1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 22
Текст из файла (страница 22)
= Cj-l = о."1;(11.22)2. Henpuвoдuмыe nредсmав./lеnuя группы 0+(3)131Таким образом, мы получаем, чтоh= CjVj,(11.23)и, следовательно, ") Е в'. Но тогда все векторы Vj-l, ")-2, ... , "-jтакже должны ПРИНЗШIежать К, и, значит, R' совпадает с пространствомR2j+l.Таким образом, неприводимостьпредставления, реализующеrocя в пространстве R2j+l' доказана.Мы видим, что неприводимое представление rpуппы 0+(3) опреДеляется заданием наибольшегособственногозначения j матрицы Нз.Число j называется весом неприводимоro представления.
Неприводимое представление с весом j мы будем обозначать через n и). Порядокпредставления n(З), очевидно, равен2; + 1.Докажем, что все орты базиса неприводимого предстаменИR являются собственными векторами матрицы2А == А! + A~ + A~)соответствующими собственному значению(11.24)-j(j + 1).Выражая матрицу А 2 через матрицы Н+, Н-, НЗ, мы будем иметь2A vI:== -(Н+Н_- Нз+ Hj)v/c == -(a~ - k + k 2 )Vk)orкуда2== -j(j + l),,/cA t'/c(k == -j, -;+ 1, ... ,j).Определим теперь вид инфинитезимальных(11.25)матриц А; непривоДИМОГО предстамения DU) в каноническом базисе. Из формул (11.5)и (11.17) мы получаемiA1"k == -2"{a/c"k-l1= 2{Oi~k-l АЗVk = -ikvk'A 2"k+ a~+I"k+l},ak+l"k+l}~(11.26)Orcюда{A 1}kl=={A 2 }kl== ("1,(Vl'iAl~k) == -2{Ok b',k-l + Ok+l b"k+l}'1A 2V t) == "2{at &,k-l - at+l bl,k+l}'{Аз }kl == (VI) А з l1rc)==-ik б'k,k, l = -j, -; -t- 1, ...
,;,( 11.27)Глава132Henpивoдuмыe представления группы вращенийXI.и, следовательно, матрицыi-2 a -j+lОООО-2 a -j+lО-2 a -j+2ОООО-2 lt -j+2ООООооо-:2 a j-lО-:2 а;ОiА1 =iiОО-2 a -j;-11i-~ajОООО1О-"2 a -j+2ООО:2 a -j+2ООООоо2a_j+l1ОiО1ОО........................................................оОА з-имеют видОiА2 =AiОij-ООi(j - 1)...О1О-'laj2 а;О1ООО).·.о.•.-iJ·(О1,;aj-lдля определения матрицформулой (11.2):n(j)(al'(11.28)а2, аз) можно воспользоваться(11.29)Определи..~, например, вид матрицы nи)(о, о, аз) в каноническомбазисе. Согласно(11.29)мы имеемDU)(O, о, аз) = е аэАэ •(11.30)Так :как в :каноническом базисе матрица Аз имеет диагональНЫЙ ВИД(см.
(11.28», то все степени этой матрицы также будyr диагональнымиматрицами, и, следовательно, представляя (11.30) в виде ряда и затемсуммируя ряды, соответствующиеодинаковым элементам матриц, мысможем написатьD(j) (О,О, аз)=e~~ОООеi(j-l)азО(11.31)ооз. Двузначные представления133с помощью(11.31) легко сосчитать характеры неприводимоro представления n(j). Действительно, в один :класс группы вращений ВХОДЯТповороты вокруг различных осей на ОДИН и тот же угол. Класс определяется лишь углом поворота, и в качестве представители:класса МОЖНовыбрать поворот на угол '{) вокруг осихарактер :класса вращений на уголХи)('{)-LJ)_ ~"'" _ sinе-l=-j3.Oz.
Из (11.31) следует, чторавен'{)(j + !) tp.~sm~(11.32)·Двузначные представлеНИJIМатрица (11.31) соответствует повороту на угол аз вокруг оси Oz.Единичному элементу группы 0+(3) в представлении матрицамиnи) соответствует единичная матрица E 2j+l. Поворот на 21Г вокругОСИ Oz также является единичным элементом группы 0+(3), но,в то время как при j целом nи)(о, о, 21Г) ::: E2j+l' при j полуцеломD(j)(o, О, 211") = -E2j+l. Таким образом, при полуцелом j единичномуэлементу грyпnыI 0+(3) соответствуютдве матрицы Е и -Е и, следовательно, каждому элементу группы 0+(3) соответствуютдве матрицыDU) и -пи), элементы которых различаются знаЮL'\{И. Говорят, чтов случае полуцелоro j матрицы D(j) дают «двузначное представление»rpyпnы 0+(3).
Двузначные представленияиrpают весьма важную рольв физических приложениях: они используются, как мы увидим ниже,при описании частиц с полуцелыM спином.Jlолучим явНЫЙ вид матриц двузначного представления n(1/2).Для ::лого заметим, что всякое вращение можно осуществить в резулътате трех последовательнhlX поворотов: поворота вокруг ОСИна yroл '{)l, поворота вокруг оси Ох на угол О, поворота вокруг ОСИна угол'{)2(рис. 15). Поэтому матрица n(1/2) ['{)l, О, '{)2], очевидно, можетбыть представлена в видеzzг'zу'ух0%0%хРис.15.Глава134XI.Henpивoдu.мыe представления группы вращенийПараметры "'1, (J, VJ2 называют углами Эйлера.Согласно формуле (11.31) матрица D(1/2) (О, О, VJ), соответствующаявращению вокруг оси 0% на угол VJ, имеет вид)_(e !оiD(l/2)(0 , ,VJ -Оео) .(11.34)-if2Матрицу D(I/2)((J, О, О), соответствующую повороту вoкpyr оси Охна угол (J, можно найти, решая систему дифференциальных уравнений,аналоIWmyЮ системе(10.13):dD(11.35)-=А1 пd(Jс начальным условием п(о)==Е.
