1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 31
Текст из файла (страница 31)
' ,rn ) - одна из вырожденных собственных координатных функций уравнения (17.1). Ясно, чтоФ(rl,r2, ... ,rn)X(0'1, 0'2, ... ,О'n),(17.2)где Х(О'1) 0"2, ... ,0',.) - спиновая функция (спинор n-го ранга), такжебудет собственной функцией уравнения (17.1). Если в (17.2) произвестиперестановкуapryмeнтoB:Ф ( r рр r Р2'•••1r Р.
) Х (tТРl' tТ112'• • .. ,tТР. ) ,( 17.3)то мы опять получим собственную функцию уравнения Шрёдингерас тем же собственным значением. Это позволяет нам построить полную антисимметричную воJШОВУЮ функцию, ЯRЛяющуюся собственнойфункцией нашего гамилътониана, в видеФА = ~(-l)Е:(Р)Ф(rРI' .'. ,rp")X(O'PI' ... ,О'р,,).Р(17.4)Глава190XVII.Свойства симметрии .многоэлекmронных функцийОднако, как мы увидим ниже, не для всякоro решения Ф(rI 7 .",rn )уравнения (17.1) можно построить антисимметричную волновую функцию (17.4), отличную от тождеcrвенноro нуля. Возможность построенияполной антисимметричной волновой функции накладывает определенные ограничения на неприводимые представления д{~}, ПО которымMOryr преобразовыватьсярешенияуравнения(17.1), имеющиефизический смысл.
для ТОГО чтобы выяснить эти ограничения, мы должны сначала определить представление Д{А'} группы перестановок, по которымMOryrпреобразовываться спиновые функцииX(O'I' (1'2, ... ,(I'п). Тогдамы сможем применитъ следующий критерий: допустиМhIМИ неприводимыми представлениями~{A} будуг такие представления,для Koтopыхвпрямом лроизведениид{А} х д{А'} содержится антисимметричноенеприводимое представление.2.Свойства симметрии спивовой волновой функцииСпиновая функцияX(O'I' 0'2, ...
,О'n) n-электроннойсистемы представляет собой спинор n-го ранга относительновращеНИЙ трехмерноroпространства. Напомним, что при вращений системы координат, опреf{)l, 8, f{)2, компонеlПЫ спинора n-го рангаделяемом углами Эйлерапреобразуются по законуX'((I'l, (72,···, (7n)== Е a(11O-; [f{)l' 8, f{)2] ... Q(1.~[rpl, 8, CP2]X«(I'~) O'~, .•. ,O'~),(1'(17.5)где матрица tIQf1f1,[rpl, (J, f{)2]11 - каноническая матрица неприводимого представления D(l/2) группы вращеНИЙ. Матрицы преобразований (17.5) образуют предстааление группы вращений, которое являетсяn-кратной степенью представления матрицами а.
Очевидно, что спинорX((I'I, 0'2, ...,иn ) может быть рассмотрен как тензорn-roрангав двумерном пространстве, и к нему npименимы все результаты, полученныe в предыдущей главе.В заданной системе координат мы можем рассматривать совокупnность2компонент спинора как значения функции отnСПИНО8ЫХ(1", каждая из которых может принимать два значения:или - ~. в результате некоторой перестановки р аргументов этойпеременныxiфункции или значков спинора мы можем получить новую функциюPX(UI, и2, ...
, О'n)== Х(О'р., 0'112'··"О'р.)== Xp((I'I, 0'2, · .. , (l'n).(17.6)Величины Xp(O'I' 0'2, ... ,(I'n) npeобразуются при вращениях трехмерноro пространства также по закону, определенному формулой (17.5),и, следовательно, ЯWIЯЮТСЯ компонентами некотороro нового сnинора.2.Свойства симметрии сnиновоu волновой функции191Действительно, мы имеемX~(O'l' 0'2,··· ,О'n) == х'(О'рр ... , О'р.) =:=:~ а(7Р} ~1 а uр2 tI..2 ••• а uр,. q' x(и~, ... , и~).L.J11(17.7)(1'Так как обозначение значков суммирования произвольно, то мы можемнаписатьХр' (0'1,(1'2,···,О'n) == L.J~ а(1PI u!р1 а(1Р2р2(1'•••а(1pn <t.ra X(Up'l'··.' О'р').8(17.8)(7'Переставляя множители, окончательно получаемL: U(71~X~(O'l' ...
