1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Если(10.1)то(10.2)Функции <Р1с, определяющие закон умножения в группе, предполагаются дифференцируемыми по всем своим аргументам. Кроме того,на них должны быть наложены определенныe ограничения, обусловлеlШые общими групповыми постулатами. Рассматриваемые намигpynIIЫ линеЙНЫХ преобразованиА,удовлетворяющиеперечисленнымтребованиям, принадлежат к классу непрерывных групп Ли.
Если параметры (Ж& изменяются внекоторой Оlpaниченной области т-мерногопространства, то группу называют компактной.ПереЧИCJIИМ некоторые грyrшы Ли линеЙНЫХ npeобразов3НИЙ:1)Полная линейная группаGL(n)состоит из неосоБых комплекс-ных матриц порядка n. Элементы этой группы зависят от 2n2 вещественных параметров.2)Унимодулярная группаSL(n)состоит из всех комплексных матриц n-го порядка, определитель которых равен 1. для этой группыr 2n 2 - 2.
Ее вещественная подгруппа зависит от n 2 - 1 параметров.=З) Унитарная группа и(n) состоит из унитарных матриц n-го по-рядка. Так как на элементы унитарной матрицы накладываются n 2условий ортогоналъности и нормировки, то число параметров, оnpe-деляющихпроиэвольнblЙ элемент группы и(n), равно 2n 2 - n 2 = n 2 •2.Общие свойства групп ЛиУнитарная rpуппа является компактной,модулей элементов унитарной матрицы119поскольку сумма :квадратовn-roпорядка равнаn.Преобразования из унитарной группы сохраняют неизменной квадратичную форму+ :1:2%2 + ... + ЖпХ n ·Zl%l4) Унитарная унимодулярная группа ви(n) является подгруппойгруппы и(n); она состоит из унитарных матриu с определителем,равным 1. Число ее параметров r = n 2 - 1.5) Ортоroнальная группа О(n) ЯW1Яется вещественной подrpуппойгруппы U (n). На элементы ПРОИЗВOJIЬной ортогональной матрицынакладываются n + n(n2-1) условий ортоroнальности и норМИровки.Поэтому число параметров в этой группе равно П(n2-1).
Определительортоroналъной матрицы равен 1 или -1.6)Группа врашений О+(n) состоит из ортогональных матриц n-гопорядкас определителем,paBныMв этой группе также равноприложений представляетгруппа2.1. Ясно, что число параметровОсобый интерес для физическихn(R -1).20+-(3)трехмерных вращеНИЙ.Общие свойства rpупп ЛиРассмотримrpynпуGлинейных преобразований с матричнымиэлементами g.k = 9.i(al, 02,··· ,Or)" Введем в рассмотрение nPОизводные от этих матриu по параметрам О, в точке akО (k = 1,2, ... ,r),т.
е. введем матрицыIz=с элементами9ak{I,}.t = ( 8да, ) о·Матрицыl,(10.3)мы будем называть uнфинитеэuмальныAIuматрШJ;aмJI группы G 1).каждый элемент матрицы9мы можем разложить в ряд по степеНJIМ а•. Удерживая в этих разложениях только линеЙНЫе ОТНосительно й& члены, мы сможем представить общий элемент группыв окрестности единичноro элемента rpуппы в видеr9==Е+ Earll.(10.4)1=1В выборе параметров группы: имеется известный произвол. Деймы всегда можем перейти к новым параметрам, взявствительно,J)в литературеleNepDmopblдля инфинитезимaJIЬньn.ма'фИЦ также упorpeбляетсятермин120Глава Х. Непрерывные группыв качестве их любые однозначные ФyнКI.UfИ параметров Ql,""QI= al(al'а,:а2,"" a r ),I Iдля которых функциональныйопределитель ~ f:.
О. в часпlOСТИ,еCJПI каждый ИЗ параметров а. умножить на числоAi,Т. е. положитьто для новых инфинитезимальных матриц, соответствующих параметрамai,мы получим1li = -1;.А.в общем случае мы будем иметьZ= ~lj (8~~)да, о.(10.5)JСоставим теперь сопряженный с 9' элемент gg'g -1 группы. ЕсJПIбесконечно малое преобразование91 -(10.4), то с точностью до линейных членов по ai мы можем написатьrg9'g-1 = Е + ~9I,g-la,.(10.6)'=1Мы видим, что преобразование gg'g-J можно характеризоватьтеми жезначениями пара.метров lI" ЧТО И преобразование g', если в качествеинфинитезимальных матриц выбрать матрицы--111 == 91'9 .Преобразованию(10.6)согласно(10.2),(10.7)очевидно, соответствует следующее преобразование параметров:аА:где'1и= ср,,(1';ср(а,1),7 обозначают совокупности значений параметрО8, соответствующих матрицам 9 и g-I.
Предположимтеперь, что параметры l' такжеЯВЛЯЮТСЯ малыми :величинами. Тогда с точностью до членов болеевысокого порядка малОСТИ поl'мы можем написать(10.8)2.ПодставляяОбщие свойства групп Ли121(10.8) в (10.7), получимt = I s + L(I1;:I, k1,11с)'У" ++ члены,содержащие более высокие степениВ левой части этого равенства согласно(10.5)'Yk.(10.9)стоит линейная комбинация инфинитезимальных матриц.
