1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Поэтому еroволновая функция может бъпь представлена в виде произведениясовокупность(14.33)4.Группа симметрии изотропного осцuлл.ятора171где lI'm. - волновая функция одномерного осциллятора с собственнымзначением энерпm UJ (т; + !). Волновая функция (14.33) соответствуетсобственному значению энеРЛfИЕ =ы (тl +т2 + ... +тп +~) ·(14.34)Ясно, что этому значению энергии соответствуют все функции Фm~, ... ,~для которых выполняется равенствот~ + т; + ... + т~ + ~)UJ (=Е.(14.35)Основное состояние нашего осциллятора описывается единственнойфункциейФо ...о=:(14.36)lI'O(Ql) .. · lI'o(Qn).Можно доказать, что функция ФО ...О преобразуетсяпо тождественномупредставлению унитарной группы.
Волновые функции возбужденныхсостояний можно, как известно" построить, действуя на функцииосновного состояния операторами а;. Опуская нормировочные множители, мы можем написатьФml ... т.= (ai)ml(ai )т2•••(а~)m.фо... о(14.37)и, следовательно, собственные функции, соответствующие собственному значению т+ ~, представимы В виде+ ++ Ф о... 0·(14.38)ai l ai 2 ••• ai.Так как порядок расположения операторов а7при преобразованиях(14.27)несущественен, тоэти функции преобразуются, как компоненты симметричного тензораffl-roранга в n-мерном пространстве.В теории представлений унитарной группы доказывается, что такиепредставления,реализующиесянакомпонентахсимметрично-го тензора, являются неприводимыми1 ).
Эrи представления, однако,не исчерпывают всех неприводимblX представлений унитарной rpупIIы.Мы лишены здесь возможности проанализироватъ этот вопросболее подробно и ограничимся ЛИIIIЪ подсчетом порядка представления, которое реализуется на компонентах симметричного тензора т-горанга в n-мерном пространстве. Мы знаем, что порядок представления равен кратности вырождения соответствуюшего уровня энергии.Подсчитаем число независимыx компонент симметричного тензораранга т в п-мерном пространстве. Пусть Фjl ...j". - компонента тaKoroтензора.
Значки,3т в силу симметрии тензора всеrда можно31, 32, ...расположить В неубывающем порядке:jl~j2~· ... ~jm.1) СМ., напрИМер, Вейльr.Классические ГРУlШЫ, ИЛ, 1947, гл. VII.Глава172XN.Дополнительноевырождениев этом случае всегда будут выполняться неравенстваi1+ - 1. Числа i"где ik = jkkот 1 до nт-+< i 2 < ... < i m ,все разлиtпIы иMOIyrпринимать значенияПоэтому число различных компонент симметричноготензора равно числу различных сочетаний из nт - 1 значений по т.1.+Таким образом, кратность вырождения уровня Е== т + !изотропногоn-мерноro осциллятора равна(п+т-l)!т!(п -(14.39)1)! .Так как МbI уже значительно вышли за рамки задачи о трехмерном осцилляторе, то позволим себе вкратце остановиться на свойствахсимметрии волновых функций n-мерноro ИЗО1рОпноro осциллятора,если его координаты npеобразуются представленИIO некоторой группысимметрии, например точечной rpуппы,как это имеет место в задачах о нормальных колебаниях молекул.
Опираясь на проведенноевыше рассмотрение, мы можем yrвeрждать , что волновые функции,принадлежащие собственному значению энергии т+ !,будуг преобразовываться по представлению, которое реализуется на компонентах симметричноro тензора ранга т в п-мерном пространстве. Такоепредставление называют т-кратной симметричной степенью векторHOroпредставления(болееподробно о симметризованныxстепеняхпредстаалений, в том числе о симметричной степени, см. главуXVI).ГлаваXVrpуппа перестановокsnв этой главе МЫ рассмотрим группуперестановок n символовИ получим ее неПРИВОДИМЫе представления.
