1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Выберем в пространстве (1 предста.мения D те орты, на которых реализуется одно и то же представление Г. ГРУПIIhI Та. Обозначим через (1" линейное подпространство, образованное этими ортами.Если к JOO60МУ BeIcrOpy подпространства (1. применить преобразованиеиз группы Н,,, 1'0 мы опять должны получить вектор, принадлежащий (1•• На основании этого можно заключить, что в пространстве (1.должно реализоваться некоторое представление r гpyrmы нАналогичным образом из базисноro пространства (1 представления D мож•.но выделить ПО'nпрос1ранства (1",., В каждом из которых реализуютсяпредставлениягруппы соответствующеговектора. Каждое из подnростpaнcrв(1.,может быть получено из подпространствас помощью(1.операций 9i.
Ясно таюке, что в каждом из подпространств (1., реализуются эквивалентныeпредставленияизоморфных грYJП1 Н",.Покажем теперь, что из неприводимостипредставления D въпекает,что в каждом из подпространств(1".реализуется Также неприводимое представление группы соответствующего вектораki.Действительно, предположим противное, Т. е. будем считать, что в пространстве (1. можно выдеJППЪ подпространство (1,,1, инвариантное относительно группыI Н". Подействуем на (1.' операциямиЬ. (i == 1, 2, ...
, т).Тогда мы получим подпространстваи~= b;(1~.(8.32)Покажем, что тогда прямая сумма этих пoдnpocтpaнств(11= (1~1 е 0'~2 ЕВ ... ЕВ (1~..(8.33)инвариaнm:а относительно всей npocтpанственной группыэлемент группыGсогласно(8.30) может быть9 = 9i h., h. Е Н..G.Любойпредставлен в виде(8.34)Тогда мы имеемbjh,,(1~= gjh"b;(1~ = blh~(1.' =(8.35)(1.,.Таким образом, при преобразованиях из rpynпыGкаждое из подпространетв (1~ переходит либо само в себя, либо в какое-нибудьдругое подпространство (1~, и пространство(1'оказывается инвариaнтным относительно преобразований из группыстороны, пространствопредставленияD,(11G.Но, с другойявляется подnространствомпространства qкоторое мы считаем неприводимым.
Orcюда следует, что в каждом подпространстве (1",может реализоваться только8. HenpиBoдuм.ыe nредсmавлЩtUR группы вектора k103D1cнеприводимое представление rpyrmыI Н., т. е. представлениепри водим о. Таким образом, мы приходим к результату,неприводимоепредставлениеопределяетсязвездойнечто каждоевектораkи не-которым неприводимым npeдставлением г(о) ФYIПIы Н1сBOJDfOBOroвектора.
эти неприводимые представления пространствеиной грyпnыIбудем обозначать D~Q). Очевидно, порядок п1са представления o )niравен произведению порядка Па неприводимого преДСТ8мения г(а)группы волнового вектора на m число векторов в звезде: П1сапот.=8.Неприводимые представлеиlUl группы вектора 1сМы еще должны ВhIЯснить вопрос, какие неприводимые представления г(а) группы вектора Н1с MOryт реализоваться в пространстве(11:.Оказывается, что на возможные неприводимые представления группы Н1с дОЛЖНЫ бwтъ наложены некоторые ограничения.
Действительно, в группу волнового вектора входят преобразования трансляцийна векторы решстхи. По определению все подnространcrво (11с состоит из собственных векторов транСЛЯЦИЙ t o с собственным значениемехр i(ka). Поэтому матрица представления,соответствующаятрансляЦИИ, должна иметь видr(a)(t о ) -- ei(h) Епо'(8.36)гдеE na - единичная матрица. Таким образом, допуетимы:ми неприводимыми представлениями г(а) группы Н1с будуг лишь те, в которыхтрансляциям на вектор а соответствуют матрицы (8.36). Такие непри ...водимые представления группы Н" мы будем называть нор.мальны.м •.Нормальные неприводимыепредставленияЛегко определить, когдапространственная группа не содержит поворотов с несобственнымитрансляциями t a • Тогда группа Н1с состоит из всевозможных произведений элементов группы То и точечной группы F", которая в своюочередь состоит из тех элементов точечной rpyrшы F, которые остаВЛЯЮТ инвариантным вектор k.
