1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 26
Текст из файла (страница 26)
, 1).преобразуются по приводимому предстаШIению, которое является прямым произведением D(l) х n(1/2). Согласноправилу Клебша-Горданамы имеемD(l) х D(I/2)=D(l-1/2) Е9 n(I+I/2).(13.31)Из функций (13.30) мы можем построить с помощью коэффициентов Клебша- Гордана ФУНХЦИИ, преобразУЮ11Dfеся по неприводимымпредставления.м,или, дрyrими словами, собственные функции опера-Ф(торов j2 иJM==i 3. Мы получимC(I, 1/2, J)'1',,11-1/2О11-1/2.,1/2,11-(r») +c(l, 1/2, J)lJ'JTI,II.+1/2(I,1/2,J)( ) )СМ - 1 / 2 , 1/2, Mtp" М -1/2 r(1/2, J)( )СИ + 1 / 2 ,-1/2,м'РI,И+l/2 r(1,О(11+1/2,-1/2,11.(r)) =(13.32)4.4.Теорема Крам ере а157Теорема КрамерсаТеорема Крамерса. Если гамuльтониан электрона коммутируетСdnepamopOM(13.33)где К -операция к,омnлексного сопряжения, а82-оператор nрое,,ции сnиН08Огй момента на ось ОЖ2, то УfЮ8НU энергци эле/(трона будутдвукратно вырождены1).Если рассма1риваемая система обладает ещеДОПО1Пlителъной симметрией и связанным с ней вырождением, то полная кратность вырождения уровней должна быть обязательно четной.Покажем сначала, что коммутативность с оператором е имеетместо,если тольковзаимодействиегами.льтонианс мarнитнымсодержит члена,описывающегополем.
Действительно,нев этом случаек гамилътониану Но уравнения Шрёдингера (13.1) мы ДOJIЖНЫ добавитьJПfШЪ член спин-орбитального взаимодействия, который имеет вид2)-1 (1; ау)-drHso == 2т 2 с2(L, S).(13.34)Поскольку гамильтониан Но веществен и не содержит сииновых операторов, то очевидно, что(13.35)Докажем, что для операторатацииiisoта.кже ВЫПOJDfilется условие коммуeHso := iisoe.Действительно, согласно (13.10) операторL чисто М1пt:МhIЙ.eL == -Lе.(13.36)Поэтому(13.37)ИСПWIЪЗуя явный вид матрицы Si, легко показать, что для оператора Sимеет место такое же СOO'I1fошение:ев=: -5е.Из(13.38)(13.37) и (13.38) мы получаем равенство (J3.36).1) Теорема Крамерса доказана /JJIЯ системы, состоящей из нечеmого числа элеrrpоиов.В эroм случае оператор е= (i~J}) ... (~~"})K,где оператор ~i) относится :к i-мyэлеlCфOНУ.2)Гамилътониан Но и оператор (13.34) /JJIЯ определеШlОСТИ нaIlИС811Ь1 для сферичесх:иV(r).
это оrpаничение, однако, несущественнодля даЛЬНейсимметричного потенциалашего дохазательства.Глава158XIII.Некоторые nрuложенuя теории представленииЕсли же нашу систему поместить в магнитное поле Н, то в raмильтониане появится дополнительный члене- 2mcH(L + 28),(13.39)KOТOPЫ~, как это следует из (13.37) и (13.38), не коммyrирует с оператором8.На основании соотношений (13.37) и(13.38), а таюке легко npоверяемых соотношенийер == -ре,er = re(13.40)оператор е называют оператором обращения времени.Перейдем теперь к доказательству теоремы Крамерса. Легко проверить,ЧfО-2== -1.8(13.41)Рассмотрим два электронных состояния, которые описываются спинорамиФ(r) = ( :~~~~ )IФ(r) = ( :~~~~ )·(13.42)Определим их скалярное произведение в виде(Ф, Ф)== Фl'Рl + 'Ф2'Р2.(13.43)Используя свойство эрмитовости оператора 52, мы можем написать(8Ф, 8ф)= (Ф,Ф)= (Ф, '1').(13.44)Поэтому и..\lеют место следующие равенства:('11,8Ф)= (8'11,8 2 ф) = (8 2 ф, 8ф)= -(Ф,8Ф),(13.45)откуда('11, 8'1') = о.(13.46)На основании равенства(13.46) мы приходим к захлючению, чтосостояния Ф и еФ ортоroналыIыI' а следовательно, JIЮIейно независимы.
С другой стороны, оба состояlDlЯ, Ф и 8Ф, в силу (13.33) должныпринадлежать одному и тому же уровню энергии. Теорема доказана.Сделаем одно важное замечание. Если рассматриваемая системаобладает пространственной симметрией,то обусловленноеею вырождение может включать в себя и кра.мерсово вырождение. Тогдаинвариантность относительно собращения времени. не приведет к дополнительному вырождению. В качестве такого примера рассмотримслучай,когда группа симметрии системы совпадает с группой вращений0+ (3). Мы знаем, что в такой задаче состояние электронаТеорема Крамерса4.159характеризуется ПОJПfЫМ моментом2J + 1 развырожденоMO}feHтa.