Конкретной реализацией этой группы в квантовой механике ЯRЛЯется группа перестановокпеременных, описывающих тождественные частицы. для того чтобысcaMoro начала была ясна цель нашего рассмотрения, начнем с постановки квантовомеханической задачи.1.Квавтовомеханическое описаниесистемы тождественныхчастицРассмотрим уравнение Шрёдингера для системы, состояшей изnодинаковых частиц:(15.1)Здесьqi -совокупность переменных, относя:nmxся ккак гамилътониан H(ql' q2"",qn)тельно перестановок переменныхi -q частице. Такдолжен быть инвариантен относиqi, то решение уравнения (15.1) должно преобразовываться по неприводимому представлению этой группы.Для того чтобы теория согласовывалась с экспериментальными результатами, необходимо потребовать, чтобы волновая функция системычастиц с полуцелым спином была антисимметричной относительно перестановки любой пары частиц, а волновая функция системы части·цс целым спином-симметричной:Ф(ql' q2, ...
,qn) = -Ф(q2, ql,···, qn) }для частиц с полуцелым спином,. Ф(ql'lJ2" •••,qn) = Ф(q2, qt,··· ,Qn) ,(15.2)для частиц с целым спином.В квантовой теории поля эта связь получила объяснение в теоремеПаули. Таким образом, для описания симметрии волновых функцийсистемы тождественных частиц в действительности из всей совокупности неприводимыx представлений группы перестановок используются два простеЙШИХ одномерных представления: антисимметричноеи симметричное. В дальнейшем, как правило, мы будем иметь дело с системами электронов и,следовательно,с антисимметричнымиГлава ХУ. Группа nересmаново1С174волновыми функциями. Основное применение теории представленийгруппы перестановок в :квантовой механике многих частиц связанос приближением,в котором гамилътониан системы предполаraетсяне зависящим от спинов.Тоrда стационарное уравнение Шрёдинreра для мноroэлектроннойсистемы имеет вид(15.3)Полная ~антисимметричная» волновая ФУНЮJ.ия может быть построена путем антисимметризациии спиновой функции Х(О"l,Ф( rl, 0'1,' ..
, r n , О'п) ==произведения(12, .,.решения ЭТОГО уравнения,(1п):L:( -l)Е(Р)ф(rрI' rp2 ,· •• , r p.)X((1Pl".. , О'р,.) , (15.4)ргде е(р)-чеrnостъ перестановки р, а суммирование проводитсяпо всем перестановкам n индексов. Координаrnая волновая фУНКция ф(rl,"" r n ), являющаясярешениемуравнения Шрёдингера(15.3),не обязательно должна быть антисимметричной относительно перестановки своих apryмeHToB. Так как гамилътониан H(rl, r2, ...
,rn )инвариантен оrnосителъно перестановки переменныхrl, r2"" ,rn ,товолновая функция ф(rI, r2, ... , r n ) согласно теореме Вигнера должнапреобразовыватъся по одному из неприводимых представлеНИЙ группыперестановокSN.Единственное ограничение,которое накладываетсяна класс допустимых неприводимыx представлений, заключается в том,что результат антисимметризации в формулечен от нуля. В rлавеXVI(15.4)должен бытъ отлимы поДJЮбно рассмотрим вопрос о построеНИИ волновой ФУНЮJ.ии многоэлектронной системы, а сейчас перейдемк изучению группы2.SnИ всех ее неприводимыx npeдстаWIеЮlЙ.IPуппа перестановокnсимволовЭлементами группы перестановок Sn являются n! операЦИЙ пеn символов. Перестановха 8, которая на место символас номером i ставит символ с номером 8;, записывается В видерестановок8== ( 18)2:)=(;i)'Произведением двух перестановок в =(;.)и t = (t)(15.5)назьшаютперестановку(15.6)2.Группа nересmаНО8lЖnсuмволов175Тождественным элементом труппы является перестановка(:),а обратной для перестановки s является перестанов:ка8-1= ( ~' ) .Особый интерес представляет циклическаялов (т ~(J5.7)перестановкаmсимвоn), в которой символ с номером /1с заменяется на символс номером /1c~ 1, еслина символ с номеромв виде скобкиk/1'<т, а символ с номером/ m заменяетсяТакую перестановку мы будем записывать(11, /2, ...
,/т)'Произвольную перестановку можно выразить с помощью произведения циклических перестановок. Пояснимэто на примере. Действительно,(~2 345 6 74 6 157 3:) = (124) (367) (5) (8).(15.8)Циклическую структуру перестановки будем характеризовать совокупностью чисел аl, а2,".. , а п ,ческих перестановок изlгде 1.fifсло й, показывает, сколько цик.JIИсимволов содержится в данной перестановке.Например, циклическая структура тождественной перестановки характеризуется следующей совокупностью:йl= п,а2= аз = .... = а п = О.Циклическая структура перестановки (15.8) определяется следующимизначениями:аl== 2,а2== О,азТак как число переставляемъlXравенствоalа4= 2,= Qs =символов равно...
