1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Применяя КОМШIексное сопряжение, МbI получимBi-(+)-)= '12 (Mjх Ер + Ем х Ti ,(23.18)-(-)Bi= 'i2 ( Ем х Т;- -(23.19)MiХ Ет).мы знаем, что перестановка множителей в прямом произведенииматриц эквивалентна некоторому преобразованию подобия. ПоэтомуМЫ можем написать~+)1 []-1Mi + Ti Х Ем U ,В;="2и Ет х-(-)="2и Т; х Ем - Ет х М; UВ;i[--]-1(23.20)(23.21).Далее, мы знаем (см. rлаву XII, п. 4), что матрицыI М; И Т; с помощьюпреобразования подобия могут бытъ вь:rpажены через каноническиематрицыI мi и7i:-1VTTiVTгде матрицы УТ иVM-= Tj,-1Mi,VMМiVM=(23.22)ЯWIЯIOТCя матрицами соответствующих представлений для поворота на 1800 вокруг оси ·Оу. Подставляяи (23.21), мы получим:'Bn1+)in(-)Bj= ~1W [Ет х М' + 1i х Ем ] W _1},=2I W [ TiХ Ем]- Ет Х Mi W-1,(23.22)в(23.20)(23.23)3.257Комплексно сопряженный бuсnuнор Диракагдеw=Сравнивая(23.23)с(Вт х Ум)(23.17),(VTх Ем)и.(23.24)мы видим, что комплексно сопряженныеинфинитезимаJIbныIe матрицы B~ +) и B~ -) с точностью до преобразования подобия совпадают с каноническимиинфинитезимальнымиоператорами неприводимоro представления D(;2 jl) .
Таким образом, мыполучаемj; = j2,j~ == j].(23.25)Но кроме этого результата мы получили также явный вид преобразования, которое ПРИВОДИТ комплексно сопряженные инфинитезималъныIeоператоры к каноническому виду. Это преобразование определяетсяформулой (23.24). Таким образом, есJШ {qa} есть базис представле-ния D(il Ь), то {qa} есть базис представления DU2jl). Базис {qa}не является каноническим. Переход к каноническому базису{qa}осуществляется с помощью преобразованияqa =L WfJaQfJ·(23.26)f3Напишем преобразование (23.26) для представления n(О i). Так какбазис этого представленияодновременноявляется базисом неприводимого представлениягруппы вращений, то согласно (12.52) МbI имеем(23.27)илиКак мыпоказали,Ql, q-lвеличины22образуют базис представле-НИЯ D(~O). Наоборот, если Р!, P-l - базис представления D(!O),то из2(23.27)сл~дует, что величины2(23.28)образуют базис неприводимого представления D(O~).
Эти результатымы можем непосредственно применить для выяснения закона преобразования комплексно сопряженного биспинора Дирака. Мы получим(23.29)где Ф~, 'Ф2' Фз, 'Ф4-четыре компоненты некоторого нового биспинора.Глава258XXIII.Уравнение ДиракаИнварианmая квадратичная форма4.Составим теперь из компонент биспинораэрм ито ву квадратичную форму, инвариантную относительно собственных преобразованийЛоренца:inv =LФi'Фk 4 ik=LдляToroФ;Ф/;Ьik .(23.30)i, теi, kчтобы определить коэффициенты аilс, заметим, что1)тождественное представление группы Лоренца содержится только в прямом произведении одинаковых представлений,должна3)ан,=быть такжеинвариантной2)квадратичная формаотносительногруппы вращений,akl (условие эрмитовости).
Учитывая первые два условия, мыможем написатьinv == а(ФI'Ф~-'Ф2Ф;)+ Ь(ФзФ; -'Ф4Ф~) ==где а и Ьпроизвольные комплексные числа. Используя требование=-а(ФIФ4 + 'Ф2ФЗ) + ь( -'ФЗФ2 aik-Ф4ФI)'(23.31)= aki, получаем а == Ь,inv== а('ФIФ4 + 'Ф2ФЗ) + а('ФЗФ2 + 'Ф4Фl).(23.32)Как легко убедиться, эта форма не является положительно определенной, что находится в согласии с тем, что рассматриваемые представления группы Лоре}Ща неунитарныI. В частности, если положить ато МЫ получим==1,инвариантinv == ~'Ф,где Ф = (Ф41Фз.Ф2' Фl) матрица-сгрока,-(23.33)'"=(~~) - матрица-столбец.