Так.как инфинитезимальная матрица А 1 дЛЯ представления D(1/2) согласно (11.28) равнаA 1 ==то система(11.35)1) '-"2i (О1оможет быть представлена в видеdD 12i~dDl1= -2 D217i~= -'2 D22 'dD21idD22i(jjJ ==а начальные условияD 11 (0)--2 Dl1 '(jjJ=:}(11.36)-2 D12 'в виде= D22 (0) = 1,D 12(0) = D21(0)= о.Легко проверить, что решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям, даетD(1/2)«(J,о, о) = ( C~.~8 S~~) .-i-ISШ-2Подставляя(11.37)cos2(11.34) и (11.37) в (11.33), мы получимматрицуD(1/2) (VJl' (J, VJ2) для произвольноro вращения:8 if!.±flcos -е2D(1/2)[VJ1,(J,VJ2] =2(•• (J i~-1 sm -е22.
. -е(J-ISШ-i~)22cos(J -i~-е22.(11.38)Разложение любого представления группы4.Матрица0+ (3)135(11.38) унитарна, и, кроме того, ее определитель равен 1. Легко проверить, что в таком виде можно представить moбую унитарнуюунимодулярную матрицу второго порядка. Orсюда можно сделать вывод, что всякой унитарной матрице второго порядка с определителем,равным единице,соответствуетвращениеВ трехмерномпространстве.Наоборот, всякому вращению трехмерного пространства соответствуютдве матрицы, элемеlffbl которых отличаются знаками. Таким образом, группа вращений 0+(3) гомоморфна группе SU(2) унитарныхунимодулярных матриц второго порядка.4.Разложение любою преДC1'8ВJIеНIUI группы0+(3)на неприводимыеПохажем, каким образом в базисном пространстве любого унитарного представл:ения D группы 0+(3) следует выбflpать орты, чтобыв новом базисе представление матрицами D(g) распалось на неприво-димыle представления матрицами DU) .Пусть R n -- базисное пространство представления матрицами Dпорядкаn.Для этого представлеЮIЯ определим матрицы Н+, Н_ и Нзи найдем наибольшее собственное значение ;' матрицы нз.
С помощьюмаТРИ1.UJI Н_ образуем цепочку собственныхвекторов "';', ";'-1, ... ,"'-;'матрицы НЗ, соответствующихсобственнымзначениям, различающимся на единицу. Примем эти векторы за первые 2j'базисе пространства Rп;+ 1 ортовВ новомостальные орты этого базиса, определяющие подпространство R', возьмем пока произnoльно. ПространствоR.пможно рассматриватькак прямую сумму подпространств B2i+l и К:Rп == B 2j'+1 ЕВ в'.МатрицыDв новом базисе принимают видU-1DU=(D;С')~, ).Теперь найдем наибольшее собственное значение матрицы Нз и соответствующий ему собственный вектор в пространстве R'; пусть этобyдyr 1·"жеj' -и"'j".Е·'б ьшо вырождено , ТО, очевидно»сли 1простое собственное значение, то ;"< ;'.цепочку собственных векторов НЗ, начиная с вектора+3." = 1., ;еслиОбразуем снова"'j":и, считая первые 2j' 1 ортов нового базиса фиксированными, принимаем векторы этой цепочки за следующие 2j" -+- .l ортов нового базисав пространстве Rn.
осталъныle n - (2j' -+- 1) - (2j"1) оргов, взятыепроизвольно, определят подпространство R". Теперь МbI будем иметь+Rп= R2j'+1 Ef) R 2i"+1 Ef)R" ,Глава136а матрицыDXI.Henpивoдu.мыe представления группы вращенийпримyr видоn(j')u-1nu =~(о) .D"Продолжая этот процесс дальше, мы после конечного числа шаговисчерпаем пространство ВП • В окончательном базисе матрицыI D бу-дут квазидиагоналъными матрицами, составленными из матриц DU)найдеЮlhIX нами неприводимых представлений.5.Неприводимые представленияортогональной группы0(3)в заключение этой главы остановимся вкратце на группе0(3)rpуппе ортогональныхпреобразованийв трехмерном пространстве.ПоJПIая ортогональная группа 0(3) представляет собой прямоепроизведение группы вращеНИЙ 0+(3) и группы Иlfверсии:0(3)Группаi== ОТ (3)х(11.39)i.имеет, как известно, два неприводимых представления первого порядка: тождественное и знакопеременное.
Поэтому Ipyпnа 0(3)имеет по два неприводимыхпредставленияпорядка2l + 1 длякаждогоцелого l. Эги представления мы будем обозначать D3) и D~). Матрицы, соответствующие вращениям в этих представлениях, совпацают,а элементы матриц, соответствующие вращениям, сопровождаемым отражениями, различаются знаком. Таким образом, число представленийнечетного порядка группы 0(3) в два раза больше, чем у груIпIы 0+ (3).Иначе обстоит дело с двузначными представлениями Ipуппы 0+(3),в которых каждому элементу g[<Pl' 8, ',02] этой группы соответствуют две матрицы,элеменгыно, представления группыпредставленияемкоторых различаютсяQ(3),на тождественноена знакопеременноезнаками.Очевидполученные умножением двузначногопредставлениепредставление,из них как элементу О, так и элементугруппыи умноженибудyr совпацать:igв каждомбудyr соответствовать двематрицыI, различающиеся знаком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
