1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Неортоrональными моryr остаться ЛИШЬ соответственные злементы базисов эквивалентных66неприводимыхГлавапредставлений,соответствеЮiblXэлементовTeQpeмa ВигнераV.причем скалярныедвухэквивалеНПIЫХпроизведениянеnpиводимыхставлений должны совпадать. Заметим, что ортоroнальностьвсехпредэлементов базисов неэквивалентныIx неприводимbIX представлений сохранитсятакже и для неунитарноro представления.ГлаваVIТочечные группыТочечными ГРУППiL'fИ называют конечные ПОДГРУШIЫ группы0(3),группы ортогональных преобразований в трехмерном пространстве.В физических приложениях точечныIe грyпnыI используются для описания симметрии молекул. Кроме того, знание точечных групп необходимо для исследования свойств симметрии кристаллов. Нашинаглядные предcrаменияо симметрии геометрическихфиryp (призмы,куба, тетраэдра и т.
д.) связаны со свойством совместимости этих фиrypпри преобразованиях, ПРЮlадлежащих точечным группам. В этойглаве мы рассмотрим точечныIe группы и их неприводимыIe представления. Полученные резулътатыI будут применены для классификацииэлектронных и колебательных состояний молекул._.Элементы точечных группЭлементами точечных групп ЯВЛЯЮТСЯ некоторые вращения трехMepHoroпространства, а таюке вращения, сопровождаемые инверсией.Мы знаем (см. упр.1.1), что любой элемент группы вращений можнопредставить как поворот на некоторый уголtpвокруг определеlПlОЙоси.
Если группе принадлежит поворот на угол 'р, то ей принадлежити поворот на yrол ktp, где k ПРОИЗВOJIЬное целое положительноеили отрицательное число. Поэтому в конечной группе угол tp должен быть рациональной частью 21Г. Есзm: наименьший угол поворотавокруг некоторой оси равен2:,то такую ось называют осью n-roпорядка. Преобразование поворота на угол 2: обозначают через СПИJПI С1с (2;), где k - единичный вектор, направленный вдоль оси.Ясно, что если группа содержит поворот СП, то она содержит такжеповоротЬ] c~, C~, ... ,c:-2w-1на углы2w. 2, _.з,... ,2w-(n - 1).(6.1)пппэги преобразова.ния вместе с единичным элементом группы образуютабеле ву подгруппу точечной гpymIЫ.Рассмотрим теперь элементы точечных групп, содержащие инверсию i.
Преобразование инверсии переводит каждЫЙ вектор r в вектор -r. Так как матрица этого преобразования крата единичной,то оно коммутируетс любым другим oproroHaJIънымпреобразоваlDlем.68ГлаваСоставимпреобразованиеприменениеинверсииVI.Точечные группыiСI:(1Г).и поворотаОчевидно,на угол1гчто последовательноевокруг не которойосиэквивалентно зеркальному отражеюпо в плоскости, перпендикулярнойк оси вращения. Преобразование отражения в плоскости, перпендикулирной к вектору k, обозначают обычно через (1'1:. для произволъноroповорота на угол 'Р, сопровождаемого инверсией, мы имеем(6.2)Преобразование O'tCIc('P) называют зерк,шlьным поворотом и обозначаютчерез St(tp). Таким образом, элементами т~ечныx групп являютсяповороты и зеркальные повороты.Рассмотрим теперь, какие элементы точечной группы MOryr входить В один класс.
С этой целью составим элемент, сопряженныйс элемеНТО~f Ck(tp):(6.3)gCIc(tp)g -1,ще9-произвольныIй элемент точечной rpymIbI (т. е. поворот или зеркальный поворот). Рассмотрим сначала случай, когдаПустьgk9 -=fповорот.(6.4)и, следовательно,g-1 f = k.(6.5)Поворот g-I всегда можно представить себе как поворот R(k, '),fсовмещающий векторс вектором k, вокруг оси, перпендикулярнойк плоскости этих векторов, и последующий поворот на некоторыйугол а вокруг вектора k:g-1= Ct(a)R(k, ').Поэтому элемеIП, сопряженный с элементом(6.6)C,,(V;),может быть записан в видеgC,,(tp)g-1== R-1(k, J)c;l (а)СI: (tp)CIc(a)R(k, ') ==R-1(k, I)Ct (l(J)R(k, ').(6.7)Эro преобразование можно интерпретировать как первоначалъное совfмещение осис осью k, затем поворот вокруг оси k на угол tp и затемобратный переход от оси k к оси '.
