1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 32
Текст из файла (страница 32)
, -"2(Л t-Л2),(17.14)Отсюда следует, что компоненты спинора Х{'\} преобразуются по не-D(тельно, являются собственными векторами оператораприводимому-2(H1представлениюгруппывращений~)2и, следова-iil + Н} + н;:-2) Х{'\} (0"1 , 0'2, ... , О"П) ==+ Н-22 + НзЛ 2 (Л 1 -Л 2Л1)== 2- -2- + 1Х{Л}(0'1, 0"2, .•• , ип ).(17.15)Наибо.JIее важными для дальнейшего окажутся следующие результаты. Произволъная спиновая функция X(O"t, 0"2,· ..
,о"п) может бытьразложена по спиновым функциям Х{л}(0'1, 0'2, •• · ) О'п), преобразующимся по неприводимым представлениям группыI перестановок своихаргументов. При этом допустимыми непривоДимыми представлениямибудут лишь те, схема Юнга которых сосТоит не более чем из двухстрок, {л} = {Л1' Л2}, Компоненты спиновой функuии Х{л} образуютбазис неприводимоro представления группы вращений с весом ~1 ;'\2 и,следовательно,являются собственнымифункдиямиоператора квадратаполного спина с собственным значениемh2 (Л 1 ;Л2 ) (Л 1 ;Л2 + 1 ).3.(17.16)Связь между симметриейспиновой и координатной волновых функций.Мы нашли представление р(е)П группы Sn, по которому преобразуется спиновая функция. Представление р(е)П разлагается на непри-[ТfaBa194XVII.Свойства симметрии многоэлектроннbIX функцийводимые предcrамения, схемы Юнга которых состоят не более чемиз двух строк.
Неприводимое представление д{~}, по которому преобразуется координатная волновая ФУНКЦИЯ, должно быть таким, чтобыв прямо м произведении ~{~} х р(е)n содержалось антисимметричноепредстаВJlение. Для определения допустимых представлений ~{~} используем следующую теорему:Антисu.м.метричное представление содержится впрямом произведениидвух Henpивoдuмых nредставленийтолько в том случае, если соответствующие им схемы Юнга взаимно трансnонированы (т.
е. получаютсядрут из друга заменой строк столбцами).Наметим план доказательства этой теоремы. Рассмотрим прямоепроизведение д{~} х дА, где ~A - антисимметричное неприводимоепредстаме·ние, дА == ~{l, 1,...,l}, а д{~} - произвольное неприводимоепредставление.
Поскольку представление дА одномерно, то представление ~{~} х ~A будет неприводимым. Поэтому мы можем написать~{~} х ~A == ~{X}.(17.17)Найдем представление ~{X}. Пусть функция F{~}(Yl) У2,образуется по представлению ~{~}. Согласно(15.29)... , Уn) преее можно считатьантисимметричной относительно перестановок apryмeHTOB, номера которых стоят в столбцах схемы Юнга {л}.
Пусть функцияFA(Yl, ...,Уп)антисимметричнаотносительно перестановок своих аргументов. Тогдафункция F{л}FА должна принадлежать базису неприводимого предстамения ~{~}. Ясно, что функция F{~}FA будет симметричной относительно пересгановок apryментов,номе·ракоторыхрасположеныв столбцах схемы Юнга {л}. Можно убедиться, что при действиина функцию F{~}FA операторами П{л,}, мы получим отJIи1п-Iый от нулярезультат только для того оператора, схема Юнга которого 1ранспонирована относительно схемы Юнга {л}. Таким образом, мы приходимк результату: схема Юнга {Х} должна быть транспонирована относительно схемы Юнга {л}.Рассмотрим теперь два неприводимых предстаRЛения ~{~} и Д{~'}группыsn.Обозначим характерыэтих предcrавленийсоответствен-но через x{~}(p) и х{Л'}(р). Характер антисимметричноro предстамеА(l)t(P) . для того чтоб ы наити'" число r{~}{~,},(А)ния UA, очевидно, равен показывающее, сколько раз представление дА содержится в прямомпроизведении Д{~} х д{~,}, в~спользуемся формулой (3.88)1):т(А){~}{~'}--~ ~(-l)f(Р)х{Л}(р)х{~'}(р)п!LJ.(17.18)р1) Характеры преДСТn&'1ений группы перестановок веществеlПiЫ (см.
