1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 30
Текст из файла (страница 30)
ОпреДелить(al (}2 ... а т ).15.4.число элеменrов в классе с циклической структуройДоказать, что четность перестановки, имеющей циклическую структуру (Ul а2 ... а т ), определяетсячетностью суммы а2+ а4 + а6 + ....ГлаваXVIСимметризованные степенипредставленийв этой главе мы введем помятие симметризованнойстепени представления, которое будет положено в основу большинстваприложенийтеории группы перестановок к задачам квантовой механики.Векторы и теизоры в n-мерном пространстве1.Рассмотрим n-мерное векторное пространство Rп. Компонентывектора этого пространства в некотором выбранном базисе обозначим=через Vi, i1, 2, ...
, n. Пусть в пространстве задано представлениенекоторой группы G. Матрицы представлений, соответствуюшие элементам а, Ь, '"Таким образом,Rnгрyrшы G, мы будем обозначать черезэлеменry а, например,Ilajj,lI, Ilbjjlll, '"мы сопоставляемследующеепреобразование векторов в Rп:nу]= ~ ajj'Vj'.(16.1)j'=lМатрицу представлениячерезHejj,ll, ejj' = Ojj'.единичногоэлемента мы будем обозначатьНаряду с векторами рассмотрим в пространстве Rп тензор у(m)т-го ранга, компоненты которого мы будем обозначатьчерез ~lj2' •• jm'j1c= 1,2, ... ,n.
Каждому преобразованию(16.1) соответствуетследующее преобразование тензора:(16.2)Матрицаэтогопреобразованияизведением матрицыили 11 aj.j2"Itajj' 11..jm,j~j~.. .j;' 11, гдеявляетсят - кpaTНbIMМы будем обозначатьпрямым проее через(а)т(16.3)Матрицы (а)т, так же как и матрицы IIajj/ll, образУЮТ представлениегрyrшыG.Глава184XVI.Сuмметрuзованные степени представленииДля дальнейшего нам будет удобно ввести в рассмотрение матрицу р(а)т с элементами,- , "{р ( а)т} JLJ2,,·J"")IJ2·-·Jm'!"--а",'","(16.4)J"J72-'·)Pm,J t J 2···J",'где (Рl Р2 ... Ртn) - некоторая перестановка чисел 1,что матрицы (а)т обладаюr следующим свойством:2, ...
, т.Заметим,(16.5)Действительно,одинаковая перестановка первых и вторых значковэлементов матрицы (а)т сводится к перестановке множителей в формуле (16.3).2.Матрицы перестановок тензорных значковВведем тензор ру<т) , определив его компоненты равенствомP1'jl, , ,jm==(16.6)1'J'I" ,jhl-Покажем, что компоненты этого тензора можно выразить через компоненты тензора Vilj2".jm С помощью матрицы р(е ), гдетединичная матрица порядкаn,Ileikll -а элементы матрицы (е)т, очевидно,имеют виде","""= б'ЗIЗl., б'J 2J"'2 ••• б'J",Jm'"(16.7)J 1J2 , • ,1т, з,1 2 • • ·З".Действительно, мы можем написать""', 'З""З)··. " ,З"," ~"11· ..Jra.,L.J {р(е)т}1,,·""11"" ,,Jm(16.8)Покажем, что матрицы р(е)т образуют представление ГРУПIThl П~рестановок Вn, т.
е. чтогде q и р - некоторые произвольныe перестановки чиселВ действительности имеет место более общее равенство(16.9)1,2, .. , ,т.q(b)mp(a)m == qp(ba)m,(16.10)которое нам понадобится в дальнейшем и которое мы сейчас докажем.=Ясно, что (16.9) является частным случаем (16.10) при аЬ == е.Для доказательства (16.10) напишем (ilj2 .:.k 1k2 ..
· km)-й элементматрицы, стоящей в левой части формулы (16.10). Мы получимim,Е q(b)jl· ..jm,j~".,j;,.p(a)j; .,.j~,kl, ..k",=j'(16.11)З. Связь между npедсmавленuя.мu групп ВN и185GВоспользуемся теперь тем, что одинаковая перестановка первых и вторых значков согласно(16.5)не изменяет матрицу (Ь)т. Поэтому мыможем наlDlсатъ(16.12)Тогда равенство(16.11)::=может бьrrь продолжено следующим образом:(Ьа) J.'l.
