1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Доказать, что если вектор k лежит в привеДСIDfОЙ зоне БрИЛJIЮЭНа, товектор Яk, где R Е К, также принадлежит приведсниой зоне.8.3.. Построить зоны Бриллюэна для простой, гранецснтрированной и объемноценгрированной кубических решетоК. Основные векторы этих рещетокизображены на рис. 1з.а)в)6)Рис.13.ГлаваIXКлассификация колебательныхи электронных состоЯНИЙ кристаллаИСП0JIЪ3уем теперь сведения о неприводимых представлениях проcтpaнcтвelDlЫX групп для ICЛ8ссифихации колебательных и электронныхсостояний кристалла. Мы будем предполагать здесь, что: 1) нормальные координаты кристалла, соответствующие одной частоте, преобразуются по неприводимым представлениям2)пространственнойгруппы;собственные функции уравнения Шрёдинreра электронной задачи,принадле:жащие одному и тому же собственному значению при фиксированных равновесных положениях ядер, также преобразуются по не-приводимым представлениям пространственной группы 1) •Рассмотрим теперь классификацию колебательных и электронныхсостояНИЙ кристалла более детально.
для простоты мы ограничимсятакими пространственными rpуппами,которые не содержат несобственных трансляций.1.Классификации нормальвых колебаниймы будем рассматривать кристалл как систему материальных чаСТИЦ, совершающих малые колебания относительно своих положенийравновесия. Будем предполагать, что положения равновесия частицобразуют конфшурацmo, обладающую симметрией пространствеЮlОЙгрупnыG. Тогда, как известно (см. главу VI, п.
З), декартовы составляющие смещеНИЙ частиц из положеНИЙ равновесия преобразуютсяпо некоторому приводимому представлениюЭТОЙ групnы.от декартовых смещений Жi к нормальным координатамПерейдемqj"2).Еслипод переменной Жi понимать смещение, умноженное на корень из массы соответствующего ядра, то, как мы знаем, декартовы смещения Жiи нормальные координатыqjсвязаны унитарным преобразованиемЖj= Е Cij"Qj,(9.1)j1)В некоторых случаях может быть дополнительное вырождение, связ8юfос с инвариXIH). Подробнее об этом СМ. [5],антностью O11Iоскreл:ьно обращения времени (см.
главу§ 26. ИЛ, 1963.2)Здесь под смещениями z" тах же ках в главе VII, МhI будем понимать единичныесмещения, или орты.1.Классифи"ация нрр.мальных "олебанииqj =~~jЖi'109(9.2)i11(1;11 -гдеyниraрная матрица. Нормальные координаты, соответствующие одной частоте, должны преобразовываться по неприводимомупредставлению npостранственной ГPynIIЫ. Их всегда можно выбратьтак,чтобы ОНИ были собственными векторами оператора трансляцииtaна вектор решетки.
Будем считать, что это сделано. Тоrдасогласно(8.3)мы имее~ftoqj= ei (1I O)Qj,(9.3)jгде 'е; - вектор, определяюЩИЙ неприводимое представление rpynnыIтрансляций то, по которому преобразуется нормальная хоордината qj.Если же операцию трансляцииприменитъ к некоторому смещению Zi,то мы получим смещение Z " эквивалентного ядра в элементарной ячейKe' сдвинугой на веК'Тор а по отношению к исходной ячейке. Поэтому,применяя оператор трансляции {о к обеим частям равенства (9.1), мыполучимt,.Ж;= ~ CjjtoQj,Жi' = ~ Cijеi('чО)qj.j(9.4)jНапомним, что величина Qj изменяется с течением времени по rзрмоническому законуqJ. -_,(О) ei""tj.Таким образом, мы видим, что смещения Ж; представляют собой суперпозицию гармонических колебаний.
Колебании с оДНой частотойэквивалентных атомов в разных ячейках в силу(9.4)оказываются периодически сдвинyrыми по фазе. Длина вoлны каждого колебания, оче-видно, равна ).;= 21rfkjl-l. Другими словами,каждому нормальномуколебанию, выбранному так, чтобы оно преобразовывалосъ по неприводимому предста.влению гpymIы траНСЛЯЦИЙ, соответствует lШосхаяВОJПfа с ВOJШовым вектором, paвHым векторуkэтого представлеНИJl.Сколько имеется неза.висимых ВOJПI с одним и тем же ВОЛНОВЫМвектором"1для этого нам надо узнать,скольхо раз неприводимое представление тpymIы трансляций, соответствующее этому значению 'е, содержится в представлеНlOlD,которое реализуется на всехсмещениях Жj. Заметим, что преобразование транСЛЯЦИЙ связываетсоставляющие смещений только эквиваленnшx атомов В pa3JDlчныхячейках КРИСТaJШ8.
Если число атомов в ячейке равно В,то всемногообразие смещений {Жi} можно разбить на 3в мноrooбразий ,на каждом из которых будет реализоваться реryJUIpиое представление группы транcmщий. Мы знаем, что неприводимы:е представлениягруппы трансляций одномерны и поэтому в регулярном представленииMOryr встретиться лишь по одному разу. Поэтому в представлении DDIaвa110IX.КлассuфШ(,ацuя состаянии "рuсmШ1JJакаждое неприводимое представление содержится точно38раз. Такимобразом, мы получаем ответ на поетавлеЮIЫЙ вопрос: число различныхнормальных колебаний,или число различных IUIОСIOlX волн с одними тем же ВOJПIОВЫМ вектором, всегда равно 38.Среди всех нормальных колебаний осоБый интерес представляют=так называемые предельные колебания с волновым вектором kо.Их число также равно 38.
