1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 10
Текст из файла (страница 10)
PaccMOТPIL\f теперь поворот (или поворот с инверсией), которыйсовмещает положения равновесия эквивалентных частиц. При этом,очевидно, сохраняются взаимные расстояния между частицами. Совокупность всех таких преобразований образует группу симметрии Gнашей системы.
Фиксируем теперь конфигурацию частиц, которая характеризуется смещениями Xl, Ж2, ••• ,ЖЗN. для каждой частицыI введем2.Симметрия cucme}tfbl частиц, сОвершающих .малые колебания59систему декартовh1X осей с началом координат в положении равновесия.соответственныIeоси для всех частиц будем считать параллельными.Если мыl теперь рассмотрим совокупность ЗN ортовej, то смещениям:1:1, Х2, ••• ,ХЗN можно сопоставить вектор в ЗN -мерном пространстве(5.18)Произведем теперь поворот у, который совмещает положения равновесия эквивалеН1НЫХ частиц. Эrот поворот переводит каждый орт eiв некоторый другой орт или в линейную комбинацию ортов. Таким9 мы можем сопоставитьоператор ~, действующий в ЗN -мерном пространстве:образом, каждому поворотуопределенныйL D1:i(g)ek.~ei =(5.19)kПри действии операторомTgна вектор z мы получимили(5.20)Ясно, что операторы ~, так же как и маТРИЦЪJ п(у), образуют представление нашей rpуппы.
Конфигурацияиз конфигурации {Ж},... , ХЗN}{х;,... , X~H}получаетсяВ результате поворота 9 всей системы частиц и последующей перенумерации частиц, соответствующе·Йобратному повороту у-I (рис. 1):440------0----0 2 3 O - - - - - - O - - - - Q .3а)40------0--_-0..22з6)Рис.в)1.для того 'Побы написать явный вид матрицыD{g),удобно ввестинумерацию смещений с помоl.ЦЪЮ ДВУХ индексов: XiQ. Первый индекс60Глава У. Теорема Вигнерабудет обозначать номер частицы, второй - номер декартовой составляющей смещения. Сoorвeтcrвeино элементы матрицытеперь будутnиметь вид Dia, fcl1 (g). Определим положение равновесияi - й частицывектором R~O), а произвольное положение этой же частицы - веК1li,торомпроведенными из центра инерции системы. Тогда векторсмещения i-й частицы можно представить в видеr.= В.
-B~O).Обозначим через А(у) матрицу преобразования 9 в трехмерном пространстве. Если при преобразовании 9 вектор B~O) переХОДИТ в R~O),то мы можем написатьri == ~rlc == A(g)~ - A(g)R~O) == A(g)rk.(5.21)Следовательно,(5.22)илиn = R(g) х А(у),где матрица(5.22а)состоит из нулей и единиu, причем если положеR(g)ние равновесия k-й частицы при операцииравновесия i -й чаcтиuы, тоRiJ:(g):=Rij(g)1,= О,9еслипереходит в положениеj1= k.Напишем теперь выражение энергии системы для конфигурациисмещеЮIЙ(5.20).для упрощения записи мы возвратимся К преж.неЙнумерации смещений с помощью одного индекса.
Будем предполагать,что кинетическаяподстановкаэнергия уже приведена к сумме квадраТОВ.(5.20),Тогдасоответствующая ортогональному преобразова.нию,сохранит ее вид. Для потенциальной энергии мы получим1V= 2 Е Vlj Е V,IcЖ1с Е Vj/Z/ =i,jkl=~L{V·}kj tlijDjlZ1сЖ/i,j, ", lгде'V~, ==Матрицу у'= 11'V~,11Li,; {n*}J:i= ~ L VЫZk Ж/,",''VijDjl.можно, следовательно, представить в видеу' =n*уп3.61Теорема Вuгnераили, в силу ортогональности матрицы п,у' = D-1y п.Но, с другой стороны,(5.23)ясно, что энергия ДЛЯ конфигурации{х'}должна совпадать с энергией для конфигурации {ж},. так как энергиярассматриваемойсистемы зависит только от взаимного расположениячастиц, которое одинаково для обеих конфигураций.Следовательно,мы имеемоткуда получаемIVkl==Vkl·Поэтому условие инваJ)иантностисистемы относительно преобразования9 может быть заПILсано соrласно (5.23) в видеуп(у) ~(5.24)D(g)V,Т.
