1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Рассматриваемые как функции вектораk,lJ)З, называют ветвями упругого спектра. ЗначенияkО называют пределъныии частотами. Раньше=мы показали, что приk =О имеется три нормальные координаты,которые описывают смешение кристалла как целого (поступательныесгепени Свободы). Очевидно, этим координатам соответствyюr частоты, равные нулю. Поэтому мы можем yrвeрждать, что три из ветвейспеrrpа доЗIЖНЫ начинаться со значения UJ, равиоro нулю. эти три ветви называют а"J'стическими ветвями спектра.
Остальные 3а- 3 ветвеЙназывают оnтuческими.Выше мы показали, что нормальные координаты, соответствующие одному волновому вектору и преобразующиеся по неприводимомупредставлению группы волнового вектора, соответствyюr одной и той:же частоте. Поэтому, если порядок неприводимого представления группы: ВOJПIовоrо вектора больше единицы, то в данНОЙ точкеkзоныБриллюэна имеет место вырождение частоты или, как говорят, происходит «слипание ветвеЙ'>.
Слипание ветвей может происходить какв отдельных симметричных точках, так и вдоль осей симметрии зоныБриллюэна.2.2.113Классификация электронных состоянии кристаллаКлассификации электроllllЫX состоJllOlЙ КРИCТ8JlJlаРассмотрим теперь элекrpонные состояния кристалла, предпoлaraя,tПО ядра атомов фиксированы в узлах решетки.
Оператор Гамильтонамногоэлектронной системы, находящейся в пале этих ядер, очевидно, инварианте н относительно преобразований соответствующей пространственной группы. Поэтому собственные функции этого оператора, соответcrвующие одному и тому :же собственному значению,преобразуются по неприводимому npeдставлению D~a) группы симметрии кристалла, и их можно выбрать так, чтобы они бhJJIИ такжесобственными функциями оператора трансляции на вектор решетхи.Мы будем обозначать такие функции через'1'1&0;("1, ... , rN), а собственное значение энерrии через Е. о .
Здесь индекс•обозначает одиниз векторов звезды неприводимоro представления, значок а нумеруетнеприводимые представления группы волнового вектора, а значокj -орты базиса а-го предстаWIения. Мы имеемfа Ф lcоj(rl'.'. ,rN) == Фl:аj(rl+ В, ... , rN + а) ===:Из со<лноmения(9.12)где R==kLrN).(9.12)следует, что функцияU"oj(rl, ... ,rN)Nеi(.а)Фl:а;(rl' ... '= е&(1:R)Фl:аj(rl, ...
,rN),(9.13)ri, инвариантна относительно трансляций. Действиi::: 1тельно,tau,,(rl'.'.,rN)= U.(rl + В, ... ,rN + В) == е -i(k,R+о)ф • ( rl + 4, ... , rN + В) =--e-&(I:,R+О)еiiоф 1: ('},=е... , r N )--i(kR)ф ((1: rl,···, rN ) = и1: rl,···, "н)·Отсюда следует, что собственные функции нашей задачи вcerдa MOryrбыть представленыв видеФJeаj(rl, ... , rN)где Ul:aj(rl, ...
) rN) -= ei(I:R)Ul:aj(rl, ... , rN),(9.14)периодическая функция. функции UJeaj, соответствующие одному и тому же собственному значению энерrииtпреобразуются по неприводимому npeдставлению rpуппы волнового вектора •. Если теперь функцию и.aj предcraвитъ в виде ряда,располож.енноrо по некоторой ПOJПlОЙ сиcreме периодических функЦИЙ, и подставитъфункцию Ф I:oj( rl, ... , rN), определеннуюСОО1Ношением (9.14), в уравнение Шрёдингера, то мы получим линейную систему уравнеНИЙ для определения коэффициентов разложения.
КорниГлава114соответствуюшеroIX.Классифи"ация состояний "ристал.лаBeKoBoro уравнения дадут нам собственные значенияэнергии как функции волнового вeJCfopaE1(k), E2(k), ' ..Говорят, что каждая из этих Функций определяет энергетическую зонукристалла.
