1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 25
Текст из файла (страница 25)
- )2+2a1A 1 + а2 А 2 + азАз + .. ·,то из(13.8)следует(13.2).Таким образом, равенства(13.8)(13.9)ЯВJIЯЮТCЯнеобходимыми и достаточными условиями инвариантности гамильто-ниана относительно грyпnыI вращений. Операторы Aj ЯВЛЯЮТСЯ антиэрмитовыми. Введем эрмитовы операторы Hj = iAj , которые можнорассматривать как квантовомеханические операторы, сoorвeтcтвуюшиенекоторым физическим наблюдаемым.
Действительно, операторы Н;1.151Частица в центральном поле. Орбитальный моментс точностью до размерного множителя 1i совпадают с операторамисоставляющих момента количества движения Е; == hiij , например:__-=L 1 = hH1 = ihAlih(д2:з д2:2 -д)2:2джз= 2:2Рз -где 'р; - составляющая оператора импульса: Р;операторыLjкоммугируют с rамилътонианом2:зР2,Lj(13.10)= -ih k. в силу (13.8)Jiiнашей системы и,следовательно, ЯВJIЯЮТся операторами интеграловдвижения.Таким образом, мы показали, что операторысоставляющихмомента,количества движения с точностью до множителя совпадают с инфинитезималъными операторами представления группы вращений и, еслиуравнение Шрёдшпера инварианrnо О'Пiосительно этой группы, ониявляются интегралами движения.Рассмотрим теперь, :какие заключения можно сделать о свойствахсимметрии решений уравнения(13.1).
Собственные функции этогоуравнеJrnЯ, принадлежащие одному собствеЮlОМУ значению энергии,должны образовыв8ъ базис неприводимого представления группы вращеНИЙ. Из предыдущей главы мы знаем, что в пространстве фуНКЦИЙреализовыватьсятолько представленияD(l) с целыми 1. При этомФУНКЦИИ, преобразующиеся по неприводимому представлению D(l) ,MOryrдолжны удовлетворять уравнеищо(iif+ iii + iil)ф(r) =1(1 + l)ф(r)(13.11)или(lf + E~ + L~)ф(r) = 1i 1(1 + 1),p(r).2Если ФУНКЦИИ, соответствующие вырожденному собственному значению, образуют каноничесКИЙ базис представленияD(l) ,то они удовлетворяют также уравнениюiiзф(r) = тФ(r)илиLзф(r)=hm1/J(r)(т= -1,-1(13.12)+ 1, ...
, 1).В rлаве XII был получен явНЫЙ ВИД фYIfXЦИЙ, образующих базиснеприводимоro представления группы вращений. Поэтому мы можемугверждать, что решения уравнения Шрёдингера (13.1) имеют вид(13.13)Мы получаем, таким образом,следующий резулътат. Собственные функции уравнения Шрёдингера(13.1)с данным собственным152ГлаваXIII.Некоторые nрuложенuя теории представлениизначением образуют базис неприводимого представления группы вращенийD(l)с целым 1. КрСПНОСТЬ вырождения уровня Е, равна 21+ 1.Соответствующие ему собственные функции являются также собственныии ,функциями оператора квадрата момента количества движения.их всегда можно вЫбрать так, чтобы они были еще и собственнымифункциями оператора Lз.Следуетеще отметить,что ПОJlllОЙгруппой1риваемой задачи ЯWIЯется группа 0(3)симметрии= 0+(3) х i.рассмаВ зависимостиот того, является ли ВОJlllОВая функция,симметричной относительноинверсииiили меняет знак, соответствующему состоянию приnисывается квантовое число четностичастицы в силуw =±1.Очевидно, что для одной(13.13)w == (_1)'.для доказательства этого соотношения достаточно вспомнить связьсферических функцийYimс однородными ПОЛШlомами creпени1 пеz.ременных ж, у,Таким образом, для одной чаcnщы классификацияпо собствеЮiому значению орбитального момента содержит в себе ужехлассификацию по чеrnости.