Так как все вeIcr'Opbl пространства (11сЯWlЯются собственнымJIвекторамиоперацийтранCЛJIЦИИс ОДНИМ и темже собственнымзначением,то ИЗ неприводимости представленияотносwreльно группы Н. следует неприводимость относительно точечнойrpyrmыI F". Таким образом, классификация нормальных неприводимых представлений rpyпnы Н. в рассмооренном случае проводитсяпо неприводимым представлениям точечной rpynnы Ft .9.ПримерПрежде чем переходить к рассмотрениюпыG,пространственнойгрупсодержащей несобственные трансляции, мы npоиллюстрируемвведенные понятия на простейшем примере пространственной группыГлава104VIII.Просmрансmвенные группыодноатомногоКРИСТ3.JШас квадратнойрешеткой. В этом случае точечной группойFбудет группа п 4 , имеющая восемь элементов (см.
главуVI),зоной Бри;шюэна будетквадрат со стороной 2~ (аО'•1ностью определяет свою звезду, то дJIЯ классификации••Рис.- постояннаярешетки КРИСТ8JUlа). Так как вектор k полнеприводимbIXпредставленийПроСТРЗНC11JеЮfОЙ группы достаточно рас-смотреть А этого квадрата (рис. 11).Рассмотрим сначала вeкrop k,11.не связанный с элементамисимметрии зоны Бри-ллюэна (например, вектор ОА). Применяя к такому вектору преобразования, входящие в группуиз BOCЬ~ векторов(рис.D4,мы получим звезду, состоящуюОчевидно,12).группа F1спреобразованийиз п4, оставляющих этот вектор k инвариантным, содержит толькоодин элемент Е и группа Н1с в данном случае совпадает с группойтрансляций то. Данному вeICГOpy k соответствует одно неприводимоепредставление D1I1 групnыI G восьмого порядка.
В этом предстаWIении матрицы, соответствующие транCJIJlЦИЯМ t o будуг диагональны:элементами их будуг expi(kjo),дыI.. Преобразования из группы= 1,2, ... ,8jF(k -векторы звезпроизводят перестановку ортовбазиса предстаWIения; поэтому матрицы, соответствующие этим преобразованиим, имеют только по одному элементу (недиагоналъному),отличному от нуля и равному единице..Теперь рассмотрим векторk,конец которою лежит на оси симметрии (например, вектор ОВ на рис. 11).
В этом случае группа F 1cсодержит кроме тождественногоэлемента Е еще одну операцию(11/(отражение в плоскости XZ) и изоморфна группе С2, имеющей дванеприводимыхпредставленияпервого порядка. Звезда вектора k состоит из четырех векторов (ри~. 12, б). Orметим, что из четырех векторовбудет также состОять звезда вектора, оканчивающеrocя на границе зоныБриллюэна (например, вектора ОС·на рис. 11).
Остальные четыре веКтора, по.лучающиеся при применении к вектору ОС преобразова.ниЙиз группыD4, будуг эквивалентны приведенным на рисунке. РасCMaтp~MOМY вектору k будуг соответствовать два неприводимыхпредставления четвеlЛоro порядка: D~l) и Df>. В этих npeДСТ8WIенияхматрицы,соответcrвующиетранСЛЯЦИЯМ,матриu в Э'IИX представленияхMOryrсовпадают;элементы другихотличаться только знаком.Наконец, для вектора k = О грyrша F 1c совпадает с D 4 Поэтомувектору kО соответствует столысо раз.личны:х неприводимых пред0=ставлений D~O> , сколько их имеется у rpyrmbl D4 (четыре предстаWIения10.HenpивoдuMыe npeдстаВЛeJlWl пространетвенной группы-+- +----k-б)а)Ркс.105в)lZ.первого и одно второго порядка).
Порядки npeдставлений D~a) будyrсовпадать с порядками предcrавлеНИЙ группы D 4 • Трансляциям t oв представлениях D~a) соответствуют единичные ма1рИUЫ; D~a) (В) совпадают с соответствующими матрицами неnpиводимblX представленийгруппы п 4 • Очевидно, тождественным предста.влеНием npocтpaHcтвeHной группы будет одно из неприводим:ых представлений, cooтвeтcrвyющих 'е=0.10.Неприводимые представленlUI прострав~ввойrpуппы, содержащей иесобствеllllWе траиCJUIЦIIIIРассмотрим теперь случай, когда группа вектора k содержит несобственные трансляции.
Осложнение, которое возникает эдесь, связаносreM,что преобразованияRt oне образyюr групn:ы: произведениедвух таких элементов может содержать .трансляцию на вектор решетки. Однако, как мы сейчас увидим' классификация неnpиводимыхпредставлений грynПhI Н1с , Korдa вектор t лежит внутри приведеJПIОЙ3оиы Брилл:юэна, также проводится по непривоДИМhlм представлениямточечной группы FI:. Между npeдставлениями групп Н1с и Р" в этомслучае можно установить однозначное соответствие. Пуcrь r(h) матрица представления :группы Н", соответствующая элементу htotoR е Н1с • Покажем, что матрицы=(8.37)f(R) = r(h)e-·[I:(o+o))дают представление групnыI Р•.