Законы преобразования величин 'Ф, Ф при преобразованииЛоренца представимы в виде= ~п.(23.34)~'~' == ~jjDф = ~~,(23.35)'Ф' = D1jJ,Так как ф~-~'инвариант, тооткудаjj= D- 1•Используя этот результат и формулу (23.10), легко, например,доказать, что величины ~Li~ npeобразуются, как четырехмерныйвектор.ПриложениеУказании к решению задач1.1.Рассмотрим шар с центром в некоторой точке о.Зададимна поверхности шара две произвольные точки А и В. Рассмотримтеперь такое движение шара, при котором точки А и В переходят в А'и В' (рис.
18). Ясно, что дуга большоrо круга АВ равна дуге А'В'.Соединим точки А с А' и В с В' окружностями больших кругов и проведем симметрали (окружности больших кругов,нормальных к дуraM АА' и ВВ' и делящих ихпополам) для ЭТИХ пар точек.На рис. 18, симметрали изображеныЯМИ,пунктирнымиЛЮlипересекающимисяв точке М. Сферические треyroльники М АВ и МА'В' равныдруг другу и MOIYГ быть совмещеныв результатенаqJуголвокругповоротаОСИ,лроходящей через точку М и центршара. В ТОМ случае, котда симметрали совпадают, ось вращенняопределяетсявв'пересечени-ем дyr АВ и А'В'.Рис.
18.Задача может быть решенатакжеследующимобразом.Рассмотримортогональнуюматрицуи(Det и == + 1), соответствуюшуюрассматриваемомувращению. Ее собственными значениями будут eitp , e- itp и 1. Перейдем от системыкоординат, в которой задана А-Jатрица и, к новой системе, причем однуиз осей (например, Ox~) направим по собственному вектору 1.&з, соответствующему собственному значению л= 1.В новой системе осейматрица и примет виду- 1 uу=ибудет,следовательно,COS l{J(sin tp-sin~COSqJООсоответствоватьarccos 4(SpU - 1) ornосителъно вектора 1.&з·О)О1вращениюнауголqJ=Прuложенuе2602.6.Пусгъkчисло элементов в классе К, которому принад-лежит элемеJП А. 80зьмем вместо элемента А :какой-нибудь другойэлемент А', также принадлежащий классу К.
Тогда при В, пробегающем всю группу, совокупность BAB- 1 будет совпадать с совокупностью BA'B- 1 ; обозначим 'ЛУ совокупность через w. Если элемент Апробегает весь класс К, а В пробегает всю rpynпу, то получимраз повторенную совокупность(,J).kОбозначим эту новую совокупностьчерез п. Фиксируем теперь элемент В, а элемент А пусть пробе1raeт весь ЮIасс К. Тогда элемеlпы BAB-будyr все различнымии составят снова класс К. Следовательно, мы можем угверждать, чтов совокупность П каж.щйй элемент класса К входит n раз, rде n порядок рассматриваемой rpуппы. Но так как совокупность Q представляет собой k раз повторенную совокуIПIОСТЬ (,J), то, следовательно,в совокупности UJ каждый элемент класса содержитсяIраз, что и требовалось доказать.
Отсюда мы получаем, что порядок группы долженбыть всегда целыIM кратным порядка любоro класса.3.1.Если группа имеет roмоморфное представление, то те элементыI группы, которым соответствует единичная матрица предстааления,образуют инвариантную подгруппу (нормальный делитель).3.3. .Пусть В - любой фиксированНЫЙ элемент группы, а элемеJП А пробеrает некоторый :класс К. Тогда совокупность BAB- 1снова дает нам весь класс. Переходя к неприводимому представлениюгруппы матрицамиD,мы можем написатьD(B) [:Е D(A)] D-(В) = :Е D(A)1АЕКилиD(B):ЕАЕКD(A) =АЕК[2: D(A)]D(B).АЕКТак как элемент В произволен, то согласно первой лемме Шура мыможем утверждать, что матрица ЕD(A)кратна единичной.АЕК3.4.