,О'n) =•••au.crIlXp(U~, ... ,O'~).(17.9)(1'Ясно, что любая линейная комбинацияL: CpXp(O'l' и2,··· , иn )(17.10)pESllтакже определяет спинор.Применяя к спиноруX(O'I" ..,ип ) все операторы перестановок р,принадлежащие труппе Sn, МЫ получим n! спиноров. Однако не всеиз них, конечно, будут независимыми. Число независимых спиноровне может превышать числа компонент спинора, равного 2 • В качествеnнезависимых спиноров мы могли бы взять совокупность 2 спиноров,Пу каждого из которых имеется по одной компоненте, отличной от нуля и равной единице. В построенном многообразии спиноров будетреализоваться определенное в главе ХУI представление р(е)n группыперестановок, где (е) - единичная матрица второго порядка.Разложение представления р(е)n на неприводимые части можетбыть выполнено методом, аналогичным тому, который был примененxvв главеДJIЯ разложения регулярного представления.Составим таблицу схем Юнга, используя рекуррентное правило добавления клетки (см.
с.180).П{~}Каждой схеме Юнга сопоставим оператор= L:( _1)Е(р)р L: q,р(17.11)qгде суммирование по р означает суммирование по всем перестановкамаргументов, номера которых стоят в столбцах схемы Юнга, а суммирование поq-суммирование по всем перестановкам аргументов, номера которых стоят в строках схемы Юнга. Действуя оператором (17.11)на спинор X(Ul' 0'2, ... ,иn ), МЫ получим спинор Х{А}, который принадлежит базису неприводимоroпредcrав.ления A{~} грyrшы перестановоксвоих значков. Заметим, что еСJIИ схема Юнга состоит более чем из двухстрок, то спинор X{~}(O'l' и2,... ,О'n) должен обладать антисимметриейI)IaBa XVIl.192Свойства симметрии многоэлектронных функцийотносительно перестановок по крайней мере трех значков.всекомпоненты такого спинора ДОЛЖНЫ равняться нулю,Однакопоскалькуиз трех значков два обязательно совпадают.
Поэтому схемы Юнга,состоящие более чем из двух строк, могут быть исключены из нашегорассмотрения. Допустимые схемы Юнга имеют вид:EfПIJ~~Спиноры Х{Л}, которым соответствуют одинаковые по структуре схемы Юнга, образуют базис неприводимого представления А{А} rpуппыперестановок своих значков.Подсчитаем число r{A} независимых компонент спинора Х{А}. Таккак такой спинор должен бьпь антисимметричнымотносительно перестановки значков, номера которых стоят в столбцах соответствующейсхемы Юнга, то отличными от нуля будуг лишь те его компоненты, у КОТОРЫХ эти значки принимают разныIe значения. При этомвсе компоненты, отличающиеся лишь значением таких значков, совпадают друг с другом с точностью до знака.
Так как по остальным значкам спинор Х{л}симметричен, то независимых компонентбудет столько, сколько можно составить различных совокупностейиз >-1 - >-2 чисел, paBHblX ~ или - ~. Эти совокупности, очевидно,имеют вид1122... 2'111222'11(17.12)-2-2··· 2·Ясно, что их число равно >-1 - >-2 + 1. Таким образом, число независимыxкомпонент спинора X{~} равно Т{А} = >-1 - Л2 + 1. Это означает, что мыбудем иметь такое же число независимых спиноров, соответствующихопределенному заполнению клеток схемы Юнга. Используя таблицуна с.
180, легко подсчитать, что для каждого значения n мы получим,таким образом, 2" независимых спиноров.Независимые компоненты с~метризованного спинора X{~} должны преобразовыватьсяпо представлениюR{л}(а) группы вращений,которое является симметризованной степенью представления а. Найдем разлож.ение представленияления.Мы знаем,R{л}(а)на неприводимые представчто базис неприводимоroпредставлениягруппывращений n(l) может быть построен из 2l + 1 собственных векторов инфинитезимальноro оператора Нз с собственными значениями3.-l, -lС'uмметрuя спиновой и координатной функций+ 1, ... ,l.193Поэтому для того, чтобы провести разложение представления R{,\}(a) на неприводимые представления, достаточно уста-новить кратности собственных значений оператора Нз в базисномпространстве представленияния(17.5) спинор,R.В соответствии с законом преобразоваУ которого (в данной системе координат) только однакомпонента отлична от нуля, будет собственным вектором инфинитези-мального оператора НЗ, который в данном случае с точностью до множителя совпадает с оператором 8з проекции на ось Oz полного спина:SзХ(U} , ...
,иn ) == hiiЗХ(Ul' ... ,о"п) ===п(0"1 + 0"2 + ... + o"n)x(o"l"", О'п).Учитывая, что «антисимметричные»ложныепознакузначения,определяются совокупностямиа(17.13)индексы принимают противопозначения(1.7.12),«симметричных»индексовмы получаем для независимыхкомпонент нашего спинора следуюшие собственные значения:1112(Л 1 - Л2), 2(Л 1 - Л2) - 1, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