.. ·1,,-,5.. L _......::={q'fl(ba)}"..rЗ1З2-· ·з"", 51"L-Ic т'(16.13)Этовыражение представляет собой не что иное, как (il··. im,km)-й элемент матрицы, стоящей в правой части (16.10), и,следовательно, равенство (16.10), а вместе с ним и (16.9) доказаны.k1 .•.3. Связь между преДСТ8ВJ1енИJlМИ группы Sn И группы Gв теНЗОрНОМ пространствеМы определили представление группы перестановок матрицамир(е)т и представление группыGматрицами (а)т. Базисом этих представлений является базис тензорного пространства, т.
е. совокупностьnттензоров, у которых ОТJIИ1:Пlа от нуля и равна единице только однакомпонента. Будем обозначать орты этого базиса черезПроизвольный тензор у(т) С компонентамиVJ•...j",может быть npeдставлен тогда в видеу(т) --~ vi. n· .L..J1) ....... ,1.•... 8.'(16.14)i1,...
,i.Покажем теперь, что матрицы р(е)т и (а)т КОММУТИРУЮТ. Действительно, с помоlЦЪЮ (16.10) мы можем получить следующие равенства:(16.15)откудаq(e)m(a)m= (а)т q(e)m.(16.16)Перейдем теперь в тензорном пространстве к новому базису, выбрав еготаким образом, чтобы представление группы перестановок распалосьна неприводимыечасти.Матрицыприведенноroпредставлениямыможем представить в виде(] 6.17)186Главагде r{~} -кратность неприводимоro представления ~{~} в представле-НИИ q(e)ffl,XVI.E r {).}Сu.мметрU308йнные степени представлении-тединичная матрица порядка r{Л}. матриuы q(e)-определяют закон преобразования компонент тензора,записанноroв новом базисе.
Орты новоro базиса обозначим через '1{Л}хо;значок {А} нумерует неприводимые представления группы перестановок,х paз.7DlЧает повrоряющиеся эквивалеНТНhIе неприводимые представлеНИЯ, х == 1,2, ... , r{..\} , значок а нумерует орты базиса неприводимоroпредставления, а1, 2, ... , l{~}. Выразим новые орты через старые:='1{~}xa =T~{~}a~)...3132•••1. '111320 • •J..""'LJ(61 .18 )jl,Ь,.··J.Коэффициенты TJI~~!~.;: можно рассматривать как компоненты тен30ра '1{Л}ах в старом базисе.Найдем теперь вид матриц (а)т в новом базисе.
Исполъзуя свойствокоммyraтивности (16.16), МЫ с помо1ЦЪЮ леммы шура получим (ср.рассмmpeние в главе V на с. 62)(а)т = ~Ф {R{Ч(а) х Е'{1)}(16.19){А}или(a)p}xa,{~'}xla'МатрицыR{A}(a)=б{л} {"\'} баа'R~}(а).имеют порядокr{..\}.(16.20)Они образуют представлениегpymrыG в пространстве с базисными оprами '1{Л}ха, il = 1, 2, ... ,r{~}(при фиксированных {;\} и а). Представление R{Л}(а) называют cuмметРU308анноu т -и степенью представления а, соответствующей неприводимому представлению А{А} группы перестановок.4. Характеры симмerpизованной степени npеДcтaвJIеllИJlВ приложенияхчасто возникаетзадача разложенияпредставления R{~}(a) на неприводимые.