упр. 15.2).З. Симметрия спиновой и координатной функций195Но(17.19)Следовательно,(А)Т{,ЛН,Л'}_ 1- "'~n. L...J Х{Х}(р)х{А'}(р).(17.20)рИспользуя свойство ортогоналъности характеров неприводимых пред{"} _ {'}(А)u(А)_ставлении, мы получаем, что Т{А}{'л'} -1,еслилл ,и r{'л}{А'}-==Ово всех остальных случаях.
Таким образом, теорема доказана.Представление р(е)n, как мы показали в предьщущем пункте, разлагается на неприводимы:е представления, схемы Юнга которых состоятне более чем из двух строк. Согласно доказанной теореме мы теперьможем утверждать, {по допустимые неприводимые представления А{л},по которым преобразуются координатные· функции, могуг иметь схемыЮнга, состояшие не более чем из двух столбцов. Решения уравненияШрёдингеракоторые преобразуются по другим представлениям(17.1),rpуппы перестаllОВОК, в нашей задаче не имеют физического сМЪIСЛа.Предположим теперь, что нам известно решение Ф{л}(rl,r2, ...
,rn )уравнения Шрёдингера (17.1), преобразующееся по неприводимомупредставлению А{А}' схема Юнrа которого состоит не более чем из двухстолбuов. Произвольную спиновую функцию х(и1, и2, ... ,О'n) можноразложитьпо симметризованнымспиновымфункциям Х{А} (и), ... , О'n),пре06разующимся по неприводимым представлениям А{А'}:Х(О' 1)0'2,··· , U n)=L: С{А'} Х{л'}(0'1' . . .
,О'n)'(17.21){А'}Ясно,что при антисимметризацииX(Ut, ••. ,иn )произведения w{,Л}(r} , ... , r n ) ·отличный от нуля результат даст лишь та спиноваяфункция, которая преобразуется по неприводимому представлениюс транспонированнойсхемой Юнга {Х}.МЫ знаем, что все компоненты спиновой функции X{A'}(Ul,0'2,... ) О'n)являются собственными функциями оператора квадрата полного спина:~ X{A'}(O'I,.' o,O'n)=h2S) X{A}(O'l"(л~-Л~)-Л~ 1-2- (Л;-2-+Так как полная антисимметричная.. ,О'n).(17.22)волновая функция имеет вид линейной комбинации таких функuий, то она также будет собственнойфункцией оператораs2с тем же собственным значением.Таким образом, классификация собственных значений эuергии длярешений уравнения Шрёдингера (17.1) по неnриводШfЫМ представлениям группы nерестановок в СШlУ nрuнциnа Паули оказалась равносШlЬНОйклассификации по собственным значениям квадрата полного спина.Глава1964.XVII.Свойства симметрии многоэлектроннblX функцийСвойства симметрии координатной волновой функцииКоординатная волновая функция, являющаяся решением уравнения ШрёДИJПера(17.1),должна преобразовываться по неприводимомупредставлению группы перестановок, схема Юнга которого состоитИЗ двух столбцов.
Обладающая таким свойством симметрии ФУНКцИЯ Ф{~}(r1'ции 'Ф(rl'r2, ... ,rn ) может быть построена из произвольной функr2, ... ,rn ) с помощью симметризации по номерам аргументов, расположенным в строках схемы Юнга, и последующей антисимметризации по номерам аргументов, расположенным в столбцах:1 k+l2k+2nk----Построенная таким образом функция Ф{л}(rl'r2, ... ,rn )должна обладать свойствам антисимметрии по перестановкам двух rpупп аргументов, например:I rk+l, ...