==n,а8== о.то всегда имеется+ 2а2 + .... + пап == n.(15.9)Рассмотрим две перестановки, обладающие одинаковой циклической структурой, например:аЬ== (123) (45) (6),== (431) (26) (5).эти перестановки различаются ЛИUIЪ перенумерацией значков, которуюможно выпоmmт:ь с помощью перестановки1t= ( 4т. е. а== t-1bt.233145 6) '2 6 5Следовательно, а и Ь принадлежат одному классу. Очевидно, что и, наоборот, перестановки, ПрШlздлежащие одному классу,т. е. отличающиеся дрyr от дрyrа перенумерацией значков,обладаютГлава176одинаковойцикличес~ойXV.Группа nересmаНО80ICструктурой.Таким образом,мы приходимк важному выводу, что перестановки с одинаковой циклической структурой образуют класс и, следовательно, число различных классов равночислу различных циклических структур. Число символов в циклической перестановкечерезбудем называть длиной'\], ;\2, ...
,'\1: ('\1 +'\2разлагается+ ... +;\1:цикла.Если обозначить= п) длины ЦИЮIОВ, на которыепроизвольная перестановка,точисло различныхцИКЛИческих структур, совпадающее с числом классов, будет равно числуразличных возможных разбиенийна целые положительные слагаnемые. Из общей теории представлений конечных rpупп следует, чтогруппа перестановокSnимеет такое же число различных неnpиводимыхпредставлений.з. Неприводимые представления группыSnПерейдем теперь к нахождению всех неприводимых представленийгруппы Во. Мы уже упоминали о двух одномерных,неприводимыхпредставлениях-симметричномиа следовательно,ангисимметрич..ном, по которым преобразуются волновые функции частиц с целыми полуцелым спином соответственно.В симметричном представлениилюбой перестановке сопоставляется 1, а в антисимметричном (-I)Е(Р),где е(р)-четностЬ перестановки р, т.
е. в этом представлении всемчетным перестановкам сопоставляется 1, анечетным -1.Задачу нахождениянепривоДИМЫХпредставленийбудем решать следующим образом. Рассмотримфункцию F(YIJ У2,···, Уn), являющуюсяпроизведениемнезависимЫХ функций, каждая из которых зависитnот одноro apryмeнтa:(15.10)ОпределимтеперьоперациюперестановкиF(Yl' Y2J··· ,Уn) формулойpF =F(ypp УР2"··' Ур.)Применяя к фунщиивисимых функцийперестановкойqFp •Fвсеn!аргументов=Fp(YIJ." ,Уn)'фунщии(15.11)перестановок, мы получим п! НезаFp произволънойПри действии на функциюмы получимqFp(Yl, У2,· . · ,Уn) =ijF(YPl , УР2'. · · , Ур.) == F(Yq,1.
' Yql12 '••• ,Yq".) == FfJ1P(15.12)Из формулыI (15.12) следует, что функции Fp образуют базис регулярHOro представления rpуппы перестановок. Напомним, что регулярноепредставлениеявляется приводимыми каждое неприводимоепредставление порядкаlсодержится в немlраз.3.Henpuвoдuмыe представления группы177SnРассмотрим линейное п!-мерное пространство В, элементами которого являются произвольные линейные комбинации функцийLc,Fp .Fp :(15.13)PES.Разложение регулярного предстамения, которое реализуется на функциях Fp , сводится к разложению пространства R на неприводимые инвариантныIe подпространства относительно группыSN.Воспользуемсясейчас тем, что функцию F мы выбрали в виде произведения (15.10).это позволит нам наряду с оператором р перестановки apJYМe.HТOB рас-сматривать также оператор Р перестановки функций 'Фi, определяемыйследуюшим равенством:(15.14)Легко видеть, что операторы ij и Р коммyrируютдpyr С другом:qP == PIj.(15.15)Действие оператора Р на функцию Fq эквивалентно действию на этуфункцию оператораqp-l q-l.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