е. в виде услов'm К<Iммутативностиматрицы потенциальной энергиис матрицами предстЗf лений группы симметрии.3. TeopeMJLВИГllераТеперь мы докЮI :ем теорему Вигнера и получим следствиятеоремы для 3flДач, pl.ccMoтpeHHыx в п. 1 и 2.ПустьэтойD(g) - не к:oтopoe~ вообще roворя, приводимое представлеG • Bblt')epeM базисные элементы этого представления так,ние группычтобы оно рас палоеь на неприводимыIe части. Тогда ,..tатрицаD(g)будетиметь квазИД1 fаroнальный видD(l)(g)D(2)(g)D(g) ==D(3)(g)где D(i)(g) - матрица i-ro неприводимоro представления группыI G.Если пред :тавление D.(i) входит в прецстаWIеlIие D ri раз, то мы :можемнаписать(5.25)гдеE r,-единичная матрица порядкаri.
Пусть, далее, некотораяматриu а Н коммутируетсо всеми матрица~(и D(g):HD(g) == D(g)H.(5.26)62Главаv.Теорема ВигнераДокажем, что матрица Н должна иметь видН = I:ФН(i) Х EI"(5.27)-где H(i) - некorорая маТРlЩа порядка ri, Е,.единичная матрицапорядка li, а li - порядок неприводимого П]Jeдставления D(a). Эrоугвержцение и составляет содержание теоремы '3JП'Нера.Будем рассматриватьквазидиаroнальнуюма1РIЩY D как диaroнальную суперматрицу с элементамиDik == D(i) би,.(5.28)Матрицу Н также пред став им в виде супеРМI\ТРИЦЫ с аналогичнойструктурой:Н==Так как суперматрШ1ЫННН12Н1ЗН21Н22Н2ЗН31Н32НззсоответствующейС1РУКТУ}'Ы можно перемножать, как оБычныe матрицы (см. упр.4.2), то УCJIовие хоммутативности (5.26) можно представить в видеI: Dj,(g)H,k = I:, Нi,D,.(я)ИЛИ, учитывая(5.28),D(i)(g)HikМатрицы D(i)(g) и D(k)(g) -= HikD(I)(g).(5.29)матрицы неприводимЬ1Х IIp,дстаWIенийrpуппыG.
Поэтому на основании первой и вtopc А леМl ( Шура мыможем yrвeрждатъ, что H ik - нулевая матрица, С(.J1И D(i' И D(k) -неэквивалентные представления, и Hik крата едикичной, если представления D(i) и D(I) совпадают. (Подчеркнем, чro в ПOCJleдliем случаенедостаточно, чтобы представления D(i) и D(I) БJiли эквквапентными;матрицы этих предетаWIенийдолжны то:ждествеиilоС08пада'П,.)Для того чтобы представить себе явный виц ма1РИЦЫ J Ч, удобно ввести нумерацию элементов базиса представления D t помоЩЬЮ трех значков: i, 11, а. Первый значок i нумерует непрИЕ одимыепредставления; индекс 11 нумерует базисы эквивалентных н{ 'npиводимых представлений; значок а нумерует злементы базиса _'Iеприводимого предстаWIения. Соответственно матричные элементъ.' матриц D и Н мы будем нумеровать с помощью шести индt ~KCOB:3.63Теорема Вигнераi, 1/, а; i', 1/', а'.
Тогда элементыI матрицы НMOryrбьnъ представлены в виде·., Н.lIa;а' 11 а' -н(') ~ .., ~(5.30)vv' и.а иаа'·Orсюда непосредственно следует, что матрица Н действительноможет быть предетамена в виде(5.27).Например, если матрицаDимеет вид(п{1)ОD==ОD(I)ооОО),D(2)то матрица Н будer иметь видн(l)11л(1)12н(1)н(l)н(l)11н(I)н(l)12H~)21НО)Н==О1211н(1)2221НО)21ОН(О22н(2)11н(2)11ООн(2)11Если каждое неприводимоеставлениепредставление rpуппыI G входит в предD не более одноro раза, то матрица Н согласно (5.30)будет диагональной. Если же какое-либо неПРИВОДIL\fое представлениевстречается в разложении представления D несколько раз, то, как мывидим, для ПOJlllой диaroнализации матрицы Н недостаточно соображений симметрии.
Необходимо еще дополнительное преобразованиев подпространстве всех базисных векторов, соответствующих oдmIaKOБЫМ неприводимым представлениям. Следует, однако, заметить, чтоэто допалнительное преобразование не изменяет квазидиаroналъноro64v.ГлаваТеорема ВигнераD и осуществляется с помощью диагонализации матриц H(i). В C~\iOM деле, легко проверить, что ма'lpица вида Е U(i) х Е" ,вида матрицыiгдеU(i) -матрица порядка ri, диагонализующаяма'lpИЦУ H(i), коммугирует с матрицей представленияп=~LJEr•хп(i).Если матрица Н будет полностью диагонализована, то она может бытьзаписана в виден == Е jj(i) Х Е,.)(5.31)где jj(i) - диагональные ма'lpицыI.
