1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 21
Текст из файла (страница 21)
НеnреРЫ811ые группы1244. l}Jуппа двумерных вращенИЙ 0+(2)Элементами этой группы ЯRЛЯЮТСЯ вращения в трехмерном пространстве относительно некоторой оси или,что то же,вращенияв плоскости, перпендикулярнойк этой оси, вокруг начала координат.Если мы примем ось вращения за ось Oz, то элемента.\fи грyIПIЫ 0+ (2)будуг преобразованияж'где= ж cos (() -у sin f(J,угол поворота, О ~r; -r;= х sin f(J + У cos f(J,у"< 21r.(10.20)Таким образом, rpуппа 0+(2)является однопараметрическойкомпактной группой. Так как она ЯWlЯется абелевой , то все ее неприводимые представления первого порядкав силу компаК1НОСТИ группы унитарны.ждать,Поэтому мы можем утверчто в неприводимом представлении каждому элементу группысопocrавляется числоx(r;) ,по модулю равное единице.
Кроме того,должны ВЫПOJШЯТЪся условия(10.21)откуда легко заключить, чтоХ(<р)== expimcp,где m == О,±1, ±2, ...(10.22)Группу0+(2) можно рассматривать как предельный случай точечn --+ 00. Поэтому ее иногда обозначают через Соо •Физический интерес представляют группа C oov = СОО х D'v (групной группы СП припа симметрии двухатомной молекулы с ра.зличными ядрами) и группа D ooh = C oov Х i (группа симметрии двухатомной молекулыI с одинаковыми ядрами).
Стационарные состоЯЮIЯ и энергетические уро~нитаЮlх молекул классифицируются по неприводимым представления мэтих групп. Характеры неприводимых предстамений этих групп могут быть получены тем же способом, что и характеры неприводимbIXпредставлений групп Сп" и Cnh (см. главу VI).5.l}Jynпа трехмерных вращеНИЙ0+(3)Перейдем к рассмотрению группы о-+- (3) вращений в трехмерномпространстве. Как мы знаем, эта группа является трехпараметрической.В качестве ее параметров возьмем сейчас три составляющие 01, 02, азвектора о, направленного по оси вращения и равного по длине углуповорота. Направление поворота определяется по правилу буравчика.Очевидно, что всегда можно считатьгруппа101~ 1r.
Поэтому областью из1r, и, следовательно,0+(3) компактная. Обратим внимание на то, что различнымменения параметров0iявляется шар с радиусомвнутренним точкам шара соответствуют различные вращения,втовремя как любым двум точкам поверхности шара, лежащим на противопQЛОЖНЫХ концах диаметра, соответствует одно и то же вращение(на угол1r).5.
Группа трехмерных вращений 0+(3)Найдем инфинитезималъные матрицывидно, при дифференцированииматрицы125li группы вращения. Очеg(a}, а2, аз), яНЛЯЮщейсяэлементом rpуппы 0+(3), по одному из параметров мы можем пооожить остальные параметры равными нулю. Поэтому для вычисления 11рассмотрим матрицу, соответствующую вепору о(а), О, О), Т. е. вращению на угоо й! относительно ОСИ Ох. это будет матрицаg(a},О, О) = (o~ ;а1 -~a]),sma]cosa]и, следовательно,_дg_(й_),_0_,0_) I = (~o1} =даlаl=О~ -!) .Таким же образом находим[2=(_~ ~ ~)[3=(! -~~)Легко поверить, что эти матрицы удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:=1112 - 121] 1з, }- 1з12 == 1],121зlз 11 - 11 1зПокажем,что приращение(10.23)= 12·произволъноrовектора при поворотена бесконечно малый угол вокруг определенной оси может быть выражено через матрицы1;.для этого рассмотрим векторr' == 9(0,17 а2, йз)r == r + бr.Здесь маtpица g(a), а2, аз) -произвольный элемент группы 0+(3).При MaJlых значениях параметров мы можем воспользоваться формулой(10.4)и написатьr' = {Е + а]11+ а212 + йз1з}r.(10.24)В случае вращения вокруг ОДНОЙ из координатных осей, например Ож,с точностью до членов первого порядка малостиотносительноа1мыбудем иметь(10.25)126Глава х.