С помощьюJ и собственное значение энергиипо собствеlffiОМУ значению М проеКЦИИ ЭТОГОМbI можем написать наиболее оБЩИЙ вид(13.32)волновой функции:(J-~, !,J)y(!I-~)(8СМ _! ! МJ-!2' 2'ФJм(r) = RJ-t(r)2, V;)](J-H,J) (м+Н[ С + _1 MYJ-! (8, VJ)м 12' 2'2+c(J+t, ~,J)y(~-t)(8+RJ+!(r)[2СМ +!2'(М =ЗдесьиR1_!(r)1)]М J+, VJ1';'21(J+ 212 ,J) у(JI+ 2 )()J -M-_12'М I+!(13.47)8, VJ2-J, -J + 1, ... , J).некоторыеRJ+!(r) 2веществешfыe функции,которые зависят только от fr f.
Напомним, что У,(т) = р,(т) e iтrp ,Pz(-m) = (_})т~. Коэффициент.ы Клебша- Гордана таюке вещественны и обладают рядом свойств, из которых нам понадобится следующее:(la I 2J )= С-та,-т2, -М,(11 12J)Ст1т1 М(13.48Подействуем на ФУНIЩИЮ Ф JJI(r) операторомслучае имеет видi)- = (О_.;ео8,)который в нашемК.(13.49)Мы будем рассматривать только первое слагаемое. Преобразованиевторого слагаемого аналогично. ИСП0JIЬ3уя определение сферических фунКЦИЙ и свойствокоэффициентов(13.48)Клебша-Гордана,мы получим(J-~, ~,J)У(М-~)(88RJ _!(r):2СМ _! 1 JlJ-!2' 2',VJ2(J-~, ~,J) у(М+!)(лСМ +! _1 М J-!2J2t)2«7,V;).
(J-~, t,J) У(М+!)(8=R1J- 2(r)'СМ + 1 -! М2'• () -!,-IСМ _ 12'2'1,J-!, VJ)]2J)-( М - !)MYJ-!1(8, 'Р)=Глава160XIII.Некоторые nрuложенuя теории представлении(13.50)Таким образом, мы имеем8ФJм(r) = i(-I)м··- tф :т!l(r).(13.51)Мы видим, что оператор е связывает состояния с противоположнымизначениямипроекцииПОJПIогомоментаиврассмотренномслучаедействительно не приводит к дополнительному вырождению.s.Теорема Вигиера-Эпартав п.
3 rлавы V была доказана теорема Виrnера, лежащая в основебольшого числа приложенИЙ. Формально эта теорема дает выраже-ние (5.30) для матричного элемента оператора энерrии jj (или любого другого инвариаlfГНОГО оператора) на ФУНКЦИЯХ, преобразующихсяпонеnpиводимым представлениям ГРУПJThI симметрии ЭТОГQоператора. Воспользовавшисьдираковскими обозначениями для волновыхфункций и матричных элементов операторов, перепишем (5.30) в видеЗдесь первый(i, а, vIHli', а',индекс i нумеруетвторойэлементы базиса неприводимого представления,а-тий индексv')= 6ii,t5at:iHvv.(13.52)тип неприводимого представления,тре11 различает эквивалентные неприводимые предстЗмения.В частности, для единичного оператора имеет место равенство(i, а, IIli', а', 11')= 6ii,6a a'SlIrI,(13.53)выражающее свойство oproгональности базисных фунхций неприводимы:х предсгавлениЙ.
Orличие матричного элемента SlIrI (л' символаКронекера указывает на возможную неoproroиaJIЬНОСТЪ одинаковыхэлементов базисов эквивалентных.неприводимыхnpeдставлениЙ.Существует более общая теорема, теорема Виmера-Экхарта, которая дает выражение для матричного элеменra оператора, преобразующеrocя по некоторому неприводимому представлеНИIO рассматриваемой группы. Примером тщсоro оператора может служить оператормомента количества движения L(L 1 L 2 L з ). При вращениях в трехмерном пpocrpaнerвe компоненты этого оператора преобразуются каккомпоненты вектора9ТgLа~-l = E9afjLfj,а = 1,2,3,fj=lгде ~19afjll-ма1рица вращения в трехмерном пространстве.(13.54)5.161Теорема Вuгнера-Э""арmаПриcтynим к доказательству теоремы Виmера-Эккарта.Пусть задан некorорый многокомпонентный оператор H~) , компонентЫ кorороro при преобразованиях из группымаму npeдставлениюпреобразуются по неприводиGэтой группы:D{J)ТgN~)Тg-l = L D~~(g)~).(13.55)7'Найдем выражение для матричного элемента (i, а, vIN-уU) li', а', v'}.для этого подействуем на функцию N~)fi', а', v') оператором Tg :- ':--.1;).,"- -и)--1-.'Tg1V,w 11, а , v ) = TgN, Tg Tgls,, v ,) =lr ,=LD~~(g)N~)LD:~(g)pIIPI,Il'}.7'(13.56)fJ', ,-и),N 7 li, а , v} преобразуютсяпо прямомуnpoизведению DU) х D(i').