Если все собственныIe значениявсех матриц jj(i) различны, т. е. нет случайного вырождения, то мыможем угверждать, что собственные векторы матрицы Н, принадлежащие одному собствеЮlОМУ значению, преобразуются по одномуиз неприводимых предсгавлений группы G. Следовательно, кратностивырождения собственных значений ма'lplЩЫ Н в этом случае ДОЛЖНЫсовпадать с порядками неприводимых представлений группы G.Рассмотрим теперь некоторые следствия, вытекающие из доказанной теоремы.Полученные результаты MO:ry:r быть непосредственно примененык задаче о малых колебаниях.
Действительно, условие симметрии системы, совершающей малые колебания, может быть выражено какусловие коммyrативности матрицырlЩами представленияпомним,D(g),Vпотенциальной энергии с маткоторое реализуется на смещениях. Начто такая форма условия инвариантности потенциальнойэнергии имеет место только в силу ортогональности матриц упомянутого представления. Если мы построим сuм.метрuзoванные смещения,т.
е. линейные комбинации смещений, преобразующиеся по неприводимым представлениям рассматриваемой группы, то соответствующаяим матрица потенциальной энергии примет ВИД, определяемый формулой (5.27):(5.32)Мы видим, что построение симме'lpизованныхтельно упрощает диагонализациюма'lpицы1смещений значипотенциальнойа в тех случаях, когда в разложении представленияDэнергии,каждое неприводимое представление встречается не более одного раза, решает этузадачу полностью.
Если нет доnолнительного 8ырождеНUR, то каждойсобственной частоте соответствуют нормальные координаты, которые3.Теорема Вигнера65nреобразуются по одному из Henpuвoдu.мыx представлении группыG.Возможность дополнительного вырождения связана со случайным совпа-дением собственных значений матриц v(i). Изменением параметровзадачи,неПрИВОдJll.I.{Им к изменению еесимметрии, можно всегдадобиться того, чтобы случайное вырождение бьmо снято. Поэтомуугверждение о соответствии собственных частот системы неприводимым представлениямее группы симметрии иногда делают без оговоркио возможностислучайноговырождения, кorорое в большинствеслучаевдействительноoтcyrcтвyeT.К аналогичнымзаключениямможно прийти и МSl квантовомеханической задачи, которая бьmа рассмотрена в п.
1. Здесь, однако, следуетеще раз подчеркнугь, что условие коммyrативности(5.8)выполняетсятолько в том случае, если на выбранной системе функций реализуетсяунитарное представление рассматриваемой группы симметрии. Выбирая в качестве системы функций некоторую полную ортонормированную систему, мы придем к заключению, что при отсутствии CJlучаиноговырожденuя к'аждому собственному значению оператора энергии соответствует "enpивoдu.мoe nредставлеlluе, по "оторому nреобразуются егособствеНllые ФУlIКции.Если базис представления ортонормирован и скалярное произведение инвариантно относительно групповых операций, то представлениеунитарно. Однако если известно, что представление унитарно, то нельзя еще угвер:ждатъ, что его базис ортонормирован.
Теорема Вигнерапозволяет получить некоторые сведения об ортогональности и нормировке элементов базиса унитарного представления п, есJПI оноразложено на неприводимыIe части. Обозначим элементы базиса приведенноro представления через'{JiJla.Значкиi, v,а имеют преЖНИЙсмысл. Введем матрицу IISiva,i'JI'a' 11 , определив ее элементы равенствомSilla, i'v'a':=:(5.33)('{Jiva, '{Ji'va'),где скоБЮL~и обозначено инвариантное скалярное" произведение. Еслипредставление,какидляреализующеесяна элементах'{JiJla,унитарно, то так же,матрицы гамильтониана, условие инвариантности можетБытъ записано в видеSD(g) == D(g)S,откуда согласно(5.30)(5.34)мы получим(i)== SVJl' 6ii' 6аа"(5.35)где IIS;~II - некоторая матрJЩа, порядок которой равен кратности i-гoSiJla, i'v'a' == ('{Jilla, tpi'Va')неприводимого представления в представлеlDlИD.Соотношение (5.35)выражает свойство ортогоналъности элементов базисов, соответствующих неэквиваленmым представлениям, и pa3JUlЧНЫХ элементов базиса каждого неприводимого представления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