Поэтому в силу независим:остичленов с разными степенями параметров 'У" мы можем угверждатъ, чтокоммугатор11;:1, - I~Jk также есть линейная комбинация инфинитезима.льных матриц. Таким образом, мы имеем1,,1, - 1,1/с=L, c/cs,I,.(10.10)Коэффициенты сkгl называют структурными nостояннымu группы.Инфинитезимальные матрицы однозначно определяют группу, т. е.,зная эти матрицы, МhI можем определить любой конечный элементгpyrmы. Справедливость этого утверждения мы покажем для тогослучая, когда элемент rpyID1ыI матрlЩ О(О1, а2,...,о,) одновременно является элементом однопараметрической подгруппы этой rpуп-nы1).Итак, рассмотрим однопараметрическую подгруппу rpуппы а.g, параметры которыхЕе образует некоторая совокупность матрицMOryr рассматриваться как диффереJЩируемые функции паР~'\fетра(J : о,= а, (8).
Параметр 8 предполагаем выбранным таким образом, чтоg(8 1)g(82) = о(8 1 + 82),(10.11)g(O) = Е.(10.12)ПродиффереlЩируемзатем8} ==О,82 = 8.обе части равенства (10.11) по 81 И ПQЛожимТогда получимdgd8= 1'0(8),(10.13)где 1, = (~) 1",0 есть инфинитезимальнаяматрица, соответствующаяпараметру8. Уравнение (10.13) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений для элемеJfiОВ матрицы о(8) ,которая имеет единственное решение,условиюо(8)1)удовлетворяющееначальному(10.12). это решение можно записать в виде= expI,(J,(10.14)В теории непрерывнIx rpyrm доказывается, что любой элемент rpуппы либоявляется элемеmoм однопараМе'1'Рической подI'pym1ы' либо может быть представленкак произведение таких ЭJIе:ментов (см., например, Л.
Эй3енхарm. Непрерывные rpyJIIIыпреобразований. ил. 1947, rл. 1).Глава х. Непрерывные группы122где через ехр 1е (} обозначен рядехр 1е 813= Е + [е(} + 21 (1е 8 ) 2 + 3i(1е 8) +...(10.15)Используя формулу (10.5), мы можем написать1, =~ I; c:~)8=0 'откуда9(8)=eXPI8 8=exptI,(da;)d81;=1(10.14а)8.8=0Полученные нами результаты (форму.лы: (10.10) и (10.14)) относилиськ элементам сруnnы линейнbIX преобразованиЙ. Очевидно, что онисправедливы также для moбой грYJПIЫ матрицстав.цение .группыG.D(g) ,дающих предИнфинитезималъные матрицы представленияDопределяются по формулеА,д= -да,D (а1' а2,...
, ar)la~O.(10.16)для инфинитезималъных матриц предстаШIения ВЫПOJПlЯIOТCЯ те жепереcrановочные соотношения, что и для инфинитезималъных матрицГРYJПIы. Это объясняется тем, что cТPYКТYPНble постояюlыe группыоднозначно определяются законом группового умножения(10.2), который одинаков для группы и для всех ее предстаШIеЮlЙ.Некоторые из свойств представлений конечных групп, рассмотренных в предыдущих главах (например, леммы Шура), не были связанъlс конечностью грynпыI и поэтому справедливы также и для бесконечныхгрупп. Однако доказательство унитарности представлений, свойстваортоroнальности матричных элементов неприводимых представленийивсевытекающие из них следствияоснованы на возможности суммирования по ГРYJПIе, которое бьшо определено нами для конечныхIpупп.
для непрерывных групп суммирование по группе должно бытьзаменено интегрированием по параметрам .группы. Оказывается, чтоинтегрирование по ГРYJПIе можно ввести только для KOMnaКТНbIX групп.Поэтому упомянутые выше свойства конечных групп MOryr бьпь распространены только на компaкrные ГРYJПIЫ.3.иифинIпезим8Jlыlыe преобразовавиии законы сохранениив главеV Мы выяснили, что условие инвариантности физическойсистемы относительно преобразований ее группы симметрии G можетИнфuнumезuмальnые nреобразованuя и законы сохранения3.быть записано в видент,= ifgii123(10.17)или в матричной форме:HD(g) = D(g)H.Здесьfi -(10.17a)оператор Гамильтона системы, Tgэлемент групIIыG, а D(g) - матрица предстаWIенияоператоров, изоморфной групnегруппыG.Если группа преобразований G есть непрерывная группа, то Д)IЯ тоГО, чтобы вьmолнялось условие (10.17), необходимо и достаточно,чтобы вьmолнялось условиеНА.= AiH,(10.18)где А а - инфинитези!tdзльные ~fатрицыI представления группы G.
Необходимость этого условия очевидна: если для всех элементов группыI Gвыполняется условие (10.17), то в силу определения инфинитезималъных матриц Ai условие (10.18) также ВЫПQЛняется. Легко убедитьсяи в достаточности условия (10.18). Мы показали справедливость формул (10.14). Поэтому, если выполняется условие (10.18), т. е. Н коммутирует с матрицами А;, то Н коммyrирует также со всеми членамиряда.
сoorвeтcтвующего ПРОИЗВ01Iьному элементу группыG.=Вместо инфинитезималънbIX матриц А] введем матрицы В;-iАj.Докажем, что если представление унитарно, то матрицы Bj эрмитовы.Действительно, напишем условие унитарности представленияD(g)с точностью до членов, линеЙНЫХ по параметрам группы. мы получимЕ = D+(g)D(g) = (Е - i LBjaj) (Е + i L Bjaj),j1откуда находимLaj(B;-Вj) =0jИЛИ, В СИJIУ независимости параметровllj,в; == Bj.Эрмитовы матрицы1j1j(10.19)также коммyrируют с матрицей Н:НВ; =BjH.(10.18а)В квантовой механике эрмитовы матрицы или операторы сопоставляются физическим величинам, а соотношение коммутации (10.18а)означает, что соответствующая физическая величина является интегралом двИжения. Таким образом, законы сохранения в квантовоймеханике можно рассматривать как следствие симметрии гамильтони",ана относительнонекоторой непрерывнойcpyrnIы преобразоваНИЙ.Глава Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