в результате МЫ, таким образом,получаем преобразованиеповорота на угол tp вокруг оси1:(6.8)Анмогично можно показать, что(6.9)2.Если же9 -Классификация точечных групп69зеркальный поворот, то мы имеем следующие равенства:gC1c(tp)g-l == C-gk(tp), }(6.10)gSk(tp)g-1 == S-gk(tp).Из рассмотрения этих соотношений можно сделать следующие выводы:1)Каждый класс точечной группы состоит из поворотов или зеркалЬНЫХ поворотов на один и тот же угол.2) В каждый класс входят лишь те повороты или зеркальные поворотына один и тот же угол,оси которых MOIYГ быть совмещеныс Помощью преобразований, принадлежащих грyrше. При этом следуетиметь в виду, что если 9 - зеркальный поворот, то ось k переходитв ось -gk.
В частности, отсюда следует, что повороты на углы tp и -tpвокруг некоторой оси принадлежат одному и тому же классу, еслигруппа содержит плоскость отражения, проходящую через ось.2.Классификация точечных группКаждой точечной группе можно сопоставить некоторое геометри··ческое тело, обладаюшее соответствуюшей симметрией.
К таким теламОТНОСЯТСЯ,в частности,правилъныемногогранники,т. е.мноroгранники, все :грани КОТОРЫХ представляют собой одинаковые правильныемногоугольники. Из всего множества правилъных n-угольников только"треyrольник,квадрат и пятиyrольникMOryrслужить гранями правильного многогранника. Существует пять правилъных многогранников:тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр образован четырьмя треугольниками,кубтреyrолъниками, додекаэдрнец, икосаэдр--шестью квадратами, октаэдр-восемьюдвенадцатью ПЯТИУГОJThНиками И, накодвадцатью треутольниками.
Этим исключительнымфигурам соответствуют, однако, не пять точечных групп, а лишь три.Куб и октаэдр так же, как додекаэдр и икос~др, взаимно сопряжены,Т. е. могут быть получены друг из друга соединением середин смежныхграней. Ясно, 1:fГO каждой такой паре сопряженных многогранниковсоответствует одна и та же группа. эти три группы не исчерпываютвсей совокупности точечных rpупп, полную классификацию которых,следуя Вейmo О , МЫ получим далее.Ограничимся сначала подгруппами собственной ортоroнальнойгруппыI, т.е.группы вращений. Будем характеризовать каждое врашение осью и углом поворота.
Рассмотрим сферу, центр которойсовпадает с центром врашения. Очевидно, что для любого врашениядве точки этой сферы, через которые проходит ось врашения, будутоставаться на месте. Назовем эти точки nолюсамu, соответствующими1)Wey/ Н. Symmettry.
Princeton Univ. Press. 1961).СlL\fМетрия. М.: Наука,Princeton, New Jersey, 1952 (ВеЙЛЬ Г.70ГлаваVI.Точечные группыданному вращению. Если ось вращения яwmется осью n-го порядка,то ее полюсы будем называть полюсами n-го порядка.Сколько полюсов может имегь точечная группа и каковы их порядки? Решение этой задачи позВQТlИТ получить классификациюточечныхrpупп, состоящих из собственных вращеНИЙ.Пусть точечная rpуппаGимеет полюс Р порядкациклическую подrpупny группыG,n.Обозначимсостоящую из вращений вокругоси, проходящей через этот полюс, через Н.Разложим rpуппу G на сопряженные совокупности по подгруппе Н(СМ.(2.3»:G= {Н,Любой из элементов rpуппыI91 Н, 92 Н , ... , 9т-1Н}.G(6.11)либо оставляет полюс Р на месте, либопереводит в некоторый другой полюс.
Очевидно, что каждый из элементов сопряженной совокупности 9iH переводит полюс Р в одини тот же ПOJПOс ~, причем все полюсы ~ различны. Действительно,если бы оказалось, например,что Р1 = Р2, то 9.192 Е Н и, следовательно, 91 Е 92Н, что невозможно (см. п.4 главы 11). Подгрymта 9i H 9i -1,оставляющая на месте полюс ~, подобна подгруппе Н. Будем говорить, что полюсы Р, Рl, ...
,Рт - 1 образуют звезду эквивалентныхполюсов, порожденную полюсом Р. Ясно, что все ПOJIlOСЫ, составляющие звезду, имеют одинаковый порядок. Теперь легко получить связьмежду числом т полюсов в звезде и ИХ порядком n. В соответствиис (6.11) имеем:(6.12)mn=N,гдеN - порядок rpуппы G.Рассмотрим пары (Р,9), первый элемент которых обозначает поЛЮС, второй-преобразование, отличное от тождественного, оставляющее этот полюс на месте.
