1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 24
Текст из файла (страница 24)
(12.29)... D(li-i'l)в некоторых задачах приходится рассматриватьпроизведениенедвух, а трех неnpиводимых предстаВJlеНИЙ D(jl) х D(2) х v Uз ) , котороереализуется в пространстве R = Rjl Х Rjl Х Rj]. При построении канонического базиса в этом пространстве мы можем сначала построитьканонические орты т~~~) В пространстве Rjl х R;2 И затем комбинировать их с ортами w~~) пространства R j ]. Полученныетаким образом12oprы обозначим через)j).
Однако можно было избрать и друwWгой пугъ построения канонического базиса в1)таблицы коэффициентов Вигнера СМ. в (5), с.468.R.Сначала построимГлава144XII.Своиства представлении группы 8]Ющенuйорты w~~~) и затем будем комбинировать их с ортами tD~~). В результате мы получим орты 'lD~э)j). Ясно, что орты 'lD~'2)j) являютсялинейной комбинацией ортов w~13)j):= ~ иlЗ2 (j12)3зi I ;132i3(;2з)i)'U1~2З)j).w~j'2)j)(12.30);23Коэффициенты (jl;2(j12)jзiI jl;23з(i2з)j)называют коэффициентамиРака. Можно показать, чтоIJli2(jI2)jзз r ilj2;з(i2З);) ===ffll3.~,.(I,i2112) ,.(/121з;) rУ2iэi2З) ,.UJ2Зi)"'m,m2ffl12 "'т12 т э m "'т2mзт2З "'Т1It m 23 ffl •( 12.31)~·m2+mз=тТенэорные и спинорные представленияrpуппы вращенийВведем понятие тензора n-го ранга в трехмерном пространстве.
Мыбудем говорить, что нам задан mензор n-го ранта, если в каждой ортогональной системе координат определена совокупность ЭВ чиселTiti2 ...i.,которая при переходе от одной системы координат к другой преобразуется по закону333~i; ...i~ == ~ ~ ... ~ 9i;i 19i;i2 ••• 9i~if8Тi,i2...i.)ё, =1где матрицаi2 ==1119.,11 связывает(12.32)i.=1орты «старой)) И «новой)) систем координат:3e~ = ~9tie".(12.33)"=1мы видим, что матрица преобразования компонент тензора совпадаетс матрицей представления,nкоторое является прямым npoизведением«BeктopHых> представлений.
Такое представленttе мы будем называть тенз0рным представлением n-го ранга. Тенэорные представленияЯВЛЯЮТСЯ, конечно, приводимыи.. Разложение ею на неприводимыIeпредставления можно получить по правилу Клебша-Гордана. Тензорное представление любого paнra является однозначны•.Аналогично можно ввести понятие спинора n-го ранга и спинорного представления rpynnы вращений. В то время как при определении тензорноro предстамения основным было векторное предстаWIение (12.33), определение спинорного представления основанона двузначном неприводимом предстаWIении D(I/2).
Матрица этого3.ТеНЗ0рные и спинорные представления группы вращенийпредставления, выраженная через углы: Эйлера, имеет вид (см.(:~: :~~) = (_~ ~),145(11.38»):(12.34)где8 i~Q= ± COS"2 e• • 8 i~13·= =F I sm"2e2 ,2 ·Мы будем говорить, что нам задан спинор n-го paнra, если в каждойnоprоrональной системе координат определена совокупность 2 KO~IWIeKCHhIX чисел х;\l А 2 ....\а (Лi == 1,2), которые при переходе от однойсистемы координат к другой преобразуютсяпо законуl)(12.35)ЭтотзаконпреобразованияопределяетпредставлениегрYJПIЫвраn неприводимыхпредставлений D(I/2). Такое представление мы будем называть спищений,котороеявляетсяпрямымпроизведениемнорным предcrавлением n-го ранга. Разложение спинорноro предcrавления на неприводи:мые также можно найти с помощью правилаКлебша-Гордана, установленного в предыдущем пункте.
