1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Эro второе обстоятeлъcrвочасто приводит к тому, чrо не все преобразоваНИЯ из точечной ГРУПIIЫ К входятв группу симметрии кристалла. Не все преобразования , совмещающие узJIы решетки, совмещают также компоненты кристалла. Поэтомувозможно, что точечная группа кристалла будет только подrpynпойточечной группы пустой решетки.В общем случае npeобразование симметрии кристалла, не содержащее транcmщии на вектор решетки,имеет виднекоторое npeобраэование из точечной грynпыI К, аtaR,ta-гдеR -траНСЛЯЦИЯна вектор а, отличный от вектора решетки. для пояснения такихнесобственных транСЛЯЦИЙ рассмотрим кристаллическую решетку алмаза.
Решетку алмаза можно составить из двух гранецентрированныхкубических решеток, сдвинyrыx друг относительно дрyrа вдольстранствеиной диагоНали куба наnpo1/4 ее длины (рис. 10). Выберемв качестве центра симметрии положение какого-нибудь ядра, например точку А. Ближайшие к этому узлу ядра, принадле:жащие другойподрешетке и отмеченные буквой В, образуют тетраэдр.
Легко убедиться в том, что npeобразования из группы тетраэдра будут совмещать3.Общий элемент пространетвенной группы97решетку алмаза саму с собой. Преобразование инверсии i относительно точки А не будет элементомсимметрии рассматриваемой решетки. Действительно, при таком преобразовании ядро В, расположенное в вершине куба, окажется на середине пространственной диагонали.Однако если после инверсиипроизнести СдВиг по диагонали начетвертьееДЛИНЫ,торассматриваемое ядро В займет положениеядра А. Легко убедиться, что инверсия и сдвиг npИВОДЯТ К совмещениюподрешеток А и В.
То же можно,,,,,утверждать для любых преобразовваний из совокупности iT d. Такимобразом, элементамисимметрииреPвc.IO.шетки алмаза будут преобразованияточечной группы T d И преобразования из совокупности iTd, сопровождающиеся трансляцией a , где Q вектор, нanpавлеШIЫЙ ВДWIЪtдиагонали куба и равный 1/4 ее длины.Если R - поворот BOкpyr некоторой оси, а t a -смещение вдольнаправления этой оси, то преобразование taR называют вращеняемвокрут винтовой оси; еслиR -отражение относительно некоторйt o -смещение, параллелъное этой плоскости, то элементtaR называют плоскостью СК()JJЪЖенЮI (или плоскостьюIUlоскости, асимметриискользящегоотражения).Общий элемент пространственной rpупПhI может быть записанв виде9= tataR = ta+aR.(8.9)Такая запись возможна, несмотря на то что трансляции t o не коммутируют с преобразованием taR.
для доказательстваэтого покажем, чтоэлемент taRt a также может быть представлен в видетельно,tаRtажТак какRЕ К, то= + Н(ж + а) = а + Rж + Ва.Ra -Q(8.9). Действи;(8.10)такхе вектор решетки, и, следовательно,taRt o= tRa+aR .(8.11)Мы уже отмечали, что преобразования taR не образуют группу. В тоже время легко убедиться, что преобразованияR образуют rpyпny.Дейcrвителъно, мы имеемtaRta,R'= tatRaRR' = tQ+lIa,RR'.(8.12)Глава98VIII.Просmрансmвенные группыОтсюда следует, что вместе с R и Jt всегда имеется преобразоваиие RЯ'. Так как R Е К, то эта группа, которую мы будем в дальнейшем обозначать через F, должна БЪ1ТЬ подrpуппой группы К.Кристаллы, имеющиеодну и ту же группу F , относят к одному классу.
Очевидно, число кристаллических классов равняется числу подrpуппв семи группах 52, ... ,01&, определяющих синroнии . Легко сосчитать,что ЭТИ ГрУПIThI содержат 32 различные подrpуппы и, следовательно,существуют 32 кристаллических lCJIасса. Orметим, что крист8JIлы' принаддежащиеодному итомужеклассу,MOryrOI'Носиться К разным,синroниям а при заданном классе и заданной синroнии кристаллыMOryr еще отличаться несобственнымитрансляциями t a .
Установлено,что сушествует всего4.различных пространственных групп.230Неприводимые представлении rpуппы транCJIJIЦИЙдля тоro чтобы построить иеприводимые представления пространсгвеннойгpyrmы,подгруппы-изучимсначаланеприводим:ыепредставленияеегруппы трансляЦИЙ То.Если трансляции на основные BelCГopы решетки обозначать соответственно через(8.13)то произвольНЫЙ элемент из группы То может быть представлен в виде(8.14)гдео= nlO + n2В2 + nзаз.(8.15)Все трансляции коммутируют друг с другом, и, следовательно, группатрансляЦИЙ абелева.
