1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Действительно,(15.16)С друтой стороны,4p-l q -l Fр = qp-1 4 -1'Фl(Уql)'Ф2(Уq,,) ... 'Фп(Уq.) === qp-lФI (Уl)'Ф2(У2) . · · 'Фп(уп) == q'ФРl (УI)'ФР2(У2) ... 'Фр" (Уп) == 'ФРl (Y€Jl )'ФР2 (YfJJ) . •. 'Фр" (YqD)'(15.11)Мы видим, что действие оператора Р на различные функции Fqэквивалентно действmo разЛИЧНЫХ перестановок apryмeНТOB. Поэтомурезультат применения оператора Р к произвольному элементу (15.13)пространстваRне может быть выражен с помощью какой-либо перестановки аргументов.Покажем, как с помощью операторов Р можно построить инвариантное подпространство пространства В. Выберем, например, из функЦИЙ 'Фi Л функций.
Все перестановки номеров этих функций образуютrpynny S>..Составим оператор сu.м.меmрuзацuu-.°SA~-== L...J Р.pES",(15.18)IЛава ХУ. Группа nересmаново"178Если оператором fis.л подействовать на все функции Рр , то получимn! ФУНЮ..\ИЙ, симметричныхотносительноперестановок .л функций 'Фi.Ясно, что не все построенные таким образом функции будуг линейнонезависимыиии, следовательно,они образуютлишь некоторое подпространство R' пространства я. Докажем, 1fГO подпространетвоя' инварианrnо orносительно любых переетановок аргументов Уl, У2,· ..,уп.Действительно, произвольНЫЙ элемент пространства н' можно представить в виде2.: q 2.: PFq.fi SA ~ cqFq =(15.19)CqES.qES.pESlПодействуем на него оператором произвольной перестановкиментов.
Используя соотношения коммугаuии(15.15),i 2.: cq 2.: 15Fq = 2.: cq 2.: 15Jt q = {}S.\где,ctIqESg==pE SlqES.tаргумы получим2.: d" FtI ,(15.20)tI ES.pES>.ct-Jq'Мы видим, что функция, стоящая в правой части этоro равенства, принадлежитподпространствуя' и, следовательно, ПОДПJЮCтранство R' инвариантно относительно любых перестановок apryмeНТOB.В частности, если .л == n, то подпространство н' будет состоять из одной функцииFs, симметричной относительно любых перестановокфункций 'Фi:Fs== ПsпF == ~ 15р.(15.21)pES.Аналогично можно получить инвариантноеподпространетво,антисимметричноеО1Носительнопереетановок .л функций 'Фi.
Соответствующий оператор антисимметризацииимеет видП АА == Е(-I)Е(Р)15.(15.22)pES>.Если .л= n, тоsn:мы получим функцию, антисимметричнуюотносительно группыРА == ПАпF = L(-I)E(P)PF.(15.23)pES.Для выделения инварианrных подпространств можно npoводитъпоследовательносимметризациюи антисимметризациюпо различнымнаборам функций 'Фi. Нельзя, конечно, проводитъ антисимметризацию по тем функциям, по которым первоначально была выполненасимметризаЦИЯ(иначе мы получим нуль).Мы пока.жем сейчас, что при определенномвыборе операций СИМметризаuии и антисимметризацииможно разбить все пространствоR3.Henpи80дuмыe представления группына инвариантные подпространства,МhIM представлениям.покоторымнужноSn179преобразующиесяпо неприводидля того чтобы указать номера функцийпроизводитьсимметризациюиЦИЮ, составим таблицы (схемы Юнга), состоящие израсставляются в строки по 'лl, 'л2,а строки располагаютсяФi,антисимметризаnклеток.
Клетки". ,'лk ('лl +'л2 + ... +'л1: == п) клеток,друг под другом в невозрастающемпорядкеI I""'---Клетки схемы Юнга заполним номерами функций ф;. Например,дляn= 1312346789101112135Iм.ы условимся сначала проводить антисимметризацию по номерамфункций, располож:енным в столбцах схемы, и последующую симметризацию-по номерам, расположенным в строках.Укажем теперь конструктивный прием, позволяющий определитьте операции симметризации и антисимметризации , которые разбиваR на инварианmые неприводимые подпространства.этот способ фактически свОдится к нахождению соответствующих схемют пространствоЮнга с определенным заполнением клеток и носит рекуррентный характер.
Начнем ссхему Юнга,n= 1,состоящуюв этом случае можно построить только однуиз одной клетки.n== 2,здесь возможныдве схемы Юша, состояmие из одной строки или из одного столбца.=3, cxeмы Юнra получаются добавлением третьей клетки с цифрой 3. n = 4, добавляем четвертую клетку и т. д. Описанный способпостроения мы иллюстрируем таблицей, представлеЮlОЙ на с. 180.nКаждой схеме Юнга мы сопоставим оператор Юнга:Глава180xv. ГруппаnересmаНО8ОКn= 1 Шn=2[ill]~rn---------~n=3i~ r~ ~~ /~nffiillJffiillJ ыm= 4 [ill]ill]rr r~нffi ffiiliJит.д.где q пробегает все перестанов:ки номеров в каждой строке схемыl ЮНга, а р - все перестанов:ки в столбцах.