Ясно, чтоспиноры четного ранта преобразуютсяпо однозначным представлениям, а СI1Иноры нечетного ранга-по двузначным.Так как матрица преобразования(12.35)может быть записана в видепрямоro произведения n матрlЩ 11 Qii 11 представления n(l/2):(12.36)то инфинитезимальныематрlЩЫспинорногопредставленияпредставить в следующей форме (ср. с формулойAi = "L...J ~где АГ/2 )ления-n(l/2),х в;. х...х ~ ХАО/2)iможно(12.23»):Х Е2 Х ••• х Е2,(12.37)инфинитезималъные матрlЩЫ неприводимого представа суммирование проводится по всем паложениям этогомножителя в произведении.Введем сnинор Х 11 -'2 ... la' у которого в данной системе координатотлична от нуля только одна компонентаX11 "2".A.
•1) Формула (12.35) определяет Э8JCон преобразоваиия контравариаН'ПIОro СШfнора. Наряду С коmpaвaриантны.мСПШlоромвводитсяпреобразования lCOТOporo получается изныe величины (см. п.4).(12.35)понятисковариантноrо..спинора)З8ICOнзаменой а",.;\ на XQШIЛехсно сопряжен-Глава146XII.Свойства представлении группы вращенииРассмагрим действие на такой спинор ИНФЮfИтезимальной матрицы Нз=:iАз . Напомним, что матрJЩа iA~1/2) имеет вид(~ 1о )·.A(1/2) _3-IО(12.38)-2Учитывая это, мы получимНЗХАIА2 ..-'-(~ - ~)=XA1 A:2. -'-)(12.39)где р - число значков данной компоненты спинора, равных 1, а q число значков, равных 2.
Если вместо индексов Лj ввести индексы110'. == 2' -2'то мы сможем написатьНЗ Х U 1(12 • ••(1.= (0'1 + + ... + O'n)X(12U I(12 ••• U o.(12.40)Таким образом, спинор XU'1(12 •••(1. является собственным спиноромматрJЩЫ Нз, соответствующимсобственномузначению,равномусуммеспинорных значков4.(J'i.Комплексно сопряжеllRЫе представленияМы будем говорить, что нам задан j -ве"тор, если каждой ортогональной системе координат сопоставлена совокупность 2j 1 чисел {т,т= -j, - j++ 1, ... , j, которые при переходе от одной системы координат К другой преобразуютсяпо законуj,{т='L..J"'и)Dmml(Ql,а2, Qз){т' ,(12.41)т'=-;где IID~~,II - матриuы неприводимоro представления.
Сопоставимтеперь каждой системе координат совокупность комrшексно сопряженных чисел (т, где {:п определены формулами (12.41). Ясно, чточисла {:п и {т связаны С помощью комrшексно сопряженных матрlЩ:j~"nU)-{т = L...J Dmm'{m'.(12.42)т=-;Матрицы ijU), 1ЗК же каК и матрицыD(j),образуют предстааление группы вращений. Так как представление DU) неприводимо, топредставление пи) также неприводимо. Поскольку эти представленияимеют одинаковый ПОРЯДОК, то они должны быть эквивалентными:jfЛ= VD(j)V- 1•(12.43)4.МатрицаVКомnле"сно сопряженные представления147определяется ЭТИМ равенством с точнocr.ью до множителя.Действительно, предположим, что имеются две матрицыиVWтакие,чтоТогда мы можем написатьD(j)V- 1W= V-1WDU).Поэтому матрица V-1W кратна единичной:V-1W= >J5.(12.44)Следовательно,W=~V.(12.45)Равенство (12.43) означает, что компоненты (т комплексно сопряженного вектора преобразуются по тому же закону, по которому преобразуются линейные комбинации Е Vit~k составляющих исходноюj -вектора.
Найдем матрицу У. для этого напишем равенство (12.43)с точностью до линейных членов по параметра.'\iЕ + a1.A1 + а2А2 + азАз == Е + аl У.А 1 у- 1ai:+ a2VA2v-1 + азVАзv-l.(12.46)Orсюда следует, чrо-Ai= У Ai У- 1(i= 1, 2, 3).(12.47)Используя явНЫЙ вид (11.28) матриц A~), мы получим:-A~) = VА~)у-l,A~) = VA~)V-l,-A~)Ясно, что в качестве матрицы:поворота на1800V(12.48)= VА~)v-l.можно выбрать матрицу представлениявокруг оси Оу.