Элементы матриц регулярного предстаWIения определяютсяследующим образом. Если g,gi = 9j, тоRji(g,) == 1, Rti(f/s) ==О,t # j.Иначе можно сказатъ, что .Rтn(иa) == 1, если gmg;lесли gm9;1 = gt, t#-== 9а, и Rтп(9a) = О,В. с помощью таблицы умножения рассматриваемой группы составим новую таблицу умножения,множителем, стоящим в столбuе, будеттв которой первым= 1,2, ...
,6, а вторыммножителем, расположеннымв crpoке, будет 9;1, n = 1,2, ... ,6.gm,У"азания~" решению задачЕАВ261СFD9тЕЕАВСFDААЕDСВАСВВFЕFDССDFЕВАDFDFСАВЕFВСАDЕСогласно сказанному выше мы можем угверждать, что мы получим матрицу регулярного представления,элементуga,ставима1,3.6.соответствующуюне которомуесли в построенной таблице вместо элементаg,мы поBMecro других элементов о.Характеры приводимого представления могут быть записаныв видеjгде хи) (g) - характеры неприводимых представлений, а kj - кратности этих представлений. Используя свойство ортогональности характеров неприводимых представлений, мы получим-1 ,L...J,X(g)X(g)n:=:9"2L...Jkj..JПравая часть этого равенства может равняться единице лишь в томкогда только одно из чисел k j отлично от нуля и равнослучае,единице.Использовать свойство ортоroналъности матричных элементов3.7.МЯ двух неэквивалентныx неприводимых представ.лениЙ, одно из которых является тождественным (формулаИспользовать формулу4.1.(4.20)(3.66».и свойство ортоroналъносги характеров неприводимых представлений.Использовать свойство ортоroналъности характеров неприво4.3.ди:\fых предстаwrений перемножаемhIX групп.4.5.Перестановка множителей в прямом произведении равносильна определенной перестановке строк и такой же перестановке столбцовв матрице прямого произведения.
Поэтому можно написатьА х В = У(В х A)v- 1,где У-ортоroНaJIЬНая матрица, СОСТОЯЩая из нулей и единиц,осуществляет указанную перестановку строк, а матрица y-l = У.такую же перестановку столбцов.Прuложенuе2626.1.Используя формулыи таблицу характеров не(6.25), (6.29)приводимых предстаRЛений группы сзfJ , мы найдем, что ~fолекулаNНз имеет два невырожденныx нормальных колебания типа А 1 и двадвукратно 8ырожденныx колебания типа Е.7.1.
Применим к функции 'Pk(r) оператор 1'.q. Мы получимTgl{Jk(r) = Тgф(/r - Rkl)== ф(jg--l r - Rkf) == Ф(lg-l(rгде Ц- gRk )\) = Ф(lr - ~I»)= gRk . Следовательно, МЫ имеемTg'Pk(r) == 'Pi(r).D, по которому преобразуютсяФУНКНайдем характеры представленияции 'Pl, 'Р2., ... , 'Р6. Очевидно, что для даннот преобразования 9 отличный от нуля вклад в характер дадут лишь те ФУНКЦИИ, которыене изменяются при действии оператора Ту: Tg'Pk(r)= 'Pk(r).Мы получимЕзсi6С46С28Сзi3icl6iC46iC28iСз622ООО4О2ОИспользуя формулу(6.25) и таБJШЦУ характеров группы Oh, находимD == f 1 ЕВ Г З ЕВ г~.Так как в зто разложение неприводимые неэквивалентные представления входят не более одного раза, то матрица гамилътониана,записанная на функциях, преобразующихся по неприводииы:м представде ниям, будет диагональной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