Впоследствии мы увидим (см. главуtfГO DдИ мноroэлектронных2.систем эта зависимостьXIX),отсутствует.Правило сложения моментов количества движенияВ предыдущем пункте мы показали, что операторы составляющихмоментаколичествадвиженияс точностьюдо множителясовпадаютс инфинитезимальными операторами группы вращений. Используя этусвязь, докажем правило сложения моментов количества движения.Пусть имеюгся две невзаимодействующиеторыхнаходитсявцентральномполе,т. е.частицы, каждая из коописываетсяуравнениемШрёдингера типа (13.1). Волновые функции частиц обозначим соответственно через V' lt ml(rl) И 'Ф'2 m 2(r2)' Для тою чтобы не усложнять сейчас рассмотрение учетом принципа тождественности чаcrиц(см.
главу XVII), будем считать, tfГO это частицы различной природы(например, электрон и протон). Тогда волновые функции рассматриваемой сисгемы MOryr быть записаны в виде произведений(13.14)Задача, которую мы хотим решить, заключается в определении воз+ 1) оператора квадрата полногоMOMeнra количества движения ъ2 = (ъО) +Ъ(2») 2 для состоЯНИЙ (13.14).Действие оператора Z(l) /+ Е(2) определяется по формулеможных собственных значений ",2 L(L-о)-(2))_-(1)-(2)(L+ЬV'llm.(rl)Фz2m2(r2)-'Ф'2m2L V'llml+VJl1mlL 'Ф'2m2' (13.15)З.
СпинСравнивая153(13.15) с (12.23), мыI ВИДИМ, что В рассматриваемом случаесоставляющие оператора полноrо момента количества движения совпадаЮт (с точностью до множителя) с инфинитезимальнымиоператорамипрямого произведения представлений n(ll) иD(12).Поэтому наша задача просто сводится к разложениюnpJIМoгo произведениядвух неприводимых представлеНИЙ группы вращеНИЙ на неприводимые представлеНИЯ.
Применяя правило Клебша-Гордана,мы получаем, что квантовоечислоLможет принимать значения11Собственные функции операторов Е2 иФLм(rlJ r2)+ 12J11+ 12 -1, ... , 111 - 121.L согласно (12.28) имеют вид= L C~~'::}Mtp'j mj (rl)"'2m2(r2),(13.16)ml,m2где C~l'::;>.м3.- коэффициенты Клебша-Гордана.Спвив п. 1 для описания состояния частицы в центральном поле мы использовали решения уравнения (13.1), которые преобразуются по однозначным представлениям: группы вращений. Вопрос о том, насколькохороши такие решения (а также и само уравнение) для ОШfсанияреальной физической частицы, должен решаться сравнением с экспериментом. как показывает опыт, уравнение (13.1) не может объяснитьнекоторых наблюдаемых свойств электрона.
В частности, было обнаружено, что нарушение сферической симметрии в результате включениявнешнего магнитного поля приводит к расщеIШению основного уровня энергии Ео(1 = О), который согласно' развитой в п. 1 теориидomкeH быть невырожденным. Однако зто противоречие снимается,если предположить, что ВOJПfовая функция электрона преобразуетсяпри вращениях по двузначному представлению гpyтmы0+(3).В нерелятивистской квантовой механике волновую функцию элек-трона полаra.юr двухкомпоненrной величиной (~~~~~ ) , которая привращениях системы координат преобразуется по законуx:(r')=L(}ij(g)xj(r)(r'= gr),(13.17)jгдеrиr' -координаты одной и той же точки в разных системах координат, а коэффициенты (}jj образуют матрицу представления n{I/2)группы врашений (см.
