1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Поэтому группа 0(3), так же каки rpynпа 0+ (3), имеет по одному двузначному представ.леНlIЮ DU)для каждого j == 2п + 1 •2ГлаваXIIСвойства неприводимыхпредставлений rpуппы вращеНИЙв этой главе мы рассмотрим конкретые базисы представленийгруппыиполучим правило разложения комnозиuии неприводимыхпредставлений на неприводимые части.1.Сферические функции как базисыиеприводимых представлеНИЙ группы0+ (3)До сих пор, исследуя представление группы 0+ (3), мы не конкретизировали пространство, в котором оно реализуется. Сейчас мы рассмотрим случай, когда пространством представления ЯRЛЯется пространcrвoдифференцируемых функцийJ(n) =!(в,'1'), определенныхn - единичНЫЙверхности сферы единичного радиуса. Здесьзадаваемый полярнымJ( угламиреходит в векторgn.8и '{J.
При вращении9на повектор,векторnСоответствующее преобразование функцийпеj(n)определяетсяунитарным оператором ~:(12.1 )Мы знаем, что операторы ~ образуют представление группы 0+:(3) 1) •Найдем инфинитезимальные операторы Ai этого представления. онибудут определять приращение функции !(п), линейное относительнопараметров вращения Oi. для поворота вокруг осиOzна угол о МЫимеем-Ту /(8, ер)= /(8,ер- а)= /(8,ер)- аaj(fJ, '1')дер+ ...(12.2)Следовательно,1з/(8, ер) =1)СМ. [лавуIII, п. з._ д/(8,a'{Jер).(12.3)["Iава138XII.Свойства nредставлений группы вращенийДля ПРОИЗ8ОЛЬНОro поворота,определяемогопараметрамиal, а2,аз, мы имеемTg J(8,= J(I/,<р)= J(B,ip')t.=~) + {:~ (:~J о + :~ (:::) JО; + ... ,(12.4)откуда(12.5)гдед8' )а;(д, ~) = ( да; о'bj(B,~)д<р' )= ( OOjо'(12.6)Рассмотрим поворот вокруг оси Ох:n'l = nl,n'2 == n2 cos а + nз sin а,n'з == -n2 sina+ nз cos а.(12.7)Отсюда имеемdn'llda=О,0'=0dn'21da а-О= nз,dn'з!=:do: а=О-n2.(12.8)Так какnl == sin (J cos ip,1'0 из(12.8)n2 == sin 8 sin <р,nз== cos 8,мы находимcos д сos ~(dip')da о - sin д s.in ~ da о = О,( d8')d<p' ) =cos8,cos8sinV; ( -d8' ) -sin8cosip ( -dda.
-оа о-s.in д(12.9)da о = -sin 8 s.in 11'.( dO')Из этих соотношеНИЙ мы без труда получаем41(д, ~)= (~)o =s.inlp,ы1д,'(12.10)~) = ( d<P'dO ) о = ctg д cos~.Следовательно)-A1!(8,<р)д!д!= sin <р+ ctg 8 cos ip-.88aip(12.11 )1.Сферичес"ие Фун"ции139Совершенно таким же способом находим12! = - cos 11' дд! + ctg 8 sin 11' д! .fJНайдем теперь в пространстведимоro предстаменияi.веса(12.12)a'{JфУНКЦИЙ ,(в, "р) базис непривоМы знаем, tfFO любой элемент базисанеприводимоroпредставлениягруппы вращеНИЙ должен удо.влетворятьуравнению(Щ + ~ -t- A1)J(fJ, ер) == -j(j + 1)1(8, ер).(12.13)Если мы хотим найти каноничесКИЙ базис, то, кроме того, должныпотребовать, чтобыilзf(О, ер)ер),= mf(8,После подстановкиm = -j, -j + 1, ...
, j.(12.14)(12.3), (12.11) и (12.12) в (12.13) и (12.14) мыполучим21 д (. д f )sin 8 д8 sm (J д8+_iУравнеЮIЯ(12.15)и1 д /sin Ц) atp2(12.16)••+ 1() + 1)1 = о,a! =тl·a'{J( 12.15)(12.16)совпадают с уравнениями для сферическихФУНlЩИЙ и имеют однозначное конечное решение только при целыхзначенияхравно21j= 1. Число линейно независимhlX решений этих уравнений+1и, следовательно, совпадает с порядком неприводимоroпредставленияn(/).Таким образом, орты каноническогобазиса неnpиводимого предстаwxенияс цeJIh1М весомфунхций ,(в,'(J)у'т(8,где р"т-lв пространстве непрерывныхимеют вид11')= .~eiml(JP{"(cOS8),(12.17)у2,...нормированная присоединенная функция Лежандра, опре-.деляемая формулой(1 - lm!)! J_21_+_1 _1 (l-x2)!j! _ti_+__<ж_ I_)1(1 + lml)!2 2'l1.dж'+'т'I mt2(12.18)(~-т(x) = (_I)m~m(ж)).Напишем преобразование сферических функций при вращении.
