1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 37
Текст из файла (страница 37)
В соответствии с этим каждый уровень энергии E 1 вырожден по магнитному орбитальному mlи спиновомут, квантовым числам (т, = -1, -1+ 1, ... J 1; т, == ±!),З. Атом в однород1l0М магнитном поле2192(2l + 1). Для того, что выяснить, какрасщепится этот уровень в магнитном поле, представление D(') х D(I/2)следует разложить на неприводимыепредставлениягруппы (20.10). Эгократность вырождения равнаможно сделать независимо для каждой из групп-сомножителей. Мызнаем, что группа Choo абелева и, следовательно, все ее неприводимыепредставления одномерны.
Разложение неприводимого представлениягруппы вращений на неприводимые представлениягруппы Choo х Chooмы получим, если выберем вырожденные ВОJПiовые функции так, что-бы они образовывали каноничесКИЙ базис представленийD(l)иD(l/2) .Действительно, в этом случае матрицы этих преДСТaRЛений, соответствующие вращениям вокруг осиD(l)=zна угол ф, принимают вид(~~~ ~i.(~ l:~оD (I/2)_-~.
)о(20.1 J)е-i'ф(е /iф 2О)e- iФ / 2о(20.12)•Таким образом, представление D(l) распадается на (21 + 1) неприводимых представлений еim,ф (т, = -1, -1 + 1, ... , l), а представление D(I/2) - на два неприводимых представления е- iфm , (т, == ±~)rpyпnыI Сhoo' Поэтому можно ожидать, что уровень энергии Е, расщепится на2(21 + 1)определенныеподуровней, каждому из которых соответствуютзначения квантовыхчиселт,и т,.ВеличинарасщеWIения будет определяться диагональными матричными элементамиоператора возмущения(20.8):еНЕт,т. = - 2те(т,+ 2т,).(20.13)Очевидно, что из-за того, что гиромагнитное отношение для спина точно в два раза больше, чем ШIЯ орбитального момента, некоторые из этихподуровней совпадают.
Например, система ПОдурОвней для1 == 1 будетследующей:ЕеАН11'2Е 10'2==---,теЕоеЛН1=--'-2еЛНE-1l=Е1_!==О,==---,2тс'2те'2Е_ 1 _ 1,2=e1iH'2(20.14)--отеб) Эффект Зее.маНQ. Рассмотрим теперь случай, когда спин-орбитальное взаимодействие превалирует над маrnиrnым взаимодействием220Глава хх. Задачи, связанные с теорией возмущенийслучай слабого магнитного поля. Тогда классификация невоз(20.8) -мущенных магнитным полем состояний должна проводитъся по полному моменту электрона. Так как оператор проекции полного моментана осьz, iz= lz + Sz,коммутирует с оператором возмуwения (20.8),то правильными волновыми функциями нулевого приближения будутсобственные функции квадрата полного момента и проекции ПOJПfогомомента на осьz:J2 1j, mj) == h2j(j + 1)1;, fflj),(20.15)Jzij, mj} == hmjli, mj}.Поэтому расщеJUIение энергетических уровней можно выразить черездиагональныIe матричные элементы оператора возмущения (20.8):еАН"--и, ffljl(lz2тс+ 2s z)lj, mj)=еАН"= --у,mjl(jz + 8z)lj, тз) ==2тсепН---т;2тсепн.А'--и, mjlszf.1, mj).-2тсДля вычисления матричного элемента(j, ffljlszlj, mj)(20.16)поступим следующим образом.
Согласно теореме Вигнера-Эккаpra (см. п.5 главы XlII), имеем:(З, ffljlszli, mj) == a(j, ffljlJzlj, mj},гдеа-некоторая константа. для ее определения(20.17)воспользуемсяоператорным равенствомl~= (J': -"') 2 ~28 = J+ s,,2 -~ ,..,.. ~J8 - 8J.(20.18)Имея в виду случай l-s-связи, получаем2(j, ffljli;rj, mj) == h l(l(j,+ 1),ffljIJ~lj, mj) = h2j(j + 1),2(j, ffljls:lj, mj) == А э(аДалее, используяи, ffljlJ в(20.7),(20.19)+ 1).находимli, mj) == (j, ffljt В} li, fflj). ==== ~(j, ffljlJ li, mj)(j, mjl в li, mj) ==т'J= L(j, fflj)j 1;, mj)(j, mjl} IЗ, mj) =т'1I~== а и',mj.12I.З, mj } == м2.1.(..1 + 1) .(20.2'0)3.Атом в однородном магнитном поле221Вычисляя теперь диагональНЫЙ элемент от обеих частей равенства,получим1(1 + 1) == j(j + 1) + В(В + 1) - a2j(j + 1).Откудаа ==j (; + 1)(20.21)+ В( s + 1) - 1(1 + 1)2; (; + 1)(20.22).Окончательно Д1IЯ расщепленных уровней получаемеnН'Ejm'1= --2-тj(1 + а) ==те__ елН .