Такое разложение мы сможем получить,если нам будут извеспIыI характеры этого представления.Решим сначала вспомогательнуюзадачу.Найдем след матрицыq(a)ffl. Пусть перестановка q имеет циклическую структуру (аlа2 . . .а т ).ЕCJПI бы перестановка q состояла из одноro цикла длины т, то мынашли бы, что{q(a)}jl ...jm,j~ ...f.= ajmjlj2...j"_l'j~...j:' =aj.j~ajlj;··· ajm_l;~'(16.21)Следовательно,(16.22)4.Характеры сuм.метрuзовQННОЙ степени представления187Orсюда нетрудно заключить, что для произвольной перестановки имеетместо равенствоSpq(a)m = (Sp(a»)a 1 (Sp(a)2)a 2•••(Sp(a)ffl)Qm.(16.23)Установим' теперь связь между следами матриц q(a) и R{Л}(а).для этого воспользуемся тем, что согласно(16.15)q(a)ffl == q(e)ffl(a)fflили-ти, следовательно, с-тq(a)",ЕВ= L.J{Er{A)-т-тq(a) =q(e) (а) ,помощью (16.17) и (16.19)Х ~{A}(q)} {В{А}{Л}(16.24)мы получим(а) Х El{,\.}=ЕВ== ~ {R{~}(a) х ~{A}(q)}.(16.25){А}Orсюда мы нахоДШdSpq(a)m == Spq(a( == ~ SрR{.\}(а)Sр6щ(q).(16.26){А}Используя свойство ортогональности характеров х{Л}(q) неприводимыхпредставлений группы перестановок, мы найдем!)SрR{.ч(q)Подставляя в(16.20)=-!, ~ Sp q(a)mX{'\}(q).т.полученное нами выражениеи переходяот суммированияпо классам,получимпо(16.27)qэлементам(16.23)rpуппыдляSp q(a)fflк суммированию1 LJ~ k{а}Х{а}{А} ( Spa )Ql ...
(Spaт)ат .SpR {А}( а ) _- ---.(16.28)т. {а}Здесь через x1~~ обозначен характер неприводимого представления~{л}(q), соответствующий классу {а}; k{a} -классе (см. ynp.число элементов в этом15.3),(16.29)1) Характеры npeдставлений rpynпы перестановох вещественны (СМ. упр.15.1).Глава188XVI.Cuм.мeтpи308aHHыe степени представленииОсобенно часто приходится иметь дело с симметричной или антисимметричной степенями представлений, Т. е. с представлениями Rт(a)и R{11... 1}(a), которые соответствуют тождественному и антисимметричному неприводимым представлениям групlIы перестановок.
Харак-теры тождественного представления paBmI единице, x~:i == 1. Следовательно, для характеров симметричной степени мы получимSp Rm(a)=~L..J{а}(Sp а)ОI (Sp а 2 )а 2•••(Sp ат)ата 1·'2a21'W'ц.2· . . . maml'W'ц.т·.Характеры антисимметричноro представления (см. упр.(16.30)15.4) MOryr бытьпредставлены в видеx1~;·· .1} = (_1)02+04+' .'.Подставляя(16.31)(16.31) в (16.28), мы получим для характеров антисимметричной степени представления следующее выражение:2S Rр{11 ...1}(а) == ""'(_1)02+04+ ... (Sp а)О! (Sp а )02 .. · (Sp amyr.. .L...J{а}'202'аl·а2···· тат,(16.32)ат·Упражнения16.1.Написать выражения для характеров симметричного и антисимметричноro квадратов представления.16.2.
Найти разложение на неприводимы.е представления симметричнойвroрой и третьей степеней неприводимых представлений грynп:ы о. Результаты сравнить с разложением пряМhIX произведений соответствующих представлеНИЙ.16.3. Найти представления, по которым преобразуются колебательные волновые функции октаэдрической молекулы, рассмо~нной в главедвyxк:вaнroBых возбужденных состояний.\,VI,ддя всехГлаваXVIIСвойства симметриимноroэлектронныхв п.1главыxv бьш намеченволновых функцийплан теоретико-групповогоисс.Jlедования мноroэлектронной системы. Мы приступим к реализацию этогоплана,используя те сведенияо представленияхкоторые бьши даны в главах ХУ и1.группыпереcraновок,XVI.Постановка задачиСобственные функции уравнения ШрёдингераH(rl"'.
,rn)Ф(r], ... ,rn) = ЕФ(rl'·'·' r n ),(17.1)принадлежащие одному собственному значению, должны преобразовываться по некоторому неприводимому представлению ~{~} группы перестановок переменных r], r2, .... J r n • Однако краПIОСТЪ вырождениясобственного значения, равная порядку неприводимого представления,не является еще кратностью вырождения (статистическим весом) соответствующего уровня энергии. Краrnость вырождения уровня энергиидолжна бbIТЪ определена как число полных (Т. е. зависящих такжеот спиновых переменных) антисимметричных фунхций, собственныхфункций уравнения (17.1) с рассматриваемым собcrвeнным значением.Пусть Ф(rt, r2, ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