В симметричных точках зоны БРИЛJПOэна, на осях или плоскостях симметрии, значения некоторых из этих функций Ei могутсовпадать. Тогда говорят о слипании энергетическихзон. Это слипаниеобусловленовырождениемэнергии для данного значения k, о котороммы говорили ВЬШIе.3.Одвоэлектроивое приБJJИЖeвиеПрактически метод теории групп применяется к упрощенным моделям рассматриваемой задачи. Успех этих приближений в значительноймере связан с тем,ЧТО в них учтенысвойствасимметрииточногорешения.Основным методом приближенного рассмотрения ЯWlЯется методсамосогласованного поля, в котором задача о взаимодействующих электронах сводится к одноэлекrpоЮlОЙ. Взаимодействие электронов приэффективным полем, обладающимсимметрией кристалла.
Тогда собственные функции одноэлектронноroоператора энерrии, обладающего группой симметрии кристалла, MOryrближенно заменяется некоторымбыть записаныI так:гдеUIcQj(r) -Фiаj(r) = ei(.r)UtOj(r),(9.15)периодическая функция:U/toj(r + о) = U.aj(r).Волновые ФУНкции(9.15),(9.16)являющиеся базисными функциями некоторых неприводимых представлений пространственной группы, называютфункциями Блоха. эти функции MOryr рассматриватьсякак обобщенНble IШоск:ие волныI с перемеlПlОЙ периодической амПЛИТУДОЙUIc(r).Вектор k называют "ва3иuмnульсо.м элеIcrpOна.
Собственное значениеэнергии Е = E(k), как функция ВОJПfовоro вектора k, определяетодноэлектронную энергетическую зону.Один из возможных методов решения одноэлектронной задачисостоит в разложении Функции ФlcQj по одноэлеюронным ВОJПfОВЫМ:фУНКЦИЯМ атомов или ионов, образующих кристалл. Фактически этотметод пpQдставляет собой обобщение метода линейных комбинацийатомных орбит, который был рассмотрен в главеVII.Условимся обозначать положение ячеЙКИ вектором в, а положениеатома в ячейке - вепором 1. Таким образом, положение '-го атома в ячейке в будет определяться вектором о1. Обозначим через'Pj(r - в -1) ВOJlliовые функции '-го атома, находящегося в ячейке о.+з.
ОднОЭАектронное приближение115Из этих функций легко построить линеЙНЫе комбинации,которыепреобразуются по неnpиводимым npeдставлениям группы трансляций:Ф~~(r)= :Е ei(".)tp~I)(r -0-1).(9.17)а.Действительно, мы имеемfаФ~~ = Ф~~(r + о) = :Е ei(lra)tp~l)(r + а' - а - 1).(9.18)аВведем обозначение а" = о - 01. Переходя от суммирования по ак суммированиюПО а" t мы получимiаIФ~~(r) = :Е ei(1I(a +a')rp}l)(r - о" - 1)H= еi(1Iаl)Ф}~(r).(9.19)а"(9.20)где коэффициентыподлежат определению.
Практически в разb.'jложении функции Ф1Iа; ограничиваюrcя конечным числом волноВЫХфункций атомов В каждой ячейке и, следоваreльно, конечным числомфун.кций Ф}~ в сумме (9.20). Корни соответствующего векового уравнения дaдyr нам приближенные одноэлеlcrJЮнные энергетические зоныI.Решение векового уравнения можно упростить,предварительнопостроив из функций Ф~'~ линейные комбинации Ф.оj, npeобразующиеся по неnpиводимым npeдстаВJlен~ :группы ВOJЦIoвoro вeD'Opa Ic.Эro построение можно выполнить с помощью метода, который бьшизложен В главеVII.Однако для этоrо сначала надо ВЬ1ЯСнитъ~ хакпреобразуютеЯ: функции Ф}~ при преобразования:х из .группы F•. ПУСТЬпреобразование 9 Е Fi.
