1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Таким образом, наряду с собственными точечными группами СП,обозначать как пару собственных точечных группD n , Т, О, У, мыимеем несобственные точечные группыI следующих типов:СП хI,Dn(С2п , сп),хI,Т х(D n , сп),I, О х I,(D2n7 D n ),YxI,(О, Т).Поскольку инверсия коммутирует с любым преобразованием, тоочевидно, что группа(G"A)изоморфна группеG.Подводя итог,можно сформулироватьследующую теорему:Любая точечная группа (собственная или несобственная) изоморфналибо одной из собственных точечных групп (СП, Dn , Т, О., У), либоnрямому произведению одной из указанных групп на группу инверсии.3.Неприводимые представлении точечных группУстановив число классов группы,числоеенеприводимыхиз соотношениямы одновременнопредставлений.Порядкиопределяемих можнонайти(3.81).
для определения характеров неnpиводимых3.Henpuвoдu.мыe nредсmав.ленШI mочечных групппредставленийностимогутбытьИСПOJIЪЗованысоотношения73opтorOHaJIЪ(3.86) и уравнения (3.107). Ниже мы приведем таблицы характеров неприводИМhIX представлений точечных групп, встречающихсяв приложениях. Мы будем обозначать неприводимые представленияпервоro порядка буквами А и В, представление второго порядкабуквой Е, представление третьего порядкабуквой-F.-Комплексносопряженные представления первого порядка мы будем объединятьв пары и каждую пару также обозначать буквой Е.1. lPуппа Сп. В эту группу входят повороты с: на углы2: k относительно некоторой оси п-го порядка. Группа СП является однойиз реализаций абстрактной циклической группы n-го порядка.
Таккак Сп абелева группа, то все ее неnpиводимые представленияпервоro порядка. Они определяются числами1,где Е,Е"2n-lEz,.··, Е,,= ехр 2:; 1 есть l-й корень уравнения Е = 1. ПриведемnтаблицыхарактеJЮВ неприводимыIx npедставлений для групп С2 , Сз И С4:С2Е С2СЗЕ СЗС4cj1-1ЕА1В-1i-iЕ{Группа С2 изоморфна группе инверсииI.С4сlсl111 -1-1 -i-1iЧетное (А 1 ) инечетное (А 2 )неприводимые представления последней обозначаюr через А у и(значки 9 и u происходят от немецких словчетны,, нечетны)•.11..gerade,.и «ungетде,.Au-I}tуппа СнА.
Кроме элементов группы Сп в нее входит отражение t11a в IU1ОСКОСТИ, перпендикулярной к оси вращения, и всевозможные npоизведения вращений на это отражение; вcero 2n элементов.Элементы Е и 0'1& образуют подгруппу 171& группы СП 1& , изоморфную группе I. Абелева группа СП" мож.ет рассматриватьсякак прямоепроизведение группы СП и группы 171&: Сn 1& = Сп х 171&. В соответствие с правилом построения неприводимых представлений прямоroпроизведения групп, расемотренномпредставлениягрynпыIв п.4главыIV,неприводимыеCnh могут быть получены из неnpиводимыхпредставлений группы СП прямым умножением последних на Ag либо A u • В результате число неприводимых представлеНИЙ удваиваетсяи они подразделяются на два класса - четные и нечетные. Такимобразом, группа СnЬ имеет 2n неприво,nимых представлений первогопорядка.
Смотря ПО тому, с каким ИЗ двух неприводимых представлений гpymIыI ·t7h (четным или нечетным) перемножаются представления74ГлаваVI.Точечные группыIPуппы Сп, обозначениям неприводимых предстамений труппы Cnhцр.иписываются индексы 9 ИJПI и. Например, для IPуппы C2h мыимеем следующие неприводимыепредставления:C 2hЕС2lТhlТh . С211-1 -11 -1-11AgBgАuВU11-1-1эта таблица получается из таблицы характеров группы С2 добавлениемдвух столбцов, соответствующихклассам, содержащим отражение. Характеры этих классов такие же, :как характеры классов труппыI С2 длячетных представлений, и отличаются знаком для нечетных.
Если n -=четное число, то инверсия iС(1Г)О'h является элементом группы C nh ,И В этом случае Cnh == СП х i. При n - нечетно~, Cnh предстамяется как пара (C2n ) Сп) и, следовательно, изоморфна группе C 2n • При0'"ЭТОМ повороту на угол 2: т, сопровождаемому отражением, С ( 2: т)В группе C nh сопоставляется поворот С ( ~ (2т + 1») в группе С2n .111. l}Jуппа Cn.v.
Кроме элементов, входящих в СП, она содержитеще отражения (1'uа) 8 = 1, 2, ... , n, в n плоскостях, проходящих черезось п-го порядка и образующих угол ; друг с другом. Эro группасимметрии правилъной n-yrолъной пирамиды, высота которой служитосью симметрииn-roпорядка. Группа Сп" неабелева. Действительно,легко показать, чтоC~tт" = O'vC;",(6.19)где O'v - отражение относительно любой из n плоскостей. Согласноклассификации несобственных точечных IPупп, проведенной в п.2этой rлавы, группа trf) может быть предста.влена как пара (Dn) Сп)и, следовательно, изоморфна IPуппе D n • При этом отражению (1'vВ группеD n сопоставляется поворот вокруг оси второго порядка.Подсчитаем число классов грynпыI C nv .
