1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Двенадцать элементов группы - единИЧНЫЙ элемент, четыре поворота на 1[-,3.Henpивoдuмыe nредсmавленU1l точечных групп77четые поворота на ~ и три поворота на 11" - распадаются на четыекласса. Поэтому группа Т имеет четыре неприводимых представления,порядки которых удовлетворяют соотношению(3.81):12+12+12+з2=12.тЕ 3С2 4Сз 4Cj1111113 -16С= еТ.Здесь ЕIX.бой.24IPуппа О содержит все noвopoтыI' совмещающие куб сам с соэлемента этой группы распадаются на пять классов: элемент Е;три поворота на угол 1г вокруг осей, пр оходящих через середины проmвоположных граней; шесть поворотов на углы±.;. относительнотех'1fвоже осей; шесть поворотов на угол 11" вокруг осей, проходящих черезсередины противолежащих ребер; восемь поворотов на yroлкруг осей, проходящих через противолежащиевершины .куба.
Такимобразом, группа О имеет пять неприводимых представлений, порядкикоторых удовлетворяют12соотношению+ 12 + 22 + з2 + з2 = 24.Таблица характеров этих представлений имеет видОЕзсl6С46С28С)TcfЕЗС26846Ucf8езА111233112-1-11-11-1А2ЕFlF2ОО11-11-1-11ООх. IPуппа T d - группа симметрии тетраэдра. Она состоит из 24 элементов, распадающихся на пять классов. Кроме поворотов, входящихв rpуппу Т, группа Tcf содержит шеcrь ооражений в ПЛОСКОСТЯХ, проходящихчерез две вершиныи середину третьей стороны,и шестьзеркальных поворотов относительно трех осей второго порядка. Группа Ttl может бьпь представлена как пара (О, Т) И, следовательно, изоморфна группе о. Поэтому неприводимые представления этих группсовпanают, что ооражено в выше приведенной таБЛlЩе xapaкrepoB.78ГлаваXI.
Группа Ть == ТXII. Группа Oh -хVI.Точечные группыi.группа симметрии куба - представляет собойпрямое произведение группы О на IJ)yпnу инверсии:Поэтому группа ОЬ имеетОЬ==О х48элементов иI.(6.24)10неприводимыхnpeдСТ8влениЙ. IIять из них ЯВЛЯЮТСЯ прямым произведением матриц неnpиводимых представлений IJ)ynпы О на матрицы тождественногопредставления группыI I. эти представления, симметричные по 01110шению к инверсии, обозначаютчерез А g ), A~), E(g), F~), F~) или i ,i = 1, 2, ... , 5.irОстальные пять представлений получаем, умножая предcrавления IJ)уппыI О на антисимметричное представление IJ)уппы I.эти антисимметричныIeпо отношению к инверсии представления обо(а) А(и) Е(и) F(u) I:'(и)г'1, 2, ..• , 5 .значают через А l '2'' 1 ' .r 2или черезi, I -.-Мы не будем здесь останавливаться на описании неприводимыхпредставлений групп У и yhу х I ввиду их ограниченного приме=нения в физике.В захлючеЮlе этого параграфа приведем сводный список всех точечных rpупп.Собственные точечные группыСПDn ,Т,О,УНесобственные точечные группы= СП х Iпри n== Сп Х :с при nп пь == п n х :с при nD nd =Dn х I при nСпЬS2nThОЬчетном,нечетном,четном,нечетном,==Т ХI,=Ох I,СпА = (С2n, сп)S2n == (С2п, Сп)C nv = (п п , сп),Dnd = (D 2n , ю п )п пь == (D2n, D n)Td (О, Т)=приприприприnnnnнечетном,четном,четном,нечетном,~=YxI,Принимая во внимание изоморфизм IJ)УППЫ, предcrавляемой парой, первому компоненту пары и правило получения представленийIJ)УПП, имеющих структуру прямоro произведения, можно заключить,что для построения неприводимыхпредставленийвсех точечных rpyпnфактически достаточно знание неприводимых предстамений толькособственныIxточечных IJ)УПП.4.КлассифиК8ЦIIJI BopM8Jlьвых колебаНИЙи электроииых состояний молекулыВ предыдущей главе мы показали, что электронные состояния квантовомеханической системы, а также нормальные координаты системы,794.