Следовательно,(12.49)Найдем выражение матрlЩЫ V ДJIЯ предстаWIенияD(I/2).воспользуемсяследующим свойством матрицы A~1/2):для этого(12.50)Глава148XlI.Свойства nредставлений группы вращенийПредставляя экспонентуУ (1/2)_-е-i (2iA~1/2»)в виде ряда, мы находим(12.49)1 -_ cos ~ -(..~) (2 "A(1/2)) _ 2A(1/2)I smI 22•2 2 ·Следовательно,V(l/2)Пусть нам задан спинор( : ).= (~ - ~ ) .(12.51)Введем KOMIVIeKCHO сопряженный спинор (~). Согласно доказанному мы можем угвержцатъ, что величина(12.52)преобразуется:, как спинор.
Наоборот, величина(12.53)преобразуется:,как коммексносопряженныйспинор.КОМШIексносопряженный спинор называют также "оварuанmным СПИНОРОМ.Упражнении12.1. Используя свойства унитарности матриц с и ;,) , доказать равенство(12.31).12.2.Найти разложение на неприводимые представления тензорных предстамений третьего и четвертого рангов.12.3.Доказать, что разложение тензорного представления на неприводимые можно найти с помощью следующего рекуррентного правила:"n(1) -_(1-1)"n-I+(1)"n-I+(l+l)"n-I'где ~) - число, показьmaющее, сколько раз неприводимое npедстамениевеса1 содержится в тензорном представлении п-ro paнra.12.4. Доказать, что разложеЮfе cu:инорноro представленияна неnpиводимые части можно получить с ПОМОIЦЬ;I() ~едyIOщеro рекурреН11IОГО правила:и) _(;-~)'1n - '1n-1(j+i)+ '1n-l,где '1~) - число, показывающее, сколько раз неприводимое представлениевеса j содержится В спинорном представлении п-го ранга.
Используя этуформулу, найти разложения сшmорных npeдставлений для n1,2, ... ,6.=ГлаваXIIIНекоторые приложения теориипредставленИЙ группы вращенийк кваитовомехаиическим задачамСреди групп, имеющих приложение в квантовой механике, група вращеНllЙ занимает центральное место. Инвариантность ypaBflния Шрёдингера отно~ительно группы вращеНИЙ отражает свойстИЗОТРОШlости трехмерного пространства. Следствием этой симметрJявляется существование такого важного интеrpала движения,мент импульса.В частности,как .манализ неприводимых представлеюгруппыI вращений доказывает возможность существования собственнго (BнyrpeHHeгo) момента импульса частиц-спина.
В данной гларассматриваюгся некоторые общие свойства неприводимых предсталений группы вращений,которые ИСПWIЪзуются при исследован]движения электрона в центральном поле.1.Частица в центральном поле.ОрбитальВЫЙ момент количестаа ДВJJЖeВИJIРассмотрим уравнение Шрёдишера для ОДНОЙ частицы в централном поле{Так как потенциал:~ {).. + V(r) }1/I(r) = E1/I(r).V(r)(13.зависит только от omосительной ве.лwrиF.радиус-вектора, то raмильтониан ii этой системы инвариаитен оносительно группы 0+(3). Мы знаем (см. главу V), что это услов]Шlвариакгности может быть записано в виде(13.где операторы ~, образующие представление JpyIIпы вращений, опрделяются формулойТ,ф(r) = ф(g-l r ).Найдем инфинитезимальные операторы11, 12,(13.Аз этоrо предстаВЛ 1ния, соответствующие поворотам вокруг осей ОЖ1.
ОЖ2, Ожз. ИНф1нитезимальные операторыAiопределяют приращение функции ф( r150ГлаваXIII.Некоторые nрuложенuя теории представленииобусловленное поворотом радиус-вектора, линейное по параметра.ыal,а2, аз. Поэтому мы можем написать(13.4)где согласно(10.25)== О,622:1 == -а2 Ж З,бзЖt == аЗ Ж 2,бlЖt61 Ж2= аt2:з,62Ж2====БЗ Х 2бtжз= -аlЖ2, }о,б2 ж з== а2 Ж I,-аЗЖl,бзхз= о.(13.5)Orсюда мы получаем(13.6)Так как с точностью до линейнъlX членов оператор ~ можно предстаВИТЬ в ВИ,lIеTg == Е + a1A1 + Q2A2 + азАз,то из условия коммyraции(13.7)(13.2) следует(13.8)Наоборот, поскольку оператор ~ можно представить согласно (12.2)в виде ряда~ = ехр (at11+ а2А2 + азАз) == Е + (аl Аl + й212 + азАз) +1( .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
