1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 6
Текст из файла (страница 6)
, k) также до.1DкныI бьпъ оprонормипеременнойс помощьюортогональногосохраняет условие оprонормированности:JФi(u;l r)фj(u;l r )dТ = Jфj(r)фj(r)dТ =Отсюда следует, что матрицыТаким образом,6jj .(3.23)IIDij(u,)11 дomкны быть унитаРНЫМИ.каждому преобразованиюи,ИЗ rpyпnыI симме1рИИуравнения Шрёдинreра сопоставляется унитарная матрица k-ro порядка. Покажем, что эти матрицы образуют представлениегруппы. Пустьи, иut -два преобразования из rpуппы. Тогда при последовательномпримененШI их получимk= Фi(u,u,)-I r ) = L: Dli(u,u,)Фl(r).(3.24)1=1с другой стороны,kТu.Тutфi(r)= Ти• L: D j i(u,)1/Jj(r) =i~1ktkj-:::l1=11=1= L: Dji(U,) L D 'j (U')Фl(r) = L{D(u,)D(u,) }'iф,(r).(3.25)28Глава111.Представления КОНАНЫХ группСравнивая окончательные результаты 8D(u,щ)(3.24)и(3.25),мы полУчаем= D(u,)D(u,),(3.26)что и требовалосъ доказать.Важноcrъ изучения представлеНИЙrpупn для данной задачи 38-ЮllOЧается в том, что каждому собственному значеЮlЮ энергии мыможемсопостцить некоторое представление группыиустановитьвозможные типы симметрии волновых функций сисгемы, не решаяуравнения Шрёдинreра.Перейдемтеперь к изучениюсвойствпредставлеНИЙконечныхгрупп.4.Существование ЭКВИВ8JIевтиоroунитарноro представлеИИJIДокажем, что всякое npeдстаWIение конечной rpуппы эквивалентноунитарному.Пусть задано некaroрое предстаWIениеиз т элемеlПОВстаWIенияD(9i)91, 92, ...
, gm.DгруппыБудем рассматриватьG,состоящейматрицы предкак матрицы преобразования в вeкropHOM п-мерномпространстве Rп. Пусть Z(Жl' ж2, ..... ,Ж n ) и У(Уl, У2, ...,1In) - векторыв этом пространстве. Скалярное произведение векторов определим, какобычно:(ж, У) = ЖIУl+ Ж2У2 + ...
+ жnУп·Преобразование D(gi) переводит векторzв вектор(3.27)z(i):nz(i)= D(gi)Z,ж~)= L Dо/J(gi)Жfj)(3.28)13==1вектор у - в вeкrop y(i):(3.29)Допустим, что преобразование D(gi) неунитарное и, следовательно,не сохраняет скалярное произведение (ж, у). Покажем, ЧТО в простраНстве Rп можно так выбрать новый базис, что матрИЦhl Iфeобраэования составляющихвекторовэтого пространствабудут унитарными.для доказательства усредним скалярное произведение(3.27)по срyrше,т. е. составим выражениеmL(D(9i)Z, D(gi)Y)i=lm= L:(ж(i),у(i»).i=1(3.30)4.Существование эквивалентного унuтарного представленияПохажем, что29(3.30) можно представить в видеmL(ж(i), y(i)) == (Lж, Ly),(3.31)i=lгдеL -некоторое линейное преобразование.
для этого запишемследующим образом:t(D(gi)Z, D(g;)11) =(tD+ (gi)D(gi)ZJ11).(3.30)(3.32)mМаТРШ1а Еэрмитова и поэтому может быть приведенаn+(gi)D(gi)i=l.к диагональному виду с помощью некоторого унитарною преобразова-иия У. Мы получимmd = у-1I: D+(9i)D(gi)У,(3.33)i==lоткудаmLD+(gi)D(gi) = Ydy-I,(3.34)i=1гдеd - диаroнальная матрица.Если ввести обозначения D(gi)= y- D(gi)У, то мы можем напи1сатьmd=mI: V- D+(gi)Vу- D(g;)V = L11i=1jj+(gj)D(9i).(3.35)i=lОтсюда диагональныеэлементы матрицы d равнытdaa=nm~"п-+- (gi)L..J "L..Jор (gi)D/Ю=i=l ~=ln~" !Dj3a(gi)12 > о.L..J "L..J(3.36)i=l ~~IОпределимдиагональнуюматрицус элемеJПами {dl/2}aa = ../daa 1 2 1 2Очевидно, что d / d /d.
