1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 27
Текст из файла (страница 27)
, 1, о. это означает, что ВОJПfовыефункции, сoorветствующие вырожденному уровню Еn , преобразуютсяпо приводимому представлению групIIы вращений, которое распадается на неnpивоДИмые представления D(n-l), D(n-2), ... , n(О) .Дополнительное вырождение имеет место также для уровней энерrии изотроIПIОГО raрмоническоro осциллятора, уравнение ШрёдингераГлава164XN.Дonолниmельноевырождениекоторого имеет вид (в атомных единицах)(1 ~+J.UU2r2) 1jJ(r)-2р.2ПОЛОЖИМ для упрощения записи р,уравнения= t&'= 1.(14.3)Будем искать решениев виде(14.3)1r<p(r) = Yim(8, ер)- /(r)eдля функции= Еф(r)./(r)-r 2 /2,/(0) =о.(14.4)мы получим уравнение/" - 2rJ' + [2n + 2 - щ; 1)] f= О,(14.5)гдезn==ЕРешениев нуле,этогоможетуравнения,быть(14.6)-.2удометворяющеговыраженочерезrpaничномувыро:жденнуюусловиюгиперreометрическую функциюf(r)= r/+1F (_n;1, 1 +~, r 2 )•(14.7)для того чтобы волновая функция стремилась к нулю приr -+ 00, ряддля rиперreометрическойфункции ДOJDКeH обрываться.
Эro возможно!!.f! -только в том случае, еслицелое число ИЛИ нуль. Отсюда следует,что число n должно быть целЫМ. При фиксироваЮlом значении п, которое определяет собственное значение энергии, азимутальное ЧИСЛО lможет принимать значения n, n - 2, n - 4, ... Поэтому coorвeтcтвyющие волновые функции будут преобразовьшаться по приводимомупредстамению группы вращений, которое распадается на неприводимые представления D(n), D(n-2), •..2.Связь с КJI8ССИЧеской механикойИсключительный х.араюер рассмотренных потенциальных полейпроявляется таюке и в .классической механике.
Напомним, что согласно классической механике движение частицы в цеН'JPЗЛЬНОМ полепотенциалаU(r)происходит в плоскости, перпендикулярной к вектору момента КOJЩЧества движенияL = [r,р]. Если в ЭТОЙ lШоскостиввести полярные координаТbl, поместив начало координат в силовойцентр, то полярный угол ер и радиус-вектор" нашей частицы будyr1Руnnасимметрии аmомаводорода3.165связаны соотношением(14.8)где Е-энергия, р-масса частицыI.НеравенствоL2U(r) + - 22рт,<Е;., ,10'... - - - - ' ......~I(14.9)JIIопределяет область изменения радиусавектораЭта область во всяком случаеr.ограничена снизу значениямиr==Тmin,1II,\\так как в левой части неравенства содер\ЖИТСЯ растущий при r --+ О центробежL2НЫЙ член 2jir1.
Если, кроме TOro, имеетсяr = rm.ax,и верхняя границаназываетсято движениеРис.финитным и его траектория16.должна целиком лежать в кольце с внеш-ними внутреннимрадиусами,соответственноравнымиr maxиr nun .для ПРОИЗВОJIЪного центрального поля траектория бесконечное числораз касается внутренней и внешней окружности этого кольца и являетсянезaм:кнyrой (рис.16).Это происходит потому, что величина~I(J ==f'"махr ....Ldrr2J2P.(E - и(т)] -~в общем случае не является рациональной часгью 2~. Однако для кулоновского поля притяжения и поля ИЗО1рОIDIОЙ упругой сиJIы траектории движ:ения будут заМкнyтьL"\fИ.
для кулоновекоro поля дq;11",для изотропного осциллятора д((J3.== !, при любых значениях Е и L.IPуппа симметрии атома водородаГруппа симметрии уравнения Шрёдингера для атома водорода былаисследована В. А. Фоком в 1935 roдyl). Преобразования из ЭТОЙ группыне сводятся к преобразованиямКроме того,стояний (Еrpуппы симметрии< О)в оБЬf1ПiОМ трехмерном пространстве.этого уравнения для связанных сои для сплошного спектра (Е> О)оказываются различными. Мы рассмотрим сейчас более подробно случай дискретногоспектра.1) Фок В.А.