На основании предыдущегорассмотрения можно угверждатъ, что каждый такой оператор Юнгавыделяет в пространствеRнекоторое инвариантное подпространство.Покажем, что эти инвариаН1Ные подпространства независимы. Затем,подсчитав их число и сравнив его с известным числом неприводимыхпредставлений , на которые распадается регулярное представление, мыс необходимостью придем к заключению, что в каждом из построенных ПОШIространств реализуется одно из неприводимых представленийгpyцnы sп.Итак, докажем, что инвариантные подпространства, построенныес помощью операторов Юнга, схемы которые находятся по указанномурекуррентному способу, не имеют общих элементов.
Наше доказательство имеет эвристический характер и основано на двух фактах, в которых читатель может убедиться, рассматривая таблицу юнroВСJCИX схем:1.Повторное действие одного и того же оператора Юнга на любойэлемент пространстваRдает ОТЛИЧНЫЙ от нуля результат.Последовательное действие двух различных операторов Юнгана любой элеменr прocrpaнства R дает нуль. Действительно, лег2.ко убедиться,что один из этой пары операторов всегда содержитсимметризацию по тем функциям,по которым дрyroй производитантисимметризацию.Если бы соответствующие инвариантные подпространства имелиобщие элементы, то мы приllUIИ бы к противоречию с выс:кaзaJDIымиутверждениями.Наконец,легко понять,что подпространствз,схемам Юнra с одинаковой структурой {~}соответствующие= Аl, А2, ...
, ~k, но отличающиеся ЛИIIIЬ заполнением клеток, преобразуются по эквивалентнымз. Henpuвoдuмыe представления группы181Snпредставлениям. Orcюда следует, что число неэквивалентных представлений равно числу схем Юнrа с различной структурой или числу+ + ... +разбиений n на целые положительные слагаемые ЛlЛ2Ak = n,Т. е. :как раз равно числу классов. Из рассмотрения нашей таблицылегко видеть, что для чисел r{л} эквивалентныхпредстамений всегдавыполняются равенства""" r{л}2 =LJ(15.24)tn .•{л}Сравниваяэто равенство с формулой(3.81),заключаем,что числа r{л} равны порядкам неприводимыx представлеНИЙ l{л}: r{л}=l{Л}.На основании теоремы о разложении реryЛRPНОro предстамения на неприводимые части можно утверждать, что число содержаJ.I.(ИXся в немнеприводимых представлений равно ~ l{Л}. Но так как Е l{л}= Е r{л},{л}{А}{А}то это число совпадает с числом построенных нами инвариантных под-пространств.
Orcюда следует, что в :каждом из этих подпространствреализуется одно из неприводимых представлений группы перестановок Sn. Будем обозначать эти неприводимые представления символами А{.л}.Рассмотрим теперь свойства симметрии функции, принадлежащейбазису неприводимого представления Ll{}}.
Для определенности рассмотрим функцию F{л} , которая получается в результате действияоператора fi{л} на функцию F = 'Фl(Уl) ... 'Фп(Уn):F{л} = fi{A}F =I: Q I:(_l)C(P) РР.q(15.25),Из этоrо определения следует, что функция F{л} должна быть симметричной по перестанов:кам функций 'Фi, номера которых расположеныв строках схемы Юнга (Т. е. относительно операторовQ).Однако, мыIне можем утверждать, что функция F{л} будет антисимметричной отно-сительно операторов Р, поскольку операторы Р иНо согласно (15.14) мы можем написатьQне коммyrируют.PF=p-l F ,(15.26)и поэтому функцию F{}} можно также представитьв видеF{л} ==I: Q L( -1)Е(Р)рF.qТак как операторыQи р(15.27),коммутируют друг с дрyrом, то мы получаемF{A} == I:(-l)Е(Р)ррI: QF.q(15.28)Глава ХУ.
Группа nересmаново"182Наконец, используя еще раз равенство(15.26),можно написатьF{л} == ~(_I)E(P)p ~ 4F.(15.29)qРТаким образом, вместо того, чтобы производитъ антисимметризацию и послеДУЮIЦУЮ симметризацию по номерам функций 'Фi, можнопроизвестисначаласимметризацию,а затем антисимметризациюпо номерам соответствующих apryмeHTOB.
Эrо, в частности, показывает,чтосделанноенамипредставления функцииFвначалепредположениеовозможностив виде произведения не ЯWIЯется принципиальным и носит ЛИШЬ вспомогательный характер. Из формул (15.28)или (15.29) следует, что функция F{.A} должна бъrrъ антисимметричнойпо перестановкам аргументов, номера которых расположены в столбцахсхемыI Юнга.Мы можем теперь резюмировать результаты.Неприводимое представление А{,\} группыI перестановок определяется разбиениемnn ==на целые положительные слагаемые:+ Л2 + ... + Лt,ЛlЛl ~ Л2 ~...~ Лt·В линейном пространстве R, образованномфункциями F(YP1' ..
'; УР.)'где(PlР2...Рп)-всевозможные перестановки чиселреализуerся регулярное представление группыSn.1, 2, ... ,n,Не ограничиваяобщноcrи результатов, можно представить функцию F(Yl' У2,··· ,Уп)В виде произведения n функций 'Фl(Уl) ... 1/Jn(Yn). Разложение этогопредставленияна неприводимыIeчасти можно произвестиоператоров Юнга, соответствуюшихпо указанному выше рекуррентномус помощьюсхемам Юнга, которые строятсяправилу.УпражнеИИJI15.1. Убедиться в справедливости yrвeр.жденИЙ 1 И 2 (с. 180), на примере,когдаn == 3.15.2.Доказать, что характеры представлений rpупп перестановок ДОЛЖНЫбыть вещественными.15.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