Используя самосопряженность матрицыI dl/2, мы получимd 1/ 2=m~(ж(i),у(i») = (Уdу-1ж,i=111)= (dl/2dl/2у-lж,=v- 11l)= (d / у- ж,1 21dl/2 y - l y ).(3.37)Глава30111.Представления "онечных группТаким образом, мы действительно имеем равенствоискомое преобразованиеL(3.31),причемимеет вид(3.38)Теперь мы можем доказать, что представление ФУIIIIЫG,даваемое матрицами LDL- 1 , ЯWIЯется унитарным. Сначала покажем, чтодля произвольноro элемента 01: группы G(3.39)Действительно, согласно(3.30), (3.31)т= L(D(Oi)D(Ut)z, D(9j)D(9,)Y) =i=1m(D(9iOJ:)Z, D(Oi9k)У ).== L(3.40)1=1Но мы знаем,ментOiOtчто,когда элементOiпробегаетвсюгруппу,элетакже пробегает всю группу.
Поэтому мы можем окончательно написатьm(LD(OIc)Z' LD(gJ:)Y)= L(D(ОI)Ж,D(!Jl)Y)= (Lz,Ly).(3.41)I=LЕсли теперь ввести векторы ж' == Lz и у'можно представить= Ly,то равенство(3.39)в видеОтсюда следует, что матрицы LD(g,,)L- 1(0. Е G) действительно унитарные.s.Приводимые и неприводимые представлеВИJI группыПусть в пространствев пространствеRnRnзадано представлениесуществует подпространствоное относителъно всех преобразований п, Т.
е.D группы G. ЕслиRIc (k < п), инвариантесли для z Е RIc имеемпж Е RJ:, то представление наЗыS8ется nрuводШfЫМ. Выберем в качестве первых k ортов в пространствеoprы подnpocтpaнства В". ТогдаRn5.Прuводuмые и nenpuвoдuмыe представления гpynnы31матрица представления должна иметь следующий вид:'..D l1c D 1 t+l...
D 1nD21 D22 ...D2t D2t+l...D 11 D 12D2nп1&пооооЕсли же в пространствеоD ni + 1•••п nnнельзя въщетпь инвариантное подпроR,.странство, то представление называется Henpuвoдuмым.Покажем, tПо если приводимое представлениеDунитарно, то ортогональное ДОП01Пlение подпространства Rk, которое мы обозначимчерез Rn-t, также инвариантноотносительнопреобразованийD. действительно, пусть ж Е R t , У ЕR,.-t. Тогда (ж, у)антности подпространства В" имеем(D(g)z, у)= о. в силу инвари= О)(3.43)но(D(g)ж, у) = (ж, D+(g)y) = (ж, n-1(g)y) = (ж,n(g-l)y) =0,(3.44)откудаD{g-l)y Е R,.-t.(3.45)Когда 9 пробегает всю rpynпу, обра1ный элемеш g-1 также пробегает(3.45) выполняется для всех матриц рассматриваемого представления, и инвариантность Rn-Ic доказана.
Если теперьв качестве k первых ортов выбрать орты подпространства R", а в качестве последних n-k ортов - oIJlы подпространства R,.-Ic, то матрицывсю фyrшy. Поэтомупредставления будут иметь следуюЩИЙ квазидиaroнальный вид:D l1D 12D1tООD21Ih2D2I:ООоооооооD nlc +1.,.DnпЕсли пространство R может быть разложено на инвариантные подпространства,в каждом ИЗ которых реализуется неприводимое представление, то представлениеDназывают вполне npuвoдuмы.м. МатрицыГлава32111.Представленuя конечных группэтого представления при соответствующем выборе ортов имеют кваэидиагональный вид:оО.•.ооОо... о ·ооИз проведенного рассмотрения следует, что1)унитарное представление rpynпы всегда либо неприводимо, либовполне приводимо;2) предсгавление конечной rpуппы или неприв одим о , или вполнеприводимо (так .как оно эквиваленrnо унитарному).Если представлениеDприводимо, то приведение его ма1рИЦ к диагональному виду осущесТRЛЯется, :как мы видели, с помощью переходак новой системе ОртОВ.
