'~) ,<->_1(01- 2B1B~-)О12(-) _ ~ ( 1Вз-1)= _~ (ОО- 2'(23.14)-~) .Если вместо «канонических» компонент волновой фунхции мы возьмемих линейные комбинации 'Ра = Е СоfJФfJ' то уравнение для функции 'Рбудет иметь вид (23.11) с матрицами L~положим'Р} = ф2 + Ф4,ЧJ2 == -(фl + 'Фз),== CLiC-1.
Если, например, мыl{)з -_- -'Ф2 + 'Ф4, }(23.15)'Р4 - фl - 'Фз,то получим уравнение с матриuами L~ = 1i, имеющими следуЮЩИЙявный вид:"УО(~==12 = (~-zоо1ОО-1ООоООо-~)"УliООООоОО1О-1О-1ОО=(-~-iОо1З=Запись уравнения дирака с матрицами1;,~) ,оо1ОООО1О-~)(23.16)являетСЯ более распространенной.3.КОМWlек:сно сопряженный бисnинор Дираканайде~ закон преобразования комплексно сопряженной ВОЛНОВОЙфунщии 'Ф. Ясно, что комплексно сопряженныIe функции преобразуЮТСЯ по представлениюс комплексносопряженнымиматрицами.Несколько расширяя наше рассмотрение, мы можем сформулировать задачу следующим образом.
Пусть задано некоторое неприводимоепредставление группы ЛоренцаDUlj2).Если вместо каждой матрицыэтого представления мы возьмем комплексно сопряженную, то сноваполучим представление группы, которое будем называть комплексnU1Ь) Оно сопряженным представлениемD.чевидно, это представление256ГлаваXXIII.Уравнение Диракатакже будет неприводимым' Т. е.&1;2) = DU~;~).Требуется найти j~, j~. для этоrо применим операцию КОМШIексного сопряжения к инфинитезималъным матрицам неприводимоrо пред-ставленияНапомним, что инфинитезимальные матрицыI rpуппыIDUlj2) .Лоренца представимы в виде1()' = ~ М' х Ер + Ем х 1iВ (+)I}(23.17)в1-) = ~(M, х вт - Ем х 1i),гдеTiиMj -лений rpуппыинфинитезимальные матрицы неприводииых представ0+(3)cooтвeTC~HHO с весамиjl и j2, а Ем и Ет -единичные матриJ.J;ыI этих представлений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