Рассмотрим христзлл, размеры которого определяются веlCГорамиL 101,L2a2и Lзвз, гдеLl' L2,Lз-целые числа,и наложим на трансляции так называемые циклические условия:t L.+lа.= to"i= 1,2,3.(8.16)это мы и подразумевали, говоря, что отождеCТWIЯем противоположныеграни образца .Поэтому группу 'JP8.НсляциЙ То мы можем рассматривать как прямое произведеНJfе трех циклических групп Та. с элементамиЕ, t o "Как мызнаем,2to"неприводимыеодномерны. для группы Та"....L.-lt a,представленияимеющей порядокчислами2..-iеr1R..(8.17).циклическойLJ ,группыони определяются(8.18)4.Henpивoдuмыe nредставленUR фуnnы трансляций99Индекс т :классифицирует неприводимые представления и может принимать значения О, 1, 2, ....
, Lj -1. Число n равно степени соответствующего элемента циклической rpуппыI (8.17). Поэтому неприводимымипредстаШIениями rpynпы Та С элементами (8.14) будyr числаe211'i(~"'+~n2+~n3)(8.19)•Мы видим, что каждое неприводимое представлеlfilе группы Та определяется тройкой чисел (тl, т2, тз), а число различных неприводимыхпредставлений равно произведению L1L2Lз.Введем в рассмотрение три вектора ь 1 , Ь2, ь з , оnpeдеJПIВ их условиями(8.20)Очевидно, чтоЬ1_-211'[424з](аl [а2 а з])211'[Йlа2J .З = (4з[4142])Ь,Рассмотрим векторk=тl-Ь 1Llт2тзL2Lз+ -Ь2 + -ьз.(8.21)Вектор k задан в пространстве, определяемом векторами b 1, Ь2, ЬЗИ называемом пространством обратной решетки (по отноwеЮlЮ к решетке, определяемой векторами 01, 42 И аз) .
Очевидно, числа (8.19),дающиенеприводимыепредставлениягруппыТа,можно записатьв виде(8.22)ei(lra) •Таким образом, каждое неnpиводимое представлеlfilе гpynJIы Та характеризуется своим вектором k. Мы будем обозначать эти представлениячерез lr • Если qt - орт преДcтaR.'1ения Г" и Еа - оператор трансляцииrна вепор а, тоtoqlr =Два вектораkиk'ei(lro)'Ir.(8.23)пространстваобратнойрешетки, различающиесяна векторЬ = 1'1 Ь 1гдеPi -цеЛhlечисла,+ 1'2 Ь 2 + 1'зЬз,называются эквuвалент ными;(8.24)очевидно,онихарактеризуют одно и то же неприводимое представление. В качествеобласти изменения вектораk,определяющеюнеприводимыепредставления rpynnъl транСЛЯЦИЙ, удобно выбрать такую одноевязную областьВ пространстве обратной решетки, которая содержит в себе началокоординат и для которой вьmОJIНJlЮl'сяследующие два условия:а) эта область не содержит экви:валентныхвекторов,б) для произвалъного вектора пространства обраmой решетки вэтой области найдется эквивалентный вeIcrOp.
эгу область называютnриведенноu зоной Брuллюэна.Глава100VIII.Просmрансmвенные группыМожно показать, что группы Ко прямой и Кь обратной решетокБраве совпадают. В самом деле, пусть R Е Ка. Тогда наряду с равен-==сгвоы (аЬ)2wn мы имеем (Во, Ь) == 2wm, откуда (а, R-1b) 21rffl.Следовательно, R- 1b есть вектор обратной решетки. Но когда npeобразование R пробегает всю rpуппу Ко, обратное преобразование я- 1таюке пробегает всю rpynпу. Orcюда можно заключить, что Ко С Кь.Повторяя рассуждение для R Е Къ, мы получим, что Къ С Ка. Отсюдаследует, что rpуппа КО совпадает с группой кь.5.Звезда вектораkДопустим, что нам извеС1НО некOfОРое неприводимое представление D пространственной группы G. По отношению к подгруппетрансляций То оно является, вообще roворя, приводимым.