ИЗВ. АН СССР, атн(1935), c.169-179.166ГлаваXIV. ДополнительноеУравнение Шрёдингера(14.1)вырождениедля атома водорода в импульсномпредставлении имеет вид112"2 Р 1p(P) + 211"где1p(P) = (211")-3/2f ~(p')dp'~(р - р')2 = -2"Ip(p),f ф(r)е-i(rJt')(14.10)2dr,-~ = Е.(14.11)Сопоставим каждой точке р в импульсном пространстве точку на единичной сфере в четырехмерном пространстве с координатами {, 11, (, х:~_-2РОР:I:Р5 + р 2 '2РоРу'7= p~+p2'(_ 2РоР%-Рб+ р2 'Рб - р2Х= Р6+р2'(14.12){2 + 112 + (2 + х 2 = 1.Если теперь ввести функциюф (р ) -_ .;sPOт -5/ 2(р22 2 (р _()о + Р ) Ip ) - ф ~,1I, (, Х ,то уравнение(14.13)(14.11) может быть преобразовано К виду1Ф(~, 11,(, х):::: 211"2 Роf '~ _~'12 + 111-11'12 +Ф({',l1',(')х')d{}1( -('12+ Ix - x'12'(14.14)где dO - элемент поверхности сферы единичноro радиуса в четырехмерном пространстве, по которой проводится интегрирование.
Уравнение(14.14) инвариантно относительно вращений в четырехмерномпространстве, и, следовательно, его группой симметрии будет группа0+(4).На основании теоремы Виrnера мы можем угверждатъ,что собственные функции этого уравнения ДOJIЖНЫ преобразовываться по неприводимым предcraвлениям группы 0+(4). Неприводимыепредставления rpуппы 0+(4) мы получим в главе XXI. мы сможем тогда убедиться, что классификация состояний по ЭТИМ представлениямгрупIIы0+(4) совпадает с обычной классификацией состоЯНИЙ атомаводорода и объясняет дополнительное вырождение.Интересно получить ЯВНbIе выражения инфинитезималъныхопера-торов представлений грynпыI четырехмерных вращенийl ).
для нашейзадачи они являются квантовомеханическимиинтегралами движения.1)Добронравов ю. А. Вестник ЛГУ, N9 10 (1957), С.5.з.вrpynnaчетырехмерном167симметрии атома водородаевклидовомпространствеможношесть незаВИСИМhlXдвумернhIX rшоскостей: ~'I, ~(, ~X,рассмотреть'1(, 'IX, (Х. Поэтому в качестве шести параметров, от которых зависит произвольнаявещественная ортоroнальнаяматрица четвертого порядка,можно выGpaТb параметры поворотов в этих двумерных IШоскостях. Бесконечномалым поворотам в этих плоскостях соответcrвуют преобразования(14.15)в пространстве(14.12)импульсовЭТИМ поворотамсоответствуютсогласноследующие преобразования:{ P~p~ === РжО!зРж- азр"+ Р,;,Р ж == Рж +2р;+ Рб - р2 ,q,Рж"'1,2РоРжР,= Рж + --(j2,РО,21'~ + Рб - 1'2+2/h,,P,P:tР" == Р" + --/11,Р, = Р,,pzPspz == pz + --{31;,PzP"pz = pz + --/12;1'0РО,Рж,Р,Ро(14.16)Роpspz=Рж + --13з,Роp,Pz= Р, + --{33,Ро,2р; + P~ _ р2pz = pz +{3з·2РоПреобразования(14.16)в свою очередь индуцируют бесконечно малыепреобразования в пространстве фунКЦИЙБФ=дФдФдФ-брж +-бр" +-брz.држдр"Opz(14.17)Учитывая связь ФУНКЦИЙ Ф(р) и 4р(р), для последней получим(14.18)Глава168б- А [р;fJl tp - рlXIV.Дополнительное вырождение- Р;2- р; + РБ Otp(p)дРо+ржP,:PIIРо+дср(р) + p.:pz дср(р) + 2 Р.: ср(р)]др,Родр%(14.19)РоИ еще четыре равенства, получаемые крyroвой перестановкой ж, у,z.Мы написали инфинитезималъные операторы, соответствующиебесконечно малым преобразованиям(14.15)в пространстве волновыхфункций <р(р), принадле:ж:ащи:х уровню Е == -~.