Знаяинфинитезималъные матрицыAiнеприводимоroпредставления,мыГлава140XII.Своиства представлении группы вращенийможем найти матр]{Цы этого предстамени.я для произволъных вращений. Однако более простые выражения получаются, если в качествепараметров вращения выбрать углы Эйлера 'Рl, 81, 'Р2- Не проводя вычислений, напишем сразу результат!). Пусть вращение g[<Pl' 81, 'Р2] переводит вектор n'(8', 'Р') в вектор п(8, <р): g-l n '(8', <р') == п(8, <р). Тогда1Tg y;m(8, <р) = у,т(е', 'Р') = Е п~т'[<Pl'm81, <P2]Yl ' (8, <р),(12.19)m'=-lгде(l + m)!(l- т)! ei(m~1+m'~2) х(1 + m')!(l - т')!х [COS~8]m+ml [Sin~8]m-ml ~~~m'.m+ml)(cos8),(12_20)р~а,ь)(соs 8) - полиномы Якоби:р~IJ.Ь)(ж) = (;~!n (1 _ ж)-IJ(1 + ж)-ь :ХП х2.ж)IJ+~(1 + ж)ь+п].КомпозИЦИJ1 неприводнмых представлеВИЙгруппыпы[(1 -0+ (3)Рассмотрим два неприВодимых представления пи) и пи') rpуп0+(3), которые реализуются в пространствах R 2j+l и R 2j'+1. Обозначим каноническиебазисы этих представленийсоответственночерези)и~(k -- -J,.
-). + 1, .. -, J-)и')(т -- - З,., - 3-, + 1,... , J.') -и11тОбразуем теперь КОМПО3IЩию D(j) х n(J') неприводимых предстамепий D(j) и D(j') . Построенное представление будет реализоваться в пространстве в,2j+ 1) (2j' т 1), которое является прямым произведением пространств R2j+l и R 2j'+1- В качестве оproв в пространстве R(2j+l)(2j'+1)МbI выберем всевозможные произведения ортов и~)11~'), которые будем обозначать через -ш~~'). Преобразование OprOB -ш~~) определится1)СМ., например, [9], с.
150.2. Композиция Henpивoдuмых представлении группы 0+(3)141формулойi11D~~') =jj',=-}r=-!I: D~1(g)uY) I: D~r:l(g)V~') =(12.21)найдем инфинитезимальные матрицы прямого произведения. Разлагаякаждую из матриц DU) и DU') по степеням параметров аё, мы получимDи)х Dи')== (Fhi+lи')+ Q1A (1)1 + .. .)(E2i'+1 + (tlA 1 + ...) =E2j+lFhj'+1+ al(A~) х Fhj'+1 + E2j+l Х А~з'» + ...(12.22)Orсюда следует, что инфинитезималъные матрицы нашего представления имеют видr(jj')Aiи)== A iХ ~j'+lU ")По.кажем теперь, что орты 'lDk~+ E2j+lи')Х Aj(12.23)•пространстваR(2i+1)(2f+l)будyrсобственными векторами матрицы H~i') = iAyj') с собственнымизначениями lс+ т. Действительно,Нз(jj') tDkm = (Нзи) Х ~j'+l+ E2j+]Х Нзи') )1D kmJ})+ E 2j + 1Ui Х Нзи') "'т =(12.24=kUkfJm + u,mfJm ==: (k + m)u''''m = (k + m)1Dkm.Так как число k может принимать 2j + 1 значений - j, ... ,j, а число mможет принимать 2j' + 1 значений - j', ...
j', то их сумма М = k + mможет принимать 2и + j') + 1 различных значений: -;' - j ~ м ~ j + j' .Поскольку число ортов 'Ш~~') равно (2} + 1)(2j' + 1), то некоторыеНзи) Uk Х E 2j,+]fJmJиз собственных значений М будyr вырожденныи (если толькоjили j' не paвНhI нулю). Orcюда следует, что, за ИСlCJIючением случая,когда j = о или j' = о, представлениеD(j)х DU') является приводимымИ, следовательно, может быть разложено на неnpиводимые части. Эrоразложение, называемое разложением Клебша-Гордана (см.