Неnрерывnые группыи, следовательно,изменение вектораrпри вращении на малый уголотносительно оси, соответствующей параметруai,определяется матрицей а,I•."окажем теперь, каким образом можно любую матрицу, соответствующую вращению с заданными значениями параметровaI,а2 и аз,выразить через иифинитезимальныематрицы. для этого рассмотримоднопараметрическуюгруппу поворотов относительнооси, направленной по векторуa(al'а2, аз). Интересующая нас матр:кца соответ-ствует повороту относительно этой оси на угол а =причем, очевидно,al == acos (6Ж;а),Используя формулу9(а1, а2, аз)а2 == acos (0У:а),азJa~ + a~ + a~,== а сos (oz, а). (10.26)(10.14a), мы можем написать== ехр [аа ==== ехр{ (11 cos (0-;;-а) + 12 cos (0У:а) + [з сos (0"Z;a») а } === exp(11al + 12 а 2 + [заз).(10.27)УпражиеИИJI10.1.10.2.найти матрицы неприводимых представлений rpуппы Соо ".найти матрицы неприводимых представлений грyJшыI D ooh •Глава ХIНепривоДимые представлениягруппы трехмерных вращеНИЙв этой главе мы найдем все неприводимые представлеция rpуп_пы 0+(3)._Для этой цели нами будет использован метод, ОСltованныйна рассмотрении инфинитезималъных преобразований rpуппыl.1.ивфиниrезимальвыe матрицы представлеВИЙГРУIШЫ0+ (3)В предыдущей rлаве мы нашли инфинитезимальныe маТРJiцы группы 0+(3) и показали, ЧТО они УДОWIетворяютперестановочнымсоотношениям (10.23), левые части которых мож.но условно записать в формевекторного произведения:[1, 1] = 1.(11.] )Мы знаем, что инфинитезималъные матрицыI npeдстамеНИй rpyIiпыдо.nжны УДОWIетворять таким же перестановочным соотношеflиям.
эгиматрицы мы будем обозначать буквами Аl, А2, Аз.Из результатов, полученных в предыдущей главе, следует) что еCJПIизвестны инфинитезималъные матрицы А; некотороro преДСтавления,то матрица представления, соответствующая произвольному поворотус паР~\fетрами 01, а2, аз) может быть записана в виде(11.2)Таким образом, отыскание предстаWIений группы 0+(3) СВОДlПCя к нахождению матрицA 1,А2 , Аз, удовлетворяющих перестановочным соотношениям (.11.1).ВЬ1Ясним некоторые свойства матрицAi.Группа вращениi{ являетсякомпактной, и, следовательно, любое ее представление ЭКВ1fВaлентноунитарному. Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением толькоунитарных представлений. ПУСТЬD(al'а2, аз)-унитарное представление, т.
е.(11.3)Глава128XI.Henpuвoдuмыe nредсmавАе1lUЯ группы вращенийЗаписывая это равенство с точностью до линейных членов по 01'мы получим(Е + olAt+ a2A~ + ctзАj)(Е + ct1A 1 + 02А2 + азАз) = Е,orкyдaAt:: -А•.Таким образом, матрицыAi(11.4)ЯВЛЯЮТСЯ антиэрмитовыми.для дальнейшего удобно вместо матриц А , рассматривать их линеЙНЫе комбинации:(11.5)Легко видеть, что матрица Нз эрмитовз, а матрицы Н+ и Н_ эрм ито восопряжены. Используя соотношения(11.1), можно n оказать , что этиматрицы удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:Н+Н_ - Н_Н+ : 2Нз • }(11.6)Н-Нз- НзН- - Н_,НзН+ - Н+НЗ = Н+.выиним,' какими свойствами обладают собственные векторы матрицы нз.