Из формул (9.4) видно, что при этих колебаниях движения эквивалентных атомов в различных элементарныхячейках происходят в фазе. Если представить себе кристалл состоящимиз подрешеток эквивалеН11fЫХным колебанияматомов, то можно сказать, что предельсоответствуютколебания подрешеток друг относительно друга. Различные предельные колебания отличаюrcя друг от друга как фазами, так и частотами колебаний подрешеток.
Ясно, что срединих дoJlжныI быть три степени свободы, которые описывают синфазныедвижения всех подрешеток, т. е. движение кристалла как целого.Нормальные координаты, соответствующие одному и тому же значению волнового вектора, дoJIжны преобразовываться(приводимому)по некоторомупредставлению группы Н" этого ВОJПIОВОro вектора.Представление Г, как БыJIo показано в главеVIII,при отсутствии несобственных трансляций определяется предстзмением точечной группы Рlc • Нормальные колебания, преобразующиеся по неприводимомупредставлению .rpуппы F", должны иметь одинаковую частоту. Найдем представление Г. с этой целью рассмотрим смещения атомов,принадлежащих некоторой фиксированной (нулевой) ячейке:ж~О)=LCijQj,i= 1, 2, ...
,38.(9.5)jСмещения атомов ячейки, отстоящей от данной на вектор решетки а,согласно(9.4)имеЮТ видж~о)=LCijei(A:jo)Qj.(9.6)jРассмотрим теперь некоторые специальные смещения ж~О) и ж~о),которые получаются из (9.5) и (9.6), если положкть равными нулю всенормальные координаты qi, кроме тех, для кorорых kj = k. Мы можемнаписать(9.5а)i(i о) _ (О)""q.-eJ,..'""3 1 Мi;.(9.6а)1.Классификация 'J,ормальных колебаний111Выясним закон преобразования смещений ж~О). Очевидно, величины qj (kj = k) будуг преобразовыватьсяподобно величинам Ж~О).При преобразованиииз точечной rpупIIы F. смещения ж~О) могут переходить либо в ЛШlейные комбинациисмещенийатомов этой :же ячеЙКИ,либо в линейные комБЮIации смещений атомов соседних ячеек. Од-нако для рассматриваемых специальных смещеНИЙ ж~О) в силу (9.6а)можно всегда ограничитьсялинейныIи комбинациямисмещеНИЙ ато-мов одной ячейки.
Вычислить характеры npeобразованиявеличин ж~О)можно с помощьюобобщенияспособа, рассмотренноюв главе VI. Еслипри преобразова.нии9из группыF.атом нулевой ячейки переходитв атом ячейки а, то соответствующийв:клад В характер равенесли 9 - поворот;если 9 - зеркальный(1 + 2cosVJ)ei(l:a),(-1 + 2cos /p)ei(kCJ),поворот.}(9.7)В результате мы получаем следующие формулы для характеров представления, которое реализуется на смещениях i;~O) :Х= (1 + 2 cos <р) ~ n а е (lш)для поворота,х= (-1 + 2 cos 'Р) ~ по ej(to)для зеркальноroповорота, (9.9)i(9.8)огде Па -число атомов нулевой ячеЙКИ, переходящих при coorвeтcтвyющем преобразовании в ячейку а.Ясно, что такие же характеры имеет представление Г, по кoroромупреобразуются координаты qj с воJшовым вектором 1с;k.=Теперь, применяя формулу(3.88), основcuшyю на свойстве oJ1ГOroнanьности хараюеров неприводимых представлеНИЙ, мы получимразложение представления Г на неприводимыI•.Резюмируемполученные результаты.
Нормальные КWIебаиия :кристалла классифицируютсяс помощью волновою вектора ~, лежащеroв бриллюэновской зоне. Каждому вектору lс coarвeтcтвуют 38 нормальных координат, где 8 число атомов в элементарной ячейке.Нормальные координаты, преобразующиеся по неприводимому представлению группыимеют одинаковую частоту. Такую же частотуF.,имеют сoorвeтствуюшие нормальные координаты, принадлежащие другим векторам звезды вектораlc.мы провели наше рассмотрение для кристаллов,пространетвенвые группы K01'opых не содержат несобственных 1р3.нCJIЯЦИЙ. Однаковсе результаты MOryr быть аналогичным образом получены и для более сложных групп. При этом классификация нормальных координат,соответствующих одному значению ВOJПfовоro вектора, ДOJDКНaГлава112IX.Классифи"ация состояний "ристаллаnpoводиться не по представлениям группыF.,а по представления.мгруппы H~.При получении сведений о нормальных колебаниях кристалла мыопирались только на соображения симметрии.
Однако картина будетнедостаточно ПОJПIОЙ , если мы не выясним некоторые допоmmтeлъные свойства спектра собственных частот кристалла. В гармоническомприближении смещения атомов кристалла удовлетворяют уравнениям(9.10)Будем ис:кать решение, соответствующеевкладу ОДНОГО нормальногоколебания,т.е. поло~м1'89(0) _ c_ei(ia)-ic..rtfllJj J•Torдa система(9.10)сведется к системе3,(9.11)линейных однородныхуравнеНИЙ для коэффициентовс;.
Условиемсуществованиянетривиальноroрешения ЭТОЙ системы будет условие равенства нулю ее определителя. мы получим алгебраическое уравнение степенивеличин38относительноlJ)2. Решения этого уравнения и дaдyr собственные частотынормальных колебаний для данного значения волнового вектора k,симметрию которых мы только что определяли. Мы получим 3, кор-нейlJ)1(k), lJ)2(k),величины lJ)1, lJ)2,этих функций при,lJ)з,(k).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