главу IV),мы можем получить, если разобьем пространство -Н(2i+l) (2j'+1) на ИНвариантные ортоroнальные подпространства,вкаждомИЗкоторыхреализуется одно из непривоДИМblX представлеНИЙ :группы вращений.Для ЭТОЙ цели удобно воспользоваться таблицей (с.143), по которойможно определить кратность вырождения собственных значений опера-тора Hr;'). для определенностибудем считать, что j' ~ j. РассмотримГлава142XII.Свойства представлении группы вращенийнаибольшее собственное значение матрицы H~j').
Оно не вырожденои равно j + j' . Действуя на соагветствующий орт шУ/> последовательными степенями уатрицы H~j'), мы получим цепочку собственныхвекторов матрицы H~j'):из')и;') (jj')W jj, ,Н_tDjj"эти векторы согласно п.2... ,главыXI(jj') 2и' .... з)(н_)Uj')1D jj! •(12.25)должны образовывать базис неприводимого представления веса J ~ j+ j'.Пространство, в которомреализуется это преДСТ8WIение, обозначим через R 2(;+i /)-7-1. Рассмотрим теперь в пространстве R(2j+l) (21+1) ортогональное дополнениек пространству R2(j+j')+1.
как следует из таблицы, в этом дополненииимеетсялишь один вектор с собcrвeннымзначением i+;'- 1. Действуяна этот вектор последовательными степенями матрицы H!!j') , получимцепочку из 2(j + ;' - 1) + 1 векторов. эти векторы образуют базиснеприводимого предстаWIенияк пространствуR 2(j+;'-l)+1собственным значениемjDU-f;'-1).в ортогональномдополненииМЫ найдем один вектор с маКСJNальным+ j' -2. Повторяя рассуждение, мы в результате представим пространство R(2;+I)(2j'+1) в виде прямой суммыортоroналъныхподпространств:R(2j+l) (2;'+1)= R2(j+j')+1 (f) R 2(j+i'-1) ( 1 ЕВ •• , ЕВ R2U'-j)· .Следовательно, разложение Клебша-Гордана для группывидDU) fl}D(j')= DU+j') Ef1D(j+/-l) ЕВ ••• EBDOi-j'I).(12.26)0+(3) имеет(12.27)Таким образом, мы имеем следующий результат: прямое произведение неприводимых представлений с весами j и j' разлагается на неприводюqйепредставленияс весами j + j' ,J +}' - 1, ...
, li - j' 1, причемкаждое из этих непривоДимыХ представлеНИЙ встречается в разложениитолько один раз.Из этого правила непосредственновытекает,'fГO тождественноепредставление входит в предстаWIение nи) х n и ') только в том случае,если ; = j' . Из (12.27) также следует, что произведение двух двузначнh1Xпредставлений (j и j' - полуцелые числа) ЯWIЯется однозначнымпредстаалением.Орты 'lD~) канонического базиса, в котором представление n и ) хn и ') распадается на неприводимые, будут линейными коубинациямиортов ш и;')I:m--u(j)v(j')·"т·(J) _тм -~L...Jт,т'Uj' J) (j) и')стт,мит "т' ·(12.28)2. Камnoзuцuя Henpuвoдuмых nредсmа8JIенuй группы 0+(3)143Таблица eoбnвенвwx ЭВ8чеииА (е.
3.) и eoбerвelOlblX .&торов (с. В.)MaтpllЦЫ H~i') (j' ~ j)с. з. м:атриЦhI Hfj')с. В. матриuы H~f) .)j+j''Wjj'+ j' -j12;W-j+1j', 'W-;+2j'-1'···, tDjj'-2;+1W_j j', tD_j+1 j'-I, .•. , 'Wj j'-2;2; + 12j + 1'W-jj'-l, 'W-;+lj'-2,···, tDjj'-2j-l-и' j)-(j' - j) - 1*) Верхние12'Wj-1j', 'Ш; ;-1j' - j + 1., .1 -1j' - i - 1-Кратность с. з.'W-;-j'+2j, 'W_j+l_j' t·2j-l,2;••• , 'UJj-i'2;W- J -j'+2j-l, • • ., "'j-1-j'+1индексы векторов 'W~~) для кратности опущены.Коэффициенты c~~;1 называют коэффициента.."\fИ Клебша- Горданаили коэффициентами Вигнера для группы 0+(з)1). Матрица с и;')с элементами c~~f1 (индексы J, М нумеруют строки, а индексы т,т' - столбцы) является унитарной матрицей порядка (2j + 1) (2j' + 1).Матрица си;') приводит представление V U) х V U') к квазидиaroнальному виду:D xD и'») С (jj') =(с Uj'») -1 (и)оDU+;'-1)ооо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