Действуя на фун.кцию Ф~~ оператором Т" мыполучим~Ф~~= r>i(lra)rpj(g-l r - o - l ) = :Eei{.a)tpj(g-I(r-go-gl».(9.21)ааЯсно, что вектор па-снова вектор решетки:go = а'.(9.22)Если при npеобразованиивалентный9 l-й атом нулевой ячейки переходит в эквиl' -й атом ячейки al, то мы можем написатьgl= 01 + 1'.(9.23)Ihaвa116IX.Классифи"ация состоянии "ристамаТаким образом, мы получим= Е ei (tQ)<pj(g-l(r -71Ф}~а' - аl -1'».(9.24)аПредположимтеперь, что закон Преобразованияфункций для операции9атомных волновыхнам известен, т.
е.1I'}')(g-1 r)= I: Cij(9)1I'~')(r).(9.25)Используя это соотношение, мы найдем= Е е'(·а) LТgФ}~гдеCij(g)II'~")(r - о"),а" = о' + 01 = ga(9.26)+ 01.(9.27)ПереЙДЯ от суммирования по а к суммированию по о", мы получимТgФ~~= I: e'(•••-I(ОW_ а1 » Е CijVJ)II'~t)(r- о").(9.28)О"Воспользуемся теперь тем, что ортогональное преобразование9принадлежит группе BOJIНOBOro вектора. Следовательно,ei(t,g-I(on -(11))=ei(gt, (аn -01)= ei(lI, (all-Ol)).В результатемы получимТgФ~~ = e-i(.o)I: CijVJ)Ф!~).(9.29)Таким образом, фуихции Ф~~ при npeобразоваиияхиз группы F"преобразyюrcя: так же, хах атомные фунхции в молекулярной задаче,с тем 1ПШIЬ ОТЛИЧИем, что еCJПI npи данном преобразовании9l-й атомнулевой ячеЙКИ перехoдиr в l-й атом ячеЙКИ о, то функции Ф~~, в JIИнейную комбинацию которых переходит фyнJCЦИJI Ф}~, дополнительноприобретают множитель e-t(И,>.Если решетка одноатомная, Т.
с. в каждой элементарной ячейкеимеется ТOJIЪKO один атом, то построение функций Фtoi, преобразуюmиxся по неnpиводимы:м представле:ниям lpyппы Ft , сводитсяк пос1рОеНИJO линейных комбинаЦИЙ 'Рoj атомных ФУНХЦИЙ, которыепреобразyюrcя по этим непpивoдимым представлениям. Действитель-но, легко npoвер~ить, 'что В этом случае ФУНIЩИИ Ф taiMOryrбытьпредставленыв виде~.() _ ~ i(to),i'i'Jc' t08r - L..Jаеуа.(,. -)О •(9.30)УпражнениеЕсли в разложении представления группы117F.,по которому преобразуются функции Ф~~, какое-нибудь неприводимое представлениесодержится только один раз, то соответствующие ему функции Ф tO&будyr приближеннымиодноэлектроннымиволновыми функциямирассмотренной задачи. В общем случае, когда некоторое неnpиводи:моепредставление г(а) содержитсяв упомянyrомпредставлениинесколькораз, для определения волновых функций Фiоi надо решать вековоеуравнение, порядок которою равен кратности представленияг(cr) •Упражнение9.1.Получить классификацию норма.лъных колебаний для двухатомногокристалла с простой кубической реmетхой (рис.
14).,"'~', ....Рис:.14.Глава ХНепрерывные группыДо сих пор мы рассматривали конечные группы. Теперь мы перейдем к изучению бесконеtrnых непрерывных групп.1.Непрерывные rpуппы JlвиейIIых преобраэовaинiМы будем рассматривать группы линеЙНЫХ преобразований, элементы матриц K01'opых являются аналитическими функциями вещественных параметров. Пусть g(Ut, а2,.'.' а,) - элемент нашей группы.Параметры а), а2,.'.' а, выбираются таким образом, что существуетоднозначное соответствие между окресПlОСТЬЮ начала координат в т:мерном пространстве параметров и окрестностью единичного элементаrpynпы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