ДействJПeЛЬНО,мы имеемf(R 1)f(R2) = r(h 1)r(h2)e -i[''(ОJ+Оl))е -а[''(1I 2 +О 2 )).(8.38)Далее,r(h]h 2)= r(tOltOlR]tfJ2t02R2) = r(tO(tO}tRa2tRa2R]R2) == f(RIR2)ei[I:(Ol+01+RIQ2+RI02)).Подставляя(8.39)f(R 1)f(R2)== f(RIR2)еi(~(Rl(J2+RlQ2)I-i[k(О2+02)] =в(8.38),(8.39)получим=f(R 1 R2)ei (R1 i-",О2+ 0 2).1(8.40)Глава106Так как векторkVIII.Просmрансmвенные группыпо условию лежит внугри приведенной зоны Бриллюэна t а преобразование В 1 ЕF1c ,1'0(8.41)и окончательно мы получаем(8.42)Наобоpar, можно показать, что по любому представлению группыможно построить С помощью соотношения(8.37)FIcпредстаWIение группы Н". Существование такой взаимно однозначной связи между предСТ8WIениями приводит к 1'Ому, что если предстаWIение f(R) неприводимо, то r(h) таюке неприводимо.
Подчеркнем еще раз, что всепроведенное здесь рассмотрение справедливо лишь для вектора k,лежащего внугри зоны Бриллюэна.Пусть теперь вектор k лежит на поверхности приведенной зоныБРИJDIЮэна. Тогда в группе Н. обязательно содержатся такие преобразования, которые переводят вектор k в вектор, отличающийсяот k на вектор обратной решетки. Поэтому формулав этом случае несправедливоЙ.Если векторk(8.41)оказываетсялежит на поверхности зоны БРИJШЮэна, 1'0 он либо равен рациональной части вектораобраmой решетки) либо может быть разложен на ДlJa вектора, одиниз КОО'ОрЫХ - рациональная часть вектора обратной решетки, а второйлежит внугри зоны БрИЛJllOЭна. Рассмотрим отдельно эти два случая.а) 1с-рациональная часть вектора обратной решетки.
В этом случае обязательно существуют три uел:ы:х числа 1I}, 112, 1Iз такие, чтоr(t::+ 1)=Е(практически каждое из чисел 11; не больше(8.43)3).Сооmошение(8.43)является следствием того, что матрицы нормального представлеЮlЯ Ггруппы Н" имеют видr(t o ) = ei (1co) Е.(8.44)Построим абелеву группу ТR1R2П3' roмоморфную группе трансляций То. Элементы т группы Тnln2QЗ мы определим в виде". _ 1"51".52".5з, -1 '2 '3 ,где 8}, 82, 8з ПРИНИМают значения соответствеЮlО от~ элементе, где е единичныи- 1, 2) 3 ,причем 1"in.+1 -,· -1до 11.+ 1,vэтоигpyпnыI.Соответсгвие между элементами этих групп определим следующимобразом:(8.45)Упражнениягдеl -107произвольное целое число.
Важно то, что в случае(8.43)нормальные представления rpуппы Н1с изоморфны представленилм tpyП-пы Н1с, которая состоит из всевозможных произведений элементов toRи Tl~lr;2r;3. Поэтому, для того чтобы найти неприводимые представления группы Н1с ,нужно найти все неприводимыe представлениягруппы iil: и из них отобрать те, у которых матрицы, соответствующиеэлементам Тl, 'Т2) Тз, имеют вид (8.44).б) Пусть теперь k == k]k 2 , где k]+обратной решетки, а векторk2- рациональная часть векторалежит внутри зоны БРИJIЛIOэна.
В этомслучае для нахождения неприводимых представлений труппы Н1с поступаем следующим образом. Находим три наименьших целых числаn2,nl,ПЗ таких, что(8.46)Строим конечную rpуппу Й1с1 (гомоморфную группе Н1с ), в которойэлементам Т; соответствуют элементы t01(tOI)(DI+1)l. Тогда можно 00казать, что неnpиводимые представлении rpyrm Ёl1cl И Н1с связаныформулойгде представлениеr должно обладать тем свойством, что его матрицы,соотвествующие элементам Tj, должны иметь вид (8.44).УпражнеНJUI8.1.Доказать, что подrpynпа транCJIЯЦИЙ ЯВЛJIстся нормальным делителемпространственной rpynпы.8.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