Разложим это предcra.влениена неприводиOrcюда следует, что функциимые:ЕВDU)Соответственно функциях D(i')==Liif) li', а', v}D(t) •(13.57)может быть представленав видеразложения, '} "Cii'l:rI L ~ }N-U)I·'7 1, а ,v = LJ 1«' 11;, (1, Т ,(13.58)J:6T.•'1:где C~:"6T -КОэффИl.Ufенты Клебша-Гордона~ а индекс т нумеруеткpaтныe неприводимые представления,встречающиеся в разложениипрямоro npоизведения(13.57) при фиксированномматричный элемент оператора H~1 принимаетвидзначении, '} - ' " Cji'iTS(1,. а, v I-(j)N 7 1·'1, Q , 11 - L..J 7а'о. "Т·v.Тогда(13.59)тЗдесь мы воспользовались свойством ортоroналъности(13.53).Особенно простой результат получается, если разложение прямогопроизведения представлеНИЙ(13.57)не содержит кратных представлеНКЙ, как это имеет место для группы тpexмepHых вращений.
В этомслучае в правой части(13.59)будет только одно слагаемое, и индекс тможет бытъ заменен на 11':(1,. а, vI-U)I·"N 7 ',а, 11') == Cji'i7 tЖо S w.(13.60)Глава162XIII.Не"оторые nрuложенuя теории представленииПолученная таким образом факторизация выражения для матричногоэлемента оператора и представляет собой содержание теоремы Виrнера-Эккарта. Отметим, что первый множитель в(13.60)определяется только трасформauионными свойствами рассматриваемых функцийи оператора.Рассмотрим важный пример применения теоремы ВlПНера-Эккарта.
Пусть имеется система частиц, для каждой ИЗ которых определеноператор моментаJ(') (8 -номер частицы).Введем оператор ПOJПlОГО момента:--~~(,)J-L-i1(13.61)·Пусть нам известны собственные функции квадрата полного моментаи проекции поJШОГО момента на ОСЬz:rlJ, М) = n, J(J + 1)IJ, М),;:'J, М) = hMIJ, М).2Согласно теореме Вигнера-Эккарта(13.60),(13.62)мы можем угверждатъ, чтовыполняется соотношение(J, М'где а 6-J IJ, м') == а, (J, М I;")IJ, м'),(13.63)некоторая константа. Следовательно, все матричные элементы одночастичного момента на таком базисе пропорциоиaJIЬНЫсоответствующим матричным элементам ПОJlliОro момента.
Аналогичноесоотношениепропорционалъностиимеетместодляматричныхэлементов спинового и орбитального моментов системы частиц:(J, М'(J, MIS IJ, м')L IJ, м')f'J"J(J, MI i IJ, м'),(J, MIIIJ, М).(13.64)Мы воспользуемсяэтим своЙством при рассмотренииэффекта Зееманав п.3 главыХХ.ГлаваXIVДополнительноевырождениев сферически симметричном полев предыдущей главе мы исследовали классификацию собственныхфункций уравнения Шрёдингера с произвольным сферически симметричным потенциальным полем. Однако известны два типа сферическисимметричноговырождение,потеIЩиала,для которых имеет место дополнителъноеи, следователъно,рассмотреннаяклассификациясосто-яний не является полной. это кулоновское поле и f'J ~ И поле изотропной упругой силыI и == kr 2 ..
В этой главе мы похажем, что дополнительноевырождениесвязаносинвариантностьюсоответствующихуравнений Шрёдишера относительно определенных групп преобразований, для Koтopых группа вращеНИЙ является только подгруппой.1.Допoлииrenвое вырождениеНаличие дополнительноroвырождения для указанных полей известно из решений соответствующих уравнений Шрёдингера.Рассмотрим уравнение Шрёдингера с кулоновск.им потенциалом,т. е. уравнение Шрёдингера для атома водорода. В атомных единицах(е== 1,т ==1, 1i == 1)оно имеет вид( -~ д -~) ф(r) = Еф(r).(14.1)Известно, что собственные значения этого уравнения, соответствующиесвязанным состояниям,определяются главным квантовым числом п:ЕnПри заданном значенииn1 1= -- -2.2п(14.2)азимутальное квантовое число может принимать значения l == n - 1, n - 2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