Мы знаем, что в этом случае матрицы представления исIIЬПЫвают преобразование подобия:D-+V-lD~гдеV -(СМ.(3.7». Поэтому условие npиводимости представления МОЖНО сформатрица,связывающаяoprы старого иновогобазисовмулировать следующим образом. ПредставлеlПlеD ЯRЛЯется приводиМhIM~ если существует такая неособенная матрица V t что матрицыV- 1DV ЯВЛЯЮТСЯ квазидиaroнальными.б. ПерlWl Jleммa ШураСейчас мы докажем важную для приложений теорему (первуюле~\IY Шура):Матрица, ко.м.муmuрующая СО всеми матрицами Henpивoдuмoгo nредставленuя, кратна единичной.Пустьrpуп~D(g) -G, 9матрицамиЕG.ма1рИЦЫ неприводимоro представления порядкаD(g):MD(g)Обозначим черезставлениеD(g).nПреДПОЛОЖIL\f, что матрица М коммyrиpуетсо всемиRn= D(g)M.(3.46)про cтpaнcrвo , в котором реализуется предВ пространствеRnдолжен существовать по крайнеймере один собственНЫЙ вектор матрицы М.
Обозначим его через ж.Мы имеемМж=Аz.(3.47)7.Вторая лемма Шура33Применим к вектору ж преобразование с матрицей представленияD(g)ж = Ж g •D{f}):(3.48)Получившийся при этом вектор Zg также ЯRЛЯется собственным веКтором матрицы М с тем же самым собственным значением л. Действительно, в силуMZ gОтсюда следует,(3.46)мы имеем= МD(g)ж = D(g)Мж = ЛD(g)z = лжg •что подпространствоцыI М, соответствующихсобственных(3.49)векторовматриодному и тому же собственному значению,инвариантно относительно преобразований п(у). Но так как по предложению предстаШlение D(g) неприводи..\fО, то ЭТО подпространсгвоДOJDКНO совпадать со всем пространcrвoм Rп, а матрица М, умножающая любой вектор пространства.на число Л, ДОJIЖНа иметь видRnМ = (~...; ..
~...:.:.:...;ооо...лТаким образом, теорема доказана.Если представление вполне при1Jодимо,ют квазидиaroнальНЫЙт. е. его матрицы имеВИД, то всегда существует матрица,отличнаяот кратной единичной, которая коммутирует со всеми матрицами этогопредставлении. Легко проверить, что в качестве такой матрицы можновзять диагональную матрицу, у которой диaroнальнъtеэлементы, соответствующие различн:ым: блокам матрицы представления,не равныдруг дрyry.Отсюда можно сделать заключение, что если единственной .матрицей, коммутирующей со всеми АШтрицами не"оторого представлениягруппы, является Mampull,D, "ратная единичной, то такое представлениеnenpивoдu.мo.7.BтopaJI Jlемма ШураПусть D(l)(g) и D(2)(g) -матрицы двух HenpUвoдUJНЫX Не3"вивалентнblX представлении группы G порядка П( и п2 соответственно.Тогда ВСЯ1ClJR nрямоугольная матрица М с nl столбцамu и n2 строками,удовлетворяющаясоотношениюMD(l){f})для всех9ЕG,= D(2)(g)M(3.50)до/lЖНа быть нулевой матрицей.ДОlCIJ3аmельство.
Возьмем эрмИfОВО сопряжение от обеих частейравенства (3.50). мы получимn(о+ (g)M+= м+ D(2)+ (у).(3.51)Глава34111.Представления конечных группЕсли представления D(l) И D(2) унитарные, то мы можем написатьn(l)-J (у)м+ИЛИ= м+ D(2)-1 (g)(3.52)n(1)(g-l)м+ = м+n(2) (g-l).(3.53)Если элемент 9 пробегает всю rpуппу, то элеменr g-1 тоже пробегаетвсю группу. Поэтому последнее равенство можно записать также в видеn(l)(g)M+ = м+ D(2) (g).(3.54)Умножим обе части этого равенства слева на матрицу М:Mn(l)(g)M+= MM+n(2)(g).Исполъзуя условия (3.50), найдемD(2)(g)MM+ = мм+n(2) (g).(3.55)Orсюда согласно первой лемме Шура заключаем, что матрица ММ+должна быть кратна единичной:мм+::;: ЛЕ"2.ЗдесьиE n2-единичная матрица порядка(3.56)n2.Рассмотрим теперь три возможных случая:1) nl3) nl > n2.= n2,2) n2 > nl1) nl = n2. В этом случае матрица М обязательно ДOJDКНa бъпь особой, т. е.