, r n ) === -Ф{~}(r2, rt, rз···, r/C I rk+l,··. ,rn ),Ф {~}(rl' r2, ... , rk I rk+l, ... ,rn ) ==== -Ф{~}(rl' r2, ... ,rrc I rk+2, rrc+l, rk+З, ... ,rn ),Ф{~}(rl, r2, ... , rkk~(17.23)n - k.Очевидно, что такую ФункЦию нельзя антисимметризовать более чемпоkаргументам, так как для этого мы должны БЫJПt бы аlПИсимметризовать эту функцию по тем apryмeнтaм, по которым вначале былапроизведена симметризация.
это свойство функции Ф{~} может бытьзаписано, например, в виде следующего равенства:Ф{А}(rl, r2,··· ,rkI rk+1, ... ,rn ) === L Ф{А}(rI' ... ,rj-l, rk+l, "';+1, ... , rk I r;,Свойства симметрииr'+2,··· ,rn ).(17.24)(17.23) и (17.24) координатной волновой Функциибыли впервые получены В. А. фоком 1 ) .I)Фо" В.А. ЖЭТФ, 10 (1940), с.388.Упражнения197в заключение рассмотрим метод построе·ния координатной волновой функции, соответствующей определенному собственному зна-чению оператора §2, из независимых одноэлектронных ФУНКЦИЙ<f'l(rl») <f'2(r2), ... ,VJn(rn).
Если собственное значение оператора §2равно h 2s(s + 1), то неприводимое представление, по которому должна преобразовываться координатная волновая функция, определяется+схемой Юнга, состояшей из двух столбцов с длинами л~ == ~s,л; == ~ - а. Заполним клетки этой cxeMbI Юнга номерами функций <f'i.Затем построим соответcrвующий оператор О{А} и подействуем имна произведение одноэлектронных функций:_~-~-Q{A}<f'l (rl)· .. <f'n(rn) -LJ Q L.J( -1)qЕ(р)-P<f'1(rl)VJ2(r2) .
.. VJn(r n).(17.25)рв результате антисимметризации по столбцам мы получим<РА; (rl)<p~; (r2)VJ.x'• (rA')IVJ A~ + 1( r).~ + 1)Х VJ).; +2 (rA'l +1)<f'п(rЛ;+l)Затем полученноеVJA'. +1 (r n )VJ),~+2( r n )~n(rn)произведение двух определителейзовать по парам ФУНКЦИЙ,(17.26)надо симметриномера которых расположеныПоэтому окончательное выражение для многоэлектроннойв строках.координатной функции будет иметь вид суммы таких произведений.Упражнения17.1. Задано шесть различных одноэлектронных Функций <Pl(rl),<P2(r2),••• , <P6(r6).С помощью операторов Юнга построить координаrные волновыеФункции системы шести электронов, соответствующие различным возможнымсобствеlПlЫМ значениям квадрата полного спина.17.2.Доказать, что если одноэлекгронные координатные волновые фУНКции системы, состоящей из четного числа электронов, попарно совпадают, тособственное значение квадрата ПОJПIого спина равно нулю.ГлаваXVIIIСвойства симметрии волновыхфункций системы тождественныхчастиц с произвольными спинамив этой главе мы обобщим рассмотрение, проведенное в главеXVII,на случай системы тождественных частиц с произвольными спинами.Такую систему частиц образУЮТ t например, одинаковые ядра в многоатомной молекуле.
Полученные в этой главе результаты будут такжеиспользованы в дальнейшем Д1IЯ классификации состояний многоэлектронного атома.1.Постановка задачиОпишемсначалапостановкузадачи.Как и раньше,мы имеемдело с уравнением Шрёдингера для системы то.ждественнъlX частиц,не содержащим спиновых операторов. Спины частиц будем считатьпроизвольными (т. е4 не обязательно равными!). в этом заключаетсяпервое обобщение предыдущего рассмотрения. Кроме того, мы будемпредполагать,что в силу некоторых упрощенийисходное уравнениеШрёдингера заменяется приближенным, в котором утрачена симметрияorносительно перестановок тождественных частиц. Например, для системы тождественных ядер в молекулярной задаче (в адиабатическомприближении) мы имеем уравнение Шрёдингера",2{-n}2М ~ А; + и(в 11 ••• ,Rn) ф = ЕФ,(18.1)инвариантное относительно перестановок переменных Ri.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