Матрицы представления п, соответствующие трансляциям t a , коммутируютмежду собой; поэтому орты базиса ~дставления всегда можно выбрать так, чтобы эти матрицы бьши диагональными. Эrи орты будутортами неприводимых представлений Г. группы трансляЦИЙ, поэтомуq.,их можно обозначить также черезгде k - вектор из приведеннойзоны БРИJШЮэна.Выясним, как связаны междУ собой векторы k, соответствующиебазису данного неnpиводимоro предcrавления п. Пусть qle одиниз ортов этоro базиса, тогда согласно (8.23), мы имеемАtoql:(8 .
25)= е i(l:a) q1r.Рассмотрим теперь оператор ЕаЕав., соответствующий произвольно.муG. Действуя этим оператором на орт '", получимнекorорый едиНИЧНЫЙ вектор ,':элементу rpуппы" = tolaRq..Выясним, как npeобразуется "(8.26)при трансляциях на вектор решетки.Мы имеемia,q' = fa,laiaRq =faiaia,Rq•.(8.27)Используя соотношение(8.28)получаемАto,q,А"" = totaRtR~la,q.= еi(1: в- 0')'"totaRq.=1-"Jеi(Вt а')J,,.(8.29)Отсюда следует, что вектору " следует приписать значок ш. Такимобразом, общее преобразование ЕаЕан переводит орт qlc в орт 'Я Следовательно, если в базис неприводимоro представления D пространственной группы входит орг '., то в него входит также и орт QR., гдеR - преобразование из точечной группы F. Совокупностьвсех неэкви-•.6.
Группа вектора kRЕс помощъю всех операЦИЙ R Евалентных векторовF1'0Rk,гдеF,называют звездой вектораl}Jуппа вепораk.Еслиполучаются т различных векторовk] = k, k2 == R1k, ... ,roворят, что вектору k соответствует6.101km= Rm-1k,звезда т-го порядка.kПусть k - какой-нибудь вектор из приведенной зоны БрИJVIЮЭна.Рассмотрим все преобразования из G, ocтawI.ЯЮщие вектор k инвариантным. Они образуют подгруппу Н1с группы G.
Действие преобразования из G на вектор k нужно пониматъ в смысле равенства (8.29),рассматривая k :как индекс базисноro вектора, т. е._totoRk = Rk.Очевидно, все преобразова.нияподгруппы Та оставляют вектор k инвариантным. Если группа G не содержит несобственных 1р&Нсляций,то кроме транСЛЯЦИЙ to в группу Н" входят еще только некоторыеортоroналъные преобразования, образующие подгруппу F. группы F,и произведенияэтих преобразоваНИЙна трансляции. Группу Н. будемназывать группой вектора k.
Если конец вектора k лежит на поверхности зоны БРИJUIюэна, то в группу Н. входят также элементы,которые переводят k в эквивалентный вектор.Разложим группу G на совокупности, сопряжеlDlые слева orносителъно подгруппы НА:91 Н1с, 92Н., ... , 9тН.,(8.30)где 91 - тождественное преобразование rpуппы. Выясним, какимисвойствами обладают элементы 92) 9з, ... '19т в этом разложении. Так:как ни один из элементов совокyIПlОСТИ 92Н" не должен содержатьсяв подгруппе Н1с, то элемент 92 не может оставлять инвариа.нтны:м:De.lCl'Op Ic. Легко убедиться в том, что все преобразован.ия из соПРJlЖенной совокупности 92Н1с переводят вектор k в один и тот жевeJa'Op 'е 2 = 92k. Аналогично преобразования из дрyrиx совокупностей переводят вектор k в векторы k з==9)k, k 4 9А1с.···, k m = 9m k .Все эти векторы должны бытъ различными.
Действительно, если быnpeобразования 92 и 9) переводили вектор k в ОДИН и тот же вектор k 2== 'е), то совокупность элементов 9'31 92Н. ДOJDlCНa бьша быоставлятьвекторk инвариантным и, следовательно, совпадала быс группой Н1с . Но из 9з192Н1IН" следует fhH1c 9зН", чего не мо==жет быть, так как сопряженные совокупности не содержат общихэлементов. Поскольку сопря:женныe совокупности исчерпывают всюгруппу, то векторы k 1, ••• , k m образуют звезду вектора k.
Легко видеть, что группа вектора kj, принадлежащеroэтой звезде, может бытьпредставлена в видеН1с.= 9;H1c9il,(8.31)откуда въпекает, что группы векторов звезды изоморфны друг друту.Thaвa1027.VIII.Пространственные группыНеприводимые представлеНИJIпространствеИНОЙ группыПредположим, что представление D пространственной группы разложено на неприводимые представления подгруппы трансляций, Т. е.что матрицы представлений,соответствующие трансляциям,диагональны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