Прежде всего пок.ажем, что если V.\ -собственный векторматрицы НЗ, соответствующий собствеЮlОМУ значению ~, то H+v,Aбудет собственным вектором :матрицы Нз, coarвeтcтВуюЩИМ собственному значению ~1. Действительно, пусть+(11.7)Тогда,(11.8)Аналогично доказывается, что Н-">.. есть собственный вектор матрицы НЗ, coarвeтсгвуюЩJfЙ собственному значению ~- 1.Мы имеем(11.9)Так как матрица Нз эрмитова , то все ее собственные значения вещеcтвeнны' а собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортоroналъны друг другу.Покажем теперь, что все собственные значения матрицы Нз будутцелыми или полуцелЬL\fИ числа.~, различающимися на единицу, причем если наибольшее собственное значение равнособственное значение равно-j.j,то наименьшее1.
ИнфuнumеЗUМШlЫlые матрицы представлении группы 0+(3)Будем считать все собственные векторыванными на единицу. Тогда в силуfJAи Ол-иVAматрицы Нз нормиро(11.9)мы можем написатьH~VA = fЗАVА+I,(11.10)== ОАVЛ-I,(11.11)H-VAгде(11.8)129некоторые вещественные числа, которые мы найдем,используя условие нормированности векторов ~A' Так как матрицы Н+и Н _ эрмитово сопряжены, 1'0 мы имеем(H+vk' Vk+l) == fJ,,(Vk+l, Vk+l) = fЗ" === (Vi' H-vk+l)= Йi+I(Vk,Vk) =QI:+I·Таким образом,/31:== 01:+1'(11.12)Для того чтобы получить явные выражения для этих хоэффициентов,найдем рекуррентное соотношение для коэффициентов /З".
Еслиk<j ,то мы можем написатьОтсюда, учитываяполучаем(11.12),fJ~ + 2k == fJi-l'Если ж.еk= j, to Н+"I: == О, И, следовательно,fЗ1-iИспользуя соотношенияOrcюда, используяи(11.13)fЗ~:== j(j + 1) -(11.12),TaКJL\f образом,Vk(11.14)2j.(11.14),мы по индукции получаем+ 1).(11.15)k(k ~ 1).(11.16)k(kнахоДИМ, чтоoi == j(j + 1) векторы(11.13)матр ицыI Н+, Н_, Нз действуют на нормированныеследующим образом:НЗVI: == kVk,H_tJl:}= v'J(j + 1) -Н+ VI: = v'j(j+ 1) -k(k k(kl)vk-I,+ l)vk+l'(11.17)Глава130XI.Henpuвoдuмыe nредсmавленU1I группы вращенийДействуя последовательными степенями матрицы Н- на собственныйвектор "i' мы получим набор собственных векторов(11.18)в силувектор(11.17) последним вектором"_j, так :как H_"_j = о.в этом наборе будет собственныйOrcюда следует,собственное значение матрицы НЗ равновекторов, очевидно, будет равно2; + 1,-;.что наименьшееЧисло всех собственныхи, значит,jможет быть либоцелым, либо полуцелым числом.2.Неприводимые представлении группы0+(3)Oprонормирова.нные собственные векторы"j,"j-1,"j-2,··· , "-jматрицы Нз образуют базис пространства R 2j+l- Этот базис в дальнейшем мы будем называть КQlIоническuм.
Из формул (11.17) следует, чтопространство R2j+1 инвариантно по отношению к преобразованиямс матрицами Н+, Н_, НЗ, и, следовательно, в нем реализуется некоторое представление .rpуппы 0+ (3). "окажем, что это представлениенеприводимо. для этого докажем, что пространство R 2j+ 1 не имеет lПfВариантн.ых подпространств по отношеншо к преобразованиямс матрицами п(аl' а2, аз) этого представления. Допустим противное,т. е. предположим, что существует подпространство R' С R2j+l' инвариантное относительно всех преобразований D(al' а2, аз).
Но тогда это подпространство дол:ж:но быть инвариантно также относительно инфииитезимальны.х преобразований Ai (или Н+, Н-, Нз).Пусть h е lt - со6crвeнный вектор матрицы НЗ, соответствующий наибольшему собственному значению. Так как R' С R2j+ 1,то векторвекторовh"1;:может быть представлен в виде линейной комбинацииjh= Е Ck"k.(11.19)I:=-jОчевидно, что(11.20)Следовательно, мы получаемjH+h =L.~-;jCI;H+""=LCk{3t V k+lоткуда в силу ЛШlейной независимостивекторовС_;= О,(11.21)1c=-j= C-j+l = ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