КлаССUфUlCацUJI нормалЬНЫХ колебанuйсовершающей малые колебания, можно классифицироватьводи.мым представлениямпо неnpигрупп симметрии этих сиcreм.Рассмотрим задачу о классификации нормальных колебаний молекулы. Мы будем рассматривать молекулу как систему материальных Ч3cnщ (ядер), совершающих малые колебания orносительно положеНИЙравновесия, образующих некоторую симметричную к-онфиrypaцию. Мызнаем, что нормальные координатыI такой системы, соответствующиеодной собственной чacrоте, преобразуются по неприводимhIМ представлениям группыI симметрии,кулы.в нашем случае точечной группы молеПорядок вырождения частот равен порядку соответствующегонеприводимогопредстамения.для оnpeделеIfИЯнормальных координат и :кратностисвойств симметриивырождения собственных частотнадо представление п, по которому преобразуются составляющие смещеНИЙ частиц Xj, разложить на неnpиводимые части.
Мы знаем, чточисло, показывающее, сколько раз неприводимое представление мат-'рицами D(i) содержится в данном приводимомпредставлении,определяется по формуле(6.25)где X(i)(g) -характер неприводимоrо представления n(i) точечнойгруппы, кoroрый можно считать известным, х(о)мого представления, а т--характер npиводипорядок группы.как найти xapaкrepы приводимоro предстаWIеЮfЯ п, которое реализуется на смещениях Xi?Очевидно, для этого нам надо подсчитать следы матрИJ..J; преобразования смещений Zt, Х2, •.. ,ZЗN (N - число ядер молекулы) в смещеlfИSI ж'., Ж' 2, ...
,X~H при при:менениик ним операций 9 из группысимметрии молекулы. Вид матриц D Был определен нами в главе V(СМ. формулу(5.22»).при некоторомЕсли положение равновесия ядра «а- переходитпреобразованиидруroro, эквивалентного ему ядрасимметриив положение равновесия.6., то ясно, что на диагонали в строках иатрицыI представления,соотве']'ствующихсмещениям ядра .Р, МЫпалучим нули. OrличнhIЙ от нуля вклад дaдyr JПIШЬ те ядра) кaroрыепри этом преобразова.нЮfпереходят сами в себя.
При этом, если преобразование 9 представляет собой поворот на угол tp, то декартовы состав.ля:ющие смещения каждого из таких ядер будут npeобра.эовываться(с точностью до подобного преобразования)с помощью матрlЩЫcos tp sin tp О)-S~~~~ ~(след которой равен1 + 2 cos I(J.,(6.26)Глава80VI.Точечные группыдля зеркального поворота на уголвщcos tpf{J матрица преобразования имеетr.pSlП( '- Sln f{Jcos f{JОслед ее равен-1О)О(6.27);0-1+ 2 cos 'Р.Суммируя эти результаты, можно сделать захлючение, что характерпредставления, соответствуюш.ий элементуx(g) == ng(l + 2 cos 'Р),X(g) = ng(-l + 2 сos <р),9точечной группы, равенесли 9 - поворот,9 - зеркальныйеслиповорот,}(6.28)rдe Пg число ядер, остающихся на месте при рассматриваемом преобразовании g. Подставляя эти выражения для характеров в формулумы ВЫЯСНИМ, по :каким приводимыM предстзвлениям точечной(6.25),группы преобразуются нормальные координаты1 рассматриваемой молекулы. Зная порядок каждого неприводимоrо представления, опредеJШМпорядки вырождения собственных частот.Среди рассмотренных ЗN степеней свободы три степени свободыописываютБоды-поступательноедвижениемолекулыIитристепенисвовращение молекулыI как целого.
Так как мы расема1])иваеммалые смещения ядер,то соответственно мыимееМ малое поступательное движение и малый поворor МWlекуЛhl. эти степени свободыи соответствующие им предстамения должны быть исключены из наmeroрассмОТреНИЯ. Смещения ядер молекулы, coorвeтствующие этимстепеням свободы, могут быть представлены в видеr.=ar. = [<p~O)]где а-(поступательное движение),(малый поворот),вектор поступательного смещения;малого поворота относительно оси,VJ -аксиалънhIЙ векторпроходящей через начало коор-динат; вектор В!О) определяет положение равновесия i-ro ядра.