Чтобы получить инфинитезимальныIe операторы группы четырехмерных вращений, действующие на любую функцию, разложимую по собственным функциямдискретногоспектра,мыдолжнывеличину~fJтор У - 2Н. За..\fеняя также производные 7ijj;'Розаменитьнаопера-fJIJ7ii;' 7fji; соответственнона iж, iy, iz, мыI получаем окончательные выражения для шести инфинитезимальнъlXоператоров:~.: :L" -~zY - ~IIZ,ржz - рzЖ,}(14.20)Lz = руЖ - РжУ;NжN;,Nz==~ [[р) L]ж - [L, р]ж - ~]vр]" _ '?-]V2r2=! [[/1,L], - [L,22r= ~ [[/1, L]z - [L, jJ]z - ~]222-н'2-н'(14.21)v2_.r-HПервые три инфинитезимальныхоператора совпадают с тремя состаВЛЯЮЩИМИ оператора момента количества движения. эти интеrpалыI'как мы знаем, имеют место для всех сферически симметричных потенциалов. Интегралы(14.21)присущи только кулоновскому пOJIЮ.их можно записать в векторной форме:(14.22)Соответствующая величина в классической механике совпадает с радиус-векторомвторого фокуса эллипса.
Тa.JCЮd образом, смысл этогоинтеграла уравнений движения заключается в фиксировании направления перигелия орбиты, что связано с ее за.\t.кнугостью.4.169Группа симметрии изотропного осцuлл.яmораВ. А. ФОКОМ бьшо показано~ что для состояний сплошного спектрауравнение (14.1) инвариантно относительно группы преобразований,изоморфной группе Лоренца.4.IPуппа симметрии изотропноro ОСЦИJIJIЯТOраПосле того :как бьшо объяснено дополнительное вырождение состоянийатомаводорода,естественнобылопопытатьсяопределитьполную группу симметрии изотропного осциллятора.
Эта группа быланезависимо найдена Демковым, Хиллом и Яухом 1 ).Задача о трехмерном ОСЦИJD1ЯТоре является частным случаем задачиоб n-мерномгрyшIЫизотропномсимметрииосцилляторе.не будетзависетьТак как наше рассмотрениеот размерностиОСUИJUlЯтора,то естественно обсУДИТЬ общий случай.Гамилътониан изотропного n-мерного осциллятора (в атомных единицах) имеет видН=UJ2 2)L (piT+Tqk·n(14.23)k~1Для простоты мы считаем, что масса т== 1.Введем в рассмотрениеоператорыа.= (2w) -1/2(UJQk + ipk), }(14.24)а: == (ш)-1/2(wql: - ipk).Из перестановочных соотношений для р" иQkновочные соотношения для операторов а" иа.а,-a,akak-+а,О=,-++ =а , а А:О,легко получить перестаat.
Они имеют вид+а"а,-- akа,~== uk"(14.25)ГаМИJIЬтониан (14.23) теперь может бьrrь предстаШIен в видеН = w ~ ( atak + ~) .(14.26)Вместо операторов ak можно ввести новые операторы a~, которыесвязаны со старыми произволъным унитарным преобразованием:,~ak== L..J uk,a",,+~++аА:(14.27)== L..J U,kas •Легко проверить, ЧТО в силу унитарноети матрицыIlu 11l"операторыakи a~+ удовлетворя:юr прежним перестановочным соотношениям.1) Де.мков Ю. Н.
Вестник ЛГУ, .N2 11 (1953); F. L. Hi/l, J. М. Juch. Phys. Rev. 57 (1950),641. Здесь мы будем следовать работе Бейкера (Ваиг С.А. Phys. Rev. 103 (1956), 1119).Глава170XIV. ДополнительноевырождениеДействительно, мы имеемa~a: - a~a~ ==L U1ci'Ulj(ai aj -ajai)== О,i, j(14.28)i,ji,jЯСНО также, что гамильтониан (14.26) должен быть ин варианте н относительно преобразования (14.27). Действительно,а 1с+--~".L..J uori а'+·r ,(14.29)r(14.30)Orсюда следует, что группой симметрииn-мерноro изотропного осциллятора является n-мерная унитарная rpуппа и(n).для трехмерного осциллятора группой симме1рИИ ЯВЛJIется, следовательно, трехмерная унитарная группа и(з), которая содержит группувращений в :качестве вещественной подrpуппы.
Действительно, если мыбудем считать матрицу'IUikllвещественной, 1'0 преобразования (14.27)могут бытъ записаны в видезa~=L(14.31)Uk"a"..=1Такому преобразованию операторовпреобразования операторов Q1c и Pk:as ,a~ соответствуют одинаковые(14.32)которые представляют собой обь:rчные вращения в трехмерном пространстве.Обратимся снова к n-мерному изотропному осциллятору и найдемпредставления, по которым преобразуются его вырожденные ВОJПfовыефункции. Изотропный n-мернbIЙ осциллятор можно рассматривать какn одинаковых одномерных ОСЦилляторОВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