[j(j2тс т) 1 +где р,:=2е:.с+ 1) + s(s + 1) - l(l + 1)] _ _.2j(j + 1)- рот) Н,(20.23)- магнетон Бора; 9 - множитель в квaдpaТНbIX скобках,называемый фактором Ланде.В рассмотренном случае квантовое число полного моментапринимать два значения: j == 1 +в(20.23),!, j== 1-!. Подставивjможетэти значенияполучимE,+~,т; = -JJmjН [1 + 21 ~J'(20.24)E'-~.т; = -JJтjН [1- 21 ~ 1] ·Формула (20.23) обобщается также на случай мноroэлектроЮlОГОсостояния в приближении L-S -связи (вывод аналогичен):EJ,MJ==-р,gМJН,(20.25)где19= +J(J+ 1) + S(S + 1) 2J(J + 1)L(L + 1)(20.26)·в) Эффект Штарка.
Предположим теперь, что атом помещен в однородное электрическое поле,направленное вдоль оситор взаимодействияс электрическимсти$= <fe zэлектронаимеет видV= e$z.в ЭТОМ случае оператор также инвариантенвокруг осиOz.oz.Операполем напряженно(20.27)относительновращенийОднако здесь оказывается утраченной симметрия OПIосителъно отражения радиуса-векторав плоскости zу, а вместе с нейотносительно инверсииi,-которая может бъrrъ представлена как отражение в плоскости жу и последуюШИЙповорот на1800вокруг осиOz.Глава хх.
Задачи, связанные с теорией возмущений222Таким образом, включение электрического поля приводит К тому,что четность w перестает быть «хорошим» квантовым числом. Помимо инвариантности относительно вращений вокруг оси Oz возмущение (20.27) инварианто также относительно отражений в плоскостях,проходящих через эту ось. Поэтому группой симметрии возмущенияв этом случае будет группа C oov •10.1), что группа СОО '" имеет два одномерныхМы знаем (см. упр.предстаR1Iенияи бесконечное множество двумерных.Матрицы этихпредставлений приведены в таблице.ЕтЭлемент группыА1С(<р)11(J'v1-1А2( e-~т~el~~ )(~ ~)для Toro чтобы выяснить, как расщепляется уровень E1 В электрическом поле, мы должны представление группы C oov , даваемое мат-рицами n(l) , разл.ожить на ее неприводимые предстаWlения.
Напишемхарактер представления n(l) для вращенияна угол <р. Используя (20.11),МЫ получимlSpD(l)(O, о, <р)= 2: 2 cos k<p + 1 =k=lХарактер представления12: SpEk(<p) + 1.(20.28)k:;:...ln(l),соответствующий операuииffv,например (тZJI' можно вычислить следующим образом:Sp n(l)(uyz ) == Sp n(I)(Сж (1r) х i) == Sp D(l) (Сж (1r» Sp D(l)(i) ==== (1+ 2 cos 1r + ... + 2 cos 11r) W == (-1) l w.Но в рассматриваемом случае w == (_1)1. ПоэтомуSpD(l)(uv )= 1.(20.29)СравниваяrpуппыI(20.28) и (20.29) с характерами неприводимых представ.i1ениЙC oov , мы получаемln(l)(g)= 2:$ Ek(g) ЕВ А 1 ,k=19Е C oov '(20.30)4.Атом в кристаллическом поле223Таким образом, мы приходим к заключению, что в однородном электрическом поле уровеньEl расщепляется на l двукратно выро:жденнhIXуровней, соответствующих представлениям Е (k1, ...
,1), и один"=невырожденный уровень, ВОJПIовая функция которого преобразуетсяпо представлению A(l).От~етим, что матричные элементыI оператора возмущеНИJl дляфункций с одним и тем же азимугалъным числомlравныI нулю,поскольку произведение двух таких фунКЦИЙ является четой фунхиией, а возмущение меняет знак при преобразовании инверсии.
Эrоприводит К тому, что поправка к энергии в первом порядке теории возмущений оказывается равной нулю. Расщепление уровней проявляетсялишь во второмпорядке;поэтоt.lу величина этого расщеIUIенияпроПОРШlональна квадрату напряженности поля. Исключение составляетатом водорода, для которого поправка первого порядка отлична от нулявследствие дополнительного вырождения энергетических уровней.4.Атом в кристаллическом полеРассмотрим теперь задачу о расщеШIении уровней энергии атома,помещенного в поле кристалла. Мы будем предполагать, что влияниекристалла на атом можно рассматривать как малое возмущение.
Симметрия этого возмущения определяется симметрией кристалла. Такимобразом, в качестве группыG),которая должна быть подrpуппой группы враmений, в рассматриваемомслучае мы имеем одну из точечныхгрупп. Так как характеры неприводимыxпредставлеНИЙточечных группнам известны (см. главуVI),то схему расщепления уровней энергииатома можно получить при помощи формулы(20.31)Здесь x(l)(g) -характер неприводимоro представления группы вращеНИЙ (или ортогональной ГРУППЪI) , определяющего симметрию со-стояния невозмущенного атома, а X(i) представленийГ;характеры неприводимыхрассматриваемой точечной группы.Величина Т;определяет число подуровней, ВОJШовые функции которых преобразуются по неприводимому представлениюr i.В качестве примера выясним, как расщеIUlЯется уровень с азимутarrъHЫM квантовым числом1в кристаллическом поле, обладающемсимметрией октаэдра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