(12.34). Такую двухкомпонентнуювеJШЧину, заданную в каждой точке трехмерногопространства, называют cnиHopHы.мполем.Глава154XIII.Некоторые nрuложенuя теории представленииВероятность того, что электрон находится в элементе объема d,1Jоколо точкиr,определяетсятеперь выражением(lx.(r),2 + Ix2 (r)!2) dv.IluiJ:1IТак как матрица(13.18)является унитарной, то величинаставляет со60Й инвариант относительно преобразования(13.18) пред(13.17):Ix~(r')12 + Ix~(r')12 == tx 1 (r)1 + tx2 (r)1 2•2(13.19)Найдем вид инфинитезимальных операторов для спинорного поля.Закон преобразования(13.17)мы можем представить в видеx:(r) =2: aijX, (g-l r )(13.20)l'и"ttиx(r) == D(1/2)x(g-lr).Рассматривая, например, поворот вокруг оси Ожз, мы можем с точностью до линейных членов по параметру аз написать,Х (r)rде ~1/2)-7{1/2»)= (Е + Аз аз Х + аз(8Ж2 8Ж1д ) Х,Ж1 дЖ2-(13.21)инфинитезимальный оператор неприводимоro представления D(l/2) группы вращений.
Orcюда следует, что инфинитезимальныйоператор 1з для спинорноro поля имеет вид-АзАналогично Д1IЯ7(1/2)8= Аз+ %2д -11 И 12жl8а ·Ж1 Ж2(13.22а)мы получаем- _ ~1/2)ддА 1 -А(+zз- -Ж 2 - '(13.226)7{1/2)ддА 2 ==А2+Ж1- -жз-·джздЖl(13.22в)дЖ2д%3Предположим теперь, что гамильтониан электрона jj обладает сферической С~\1метриеЙ. Условие инвариантности О1Носителъно группывращений теперь может быть записано в виде1 i ii - iili = О,где операторы1i(13.23)определяются формулами (13.22). Введем эрмитовыоператоры~= i1iAk(k = 1, 2, 3).(13.24)3.Эrи операторы,Сnинявляющиеся в силу155(13.23)интегралами движения,называюr операторами составляющих nолного момента КО1ПfЧества дви-жения.
Оператор j состоит из двух слагаемых: введенного нами ранееоператора орбитального момента количества движения L и оператора Si1iA(1/2) , который называют cnиH08ЫJ1 моментом количествадвижения. Согласно (11.28) в представлении, в котором оператор 8здиагонален, оператор S может бьпь предстаШIен в виде=(13.25)Матрицы(1"1,(72И (1"зназывают матрицамиПаули.При действииоператора SЗ на СJDIНОР Х МЫ получим(13.26)Orсюда следует, что спиноры ( ~l И)(.:2) являются собственныыивекторами оператора 8з с собственными значениями ~ и -;. ТаккакПРОИЗВОJlЪное состояние электрона можно представить ввидесуперпозициитаких состояний:(13.27)то величинаIx 12 dvlопределяет вероятность тoro, что электрон, находясь в объеме dv, имеет проехцию спина на ось OZ, равную ~,а величина 'х2 1 2 d'V имеет тот же смысл дmr проекции спина - ~ ·Рассмотрим приближение, сoorвeтcтвующее уравнению (13.1), когда в гамильтониане можно пренебречь спиновыми операторами.
Тогдаволновую функцию электрона можно представить в виде(13.28)Глава156где (~:)XIII.Не"оторые nрuложенuя теории представлениипостоянный спинор, а функция ~(r) является ре-шением уравнения Шрёдинreра. Значки компонекr спинора удобновыбирать равными соответствующим собственным значениям опера-тора iА з=1-11.,.8з, т.е. равными "2 и -2' Иногда их рассматривают какаргументы фУНIO.(ИИ, которая может приниматьлишь два значения:tp(r)Xl/2'ф(r,{ tp(r)x_ / ,J 2Если уравнениесительно(13.29)0") == cp(r)x(o) ==Шрёдингера для нашейгруппыIвращений,преобразовынатьсязадачи инвариантното его собственныеФункцииотнодолжныпо неприводимым предстаШIениям группыI враще-ний nО). Тогда с учетом спиновоro состояния каждый уровень энергии окажется 2(21 + l)-кратно вырожден и соответствующие ВОЛНОВbIеФункции MOгyr быть выбраны в видеtpim(r) 6(1,1/2,'Plm 6(1, -1/2или(~~т ) ,~~т )(Ясно, что функnии(13.30)(т = -1,(13.30)-1 + 1, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