det Мо. Действительно, в противном случае из равенства(3.50) мы получили бы условие эквивалентности представлений:=n(l)(g) = m- 1 D(2)(g)М.Вычисляя теперь определители обеих частей равенствалучимdetM detM+откуда л(3.57)(3.56),= л = о,П2= о. с другой стороны, из (3.56) находимА == L MjMij = L IMij12.1мы по(3.58)(3.59)1И, следовательно, л может равняться нуmo только в том случае, есливсе матричные элементыMijравны НУJIIO.> nl. Дополним матрицу М до квадратной n2 -nl нулевhIМИcroлбцами и соответственноматрицу м+ таким же количеством нуле2) n2вых строк. Новые матрицы обозначим соответственночерез М и м+.Ясно, tПО для этих матриц также выпалняетсяравенство (3.56):- -+ММ=>.Еn1 •(3.60)8.Соотношение оpmогональностиСогласно построению матриц М и м+.-.-+detM = detMПоэтому, повторяя рассуждение,35= О.относящееся к первому случаю, мыопять получимMit = О.3) n2< nl.(3.61)Эror случай сводится к предыдущему, и рассмотрениеего мы предоставляемчитателю.При доказательстве леммы Шура мы использовали унитарностьпредставленийD(l) и D(2).
Покажем сейчас, что это оrpаничениеявляется несУЩественным. Мы знаем, что всякое представление конечнойгруппы эквиваленmо унитарному. Пусть, например, D(l) и D(2) неунитарные представления. Всегда можно найти такие неосоБыe матрицыVиW,что представленияп(О= V- 1D(I)V,п(2)будyr уже унитарными. Тогда условие= W- 1D(2)W(3.50)(3.62)может бъпь предетавленов виде(3.63)Отсюда мы получаем(3.64)или, вводя обозначение N =w- 1мv ,N n(1) = п(2)Н,(3.65)и задача, таким образом, сводится к рассмотренной выше. Матрица Nможет быть только нулевой. Но если матрица N нулевая, то, конечно,1и матрица М = W NV- также будет нулевой.8.Соотношение ортоroнальности Д1UI матричнwxэлементов вепрввоДllМblX представлеВИЙС помощьюкоторыепервойсоотношенияи второй лемм шура можно получить немеж.ror матричнымиэлемеmзминеприводимыхпредставл~ний rpуппы.Пусть D(i)(g) И D(j)(g) -матрицы двух неприводимых неэквивалентных унитарных представлений rpуппы G, сосгоящей из т элементов.
Обозначим через Па И nj порядки этих представлений. Докажем,что между элементами матриц D(i) и D(J) существуют следующие36ГлаваПредставления "онечных групп111.соотношения:L D~~(g)d!J(g) = о,(3.66)gEG"LJ D pv(i)()r;{i) )9 Da{j(g= -т брабV{j.(3.67)nigEGДоказательство. Составим матрицуLм=D(i)(g)XD(j)(g-l),gEGгде Х-ПРОИЗ8ОЛЬНая матрица с ni строками и nj столбцами. Докажем, что матрица М удовлетворяетсоотношению(3.68)Действительно,D(i} (у')М =D(i)(g')LD(i) (g)XD(j)(g-l)=gEG=L D(i) (g')n(8) (g)XD(j) (g-l)DU) (g'-l)D(j) (у') =gEG="2:D(') (у,о)хnи ) (g'g)-l)n(j) (у')gEG=L D(i) (у")хnи) (g"-l)n(j)(g') = Mn(j)(g').=g'EGOrcюда согласно второй лемме Шура следует, что Мнулеваяматрица, Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