Подсчитаем число таких пар. это можносделать двумя способами. Так как каждое преобразованиеко два полюса, то искомое число равно9 имеет толь2(N - 1). С другой стороны,для каждой звезды эквивалентных полюсов число таких пар будег,очевидно, равно (nk - l)mk' где значок k нумерует различные звездыполюсов, принадлежащие группе G. Поэтому имеет место равенство(N - 1) . 2 = L:(n1c - l)mt.(6.13)kПринимая во внимание(6.12),получим2- ~N = L: (1 - ~).nk1с(6.14)Так как числа N и n не MOryr быть меньше 2, то сумма в правойчасти равенства (6.14) может содержать только два или три слагаемых.2.Классuфu"ация точечных групп71Поэтому точечная группа вращеНИЙ может иметь только две или тризвезды полюсов.Если J1)уппа имеет две звезды эквивалентных полюсов, то уравнение(6.14) преобразуется к виду21= п) + -.n2N(6.15)Единственным решением этого уравнения будет Rt= п2 = N.Числополюсов в каждой ИЗ двух звезд, согласно (6.12), равно 1, и, следовательно, всего имеем два пwпocа.
Соответствующая группа СП состоитиз поворотов вокруг одной оси на углыI' кратные 2к / N.Если J1)уппа имеет три звезды полюсов, то из (6.14) получаем211 + - == п)N11+ -п2 + -.п)(6.16)Очевидно, что по крайней мере одно из чисел п. должно бьпь равно 2.Действительно, если все n, были бы больше или равны 3, то суммав правой части (6.16) не моrла бы быть больше 1. Не нарушая общности,чrо п) ~ n2 ~ n). Следовательно, nt == 2. Такимбудем считать,образом, имеем122N-+-1= -7121 + -.ПзИз этого равенства следует, что П2 ~все решения уравнения3.(6.17)Теперь нетрудно перечислить(6.16):1.
nl =2,n2== 2,Пз= N/2,N -2. Пl =2,п2= 3,Rз= 3,N= 12;== 2,n2== 3,Пз== 4,N4. nl =2,П2= з,71)= 5,N=60.3.П!четное;== 24;(6.18)Первому решению coarвeтcтвyeт J1)yпnа симметрии правИJIЬНОЙп-yroльной призмы. Она имеет два полюса, через которые проходитось порядка R== N/2и две зве3ды полюсов поN/2полюса в каждой,через которые проходят оси второго порядка, перпендикулярныек осиnpизмы (J1)уппа п п ).Второе решение соответствует группе вращений тетраэдра (J1)УПпа Т): четыре оси третьего порядка и три оси второго порядка.Третье решение дает нам грyrшy вращеНИЙ куба или октаэдра(группа О): шесть осей второго порядка, четыре оси третьего порядкаи три оси четвертого порядка.Наконец, последнее решение соответствует J1)уппе додекаэдра илиикосаэдра (группа У): пятнадцатьосей второго порядка, соединяющих72ГлавасереДИНЫ ПРОТИВОПОЛОЖНЫХVI.Точечные группыребер, десять осей третьего порядка, соединяющих противоположные верпmны, и шесть осей пятого порядка,соединяющих середины противоположных rpaней додекаэдра.Таким образом, мы получаем классификацию всех конечных под.групп собственных ортогональных преобразований:СП-Dn-тОУ-группа.группагруппагруппагруппасимметриисимметриисимметриисимметриисимметрииправильной n-уголъной пирамиды,правильной n-угольной призмы, Nтетраэдра, N12;октаэдра, N == 24;икосаэдра и додекаэдра, N60.=N==-n;== 2п;=Проведем теперь классификацию всех несобственных точечных.групп.
Ясно, что собственные преобразования такой точечной .группыA 1,А 2 , ••• ,Aqобразуют одну из рассмотренных выше собственных.групп. Пусть В 1 , В 2 , ••• , Вр -совокупность всех несобственных npеобразований ДamIОЙ точечной rpуппыI. Очевидно, что число элементовв совокупностях А и В должно совпадать, т. е. р = q. действительно,А и В на mo6oй из несобственных элементов мы меняем эти совокупности местами. Еслисреди элементов В имеется инверсия i, то вся группа может бытьnpeдставлена в виде прямоro произведения А х I, где I - группаинверсии, которая СОСТОИ1' ИЗ двух элементов: Е и i. Если же средиэлементов В инверсии нет, то элементы В MOIyf бьпь представленыв виде ВiM, причем совокупности А и М образуют вместе одну из точечных групп G собст:венных преобразований, для которых.группа А нвляется подrpуппой индекса 2. IPуппы такого типа удобноумножением всех элементов совокупностей=(G,А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