Составляющие векторов аиtpможнорассматриватькак нормальныекоординаты, соответствующие поступательному движению и поворoryмолекулы как целого. При преобразованиях вращения вектор а и вектор tp преобразуются :как обычные векторы трехмерного пространства.Характеры соответствующих матриц преобраэования равны11 + 2 cos 'Р.При зеркальном повороте характеры преобразований векторов а и <рсоответственноравны-1 + 2cosf{J-1 - 2costp(для вектора а),(для аксиального вектора <р).Упражнения81Если учесть эти замечания, то для характера представления, котороесоответствует только колебательным степеням свободы' мы получаемX(g) = (n g - 2)(1 + 2 cos tp), если 9 - поворот,}X(g) == n g ( -1 + 2 cos tp),если 9 - зеркальный поворот.(6 29)·Теперь вкраще остановимся на вопросе о классификаuии элекtpoнных состояний молекулы..Если написать уравнение Шрёдинreра для молехуJIы' сЧ'И't8Jr ядрафиксированнhIМИ В положениях равновеСИЯ tто можно утверждать,'ПО собственные функции этого уравнения, т.
е. многоэлектронныеВOJПiовые функции, принадлежащие одному собственному эиаЧeRИЮ,преобразуются по неприводимому представ.лению точечной фYJU1'Ымалехулы. Кратность вырождения электронных уровней дOJDlblа бытьравна порядку неприводимоro представления. Так, например, молекула NН з с симметрией СЗtJ имеет только или простые, или двухратновырожденные электронные уровни.Здесь мыI ограничимся этим общим замечанием; конкретное применение теории представлеНИЙ точечных групп к задаче рассмотренияэлектронных состояний молекулы связано с введением некоторых приближений.
Мы вернемся к этому вопросу в следующей главе.УпражнеИИR6.1.Определить ТИПЫ симметрии нормальных координат и вырождениесобственных частот для молекуJIы NН з , имеющей симметрию СЗfJ (рис. 2).NнннРвс.2.6.2.пы о•.Написать табmщy характеров неприводимых представ.ленИЙ групГлаваVIIРазложение прнводимоroпредставленияна неприводимыев предыдущей главе мы научилисъ определять неприводимыIe предсrавления,по KOТOPЫ~! должныпреобразовыватьсянормальныекоординаты симметричной молекулыI. Однако во многих задачах необходИмо тaICЖе знать явные выражения этих нормальнъlX координатчерез смещения .ядер. Задача определения HopMaJIьных координат значительно упрощается, если мы предварительно из смещений Xi ядерПOClp()ИМ симметризованныесмещения, Т. е.
найдем линейные комбиц~ смещений, преобразующиеся по неприводимым предста.влени~"f,Р~евидно, набор таких линейных комбинаШlЙ, соответствующиходному неприводимомупредставлению, определяет некоторое инвариантное подпространствов пространствепеременныхХ;. Таким образом,мы дoJDкны разложить базисное пространство некотороro приводимоroпредставления на подпространства, неПРИВQДИМЫе относительнопРеОбразований группы симметрии системы. Аналоrичная задача возникает в квантовой механике при построении приближенныхволновыхфунКЦИЙ молекул. Покажем, как решается эта задача. Наше рассмотрение имеет общий характер, т.
е. относится не только к точечным,но и к любым конечным группам.1.Построение базисов неприводимых предстзвлевийПусть совокупность элементов {'Фi} (ВOJПfОВЫХ функций или смещений) образует базис некотороro приводимого представления D группы а. Выберем из этого базиса один элемент, например 'Фl, и при-меним к нему все операции Tg , соответствующие преобразованиям 9из грулпыI G. Тогда мы получим цепочку элементов, преобразующихсядруг через друга.
Затем из совокупности {'Фi} элементов выберем элемент, который не содержится в этой цепочке (или, точнее, выберемэлемент базиса, который был бы линейно независимым от элементовпостроенной цепочки). По этому новому элементу аналогично построим вторую цепочку и т.д.Таким образом, мы получим некоторое предварительное разложеD. Это не будет полным разложением,так как npeдние предсга.вленияставлеЮlе, реализующеесяв цепочке, вообще говоря, является приводимым. Поэтому теперь задача сводится к разложению представлений,1.Построение базисов Henpи80дuмых nредставлений83ре8JПIзующихся В цепочках. Из построения цепочек следует, что такиепредставления не могут бытъ шире регулярного (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