Элементы с= и с;" входятв один класс, и поэтому, если n четное, то элементы подгруппы СПраспадаются на I + 1 классов, а если n нечетное, то наклассов.Все отражения входят в один класс, если n нечетное. В этом случае всеплоскости отражения могут быть получены из одной поворотами на ~.Если n четное, то поворотами намы получим толъко половинуn!l2:всех плоскостей отражения, и, следовательно, отражения распадаютсяна два класса. Таким образом,распадаются нав случае четногоnI +3 классов, а в случае нечетноro nэлементы группы- на п;З классов.Неприводимые представления IPуппы можно построить следующимобразом. Рассмотрим базисные элементы 'Ф,(1 =О,1, 2, ...
) n - 1)3.Henpивoou.мыe nредсmавленUJI точечных групп75неприводимых представлений первого порядка группы Сп. Обозначаяоператор представления, соответствующий элементу c~, через С:, мыможем написать(6.20)Наряду с элементамиф, рассмотримэлементыопредеJПIВ ихtP-I,соотношениемUf)tPl == 'Ф-I.(6.21)ЭлементыtPI и 'Ф-, образуют двумерное инвариантное подпространстводля группы Cnf). Действительно, используя (6.19), легко показать, что-1сСn'Ф-Iс 'Ф"2.Ь,е--;- Ф-I.
Следовательно, элемент 'Ф-l линейно независим=если 1 =1= о и 11=Iпри n четном и если lчетном. Таким образом, в случае четного n имеетсяпредставлений группы Спи, даваемых матрицамиc~ ~ (ekt:совокynнос1Ио при n недвумерныхe-?~k),1 == 1, 2, ... , ; - 1,Очевидно,1=n- 2ма1рИЦ,(6.22)! + 1, ... , n -соответствующих1.элементамс:и C;~ входящим в один класс, совпадают в т-м и в (n - т)-мnpeдставл:ениях, и, следовательно, мы таким путем получаем1!-неэквивалентных представлений второго порядка. Оставшиеся четыренеприводимых представленияЕсли-нечетное, то изпервого порядка.мы получаем n - 1 двумерныхнеприводимых представлеНИЙ, среди которых !!у! неэквива,лентных.n(6.22)Кроме ТОГО, в этом случае будем иметь два неприводимых представлеНЮI первого порядка. для иллюстрации npиведем таблицы xapaк:repoBнеприводимых представлений групп СЗf) ИСЗtJЕA11111 -11О2 -1А2Е2СзС41130'11AIА2В1В2ЕIV.1Руппа8211.Элементами этойкального поворота S2n= O'h C (~):Е 1 S2n,ЕC 4f):С22С.20'v20"~1111 -1 -11 -11 -111 1 -1 -1ООО2 -211111группы822n, ...
,82n-1 .2пивляютсястепенизер-(6.23)76ГлаваVI.Точечные группыТаким образом, S2n - циклическая группа порядка 2п. Четные степени S2n образуют подгруппу, совпадающую с группой Сп. В целомгруппаS2n(как циклическая) изоморфна группе С2п. При нечетномnона содержит инверсию,и ее можно также представить в виде прямоro npоизведенияC2nS2n представима в виде пары (С2n, Сп).При нечетном n группаv.IPуппаDn•ХI.Кроме элементов группы СП в нее входят поворотына угол 11" относительнопосей,перпендикулярныхк осиn-го порядка.
это грYJПIа поворотов, совмещающих правильную n-уголънуюпризму саму с собой. Как уже отмечалось выше, группа D n изоморфна группе C nv • Повороту второго порядка в группе D n соответствуетотражение в плоскости в группе Cfj. Следовательно, неприводимыепредставления этих ГРYJПI совпадают.l}Jуппа D nh - группа симметрии правилъной n-yroльной призКроме поворотов, входящих в группу D n , она содержит ещеVI.мы.nзеркальных поворотов вoкpyr осиn-гопорядка иnотраженийв lШоскостях, проходящих через ось п-го и оси второго порядка; всего4nэлементов.
Легко написать таБJПIЦУ характеров этой группыI' принявво внимание, чтоD nh =пn х trh,еслиnнечетноееслиnчетное.иDnh== D nХi,n rpYJП1а D nh представимакак пара (D2n, пп ) и поэтомуD2n.VII. l}Jyпnа D nd - группа симметрии тела, состоящего из двух праПри нечетномизоморфна rpуппеВИJIЪных п-угольных призм, поставленнъlX друг на друга и повернyrыx:одна относительно дрyrой на угол ~. При нечетном пимеемD nd =DnПри четномхI.nD nd = (п2п, пп ).Следовательно, в последнем случае группа Dnd изоморфнагруппе п2п.VIII.l}Jуппа Т содержит все повороты, совмещающие правильныйтетраэдр сам с собой. Через вершины тетраэдра (и центр противоположной грани) проходят оси третьего порядка, а через серединыкаждой пары непересе:кающихся ребер - оси второго порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
