1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Очевидно, что элеменТhI2этой группы зависят от nнепрерывно изменяющихся параметров(элементов матриц). Бесконечные rpynпы, элементы которых зависятот непрерывно изменяюlЦИXСЯ параметров, называются неnрерывнымигруппами. Единичным элементом в группеGL(n)является единичнаям~триЦ~; обратным элементам соorветствуют обратные матрИЦhI. Операция rpYJD10BOro умножения совпадает с правилом умножения матриц,которое, как известно, свойством коммутативности не обладает.3.Примеры групп, имеющих приложение в фИЗlIJ[еПеречислим теперь некоторые ГРУПIThI, которые будут использованы.1. Группа сдвuгов (трансляций) в трехмерном пространстве: элеменв приложенияхтами ее являются преобразования переноса начала координат на произвольный вектор а:r'= r+a.Очевидно, что это трехпараметрическая(три составляющиевектора а)непрерывная группа.2.
Группа вращений 0+(3): ее элементы - преобразования вращения трехмерного пространства или соответствующие им ОРТОГОН8ЛЬны.е~атрицы. с определиreлем, равным единице. Эrо также непрерывнаятреxnараметрическая группа:9 элементовоproroналъной. матрицы преобразования связаны, как извесmо, шесгью условиями. В качественезависи:мых параметров вращения могут быть выбраны, например,углы {tp, 8, 'Ф}. Полярные углы <р и 8 определяют положение осивращения, проходящей через начало координат. Угол Ф определяет по-ворот относительно ЭТОЙ оси l ).
Инвариантность относительно rpуппы0+(3) выражает свойство изотропности (т. е. равноправности направлеНИЙ) трехмерного пространства.у'Если к rpуппе вращений добавить оперaцmo инверсии ж' = -ж,== -1/, z' = -z, 1'0 получим орmогоНШlЬНУЮгруппу 0(3).3.гpynIIы симметрии молекул, или точечные группы, состоят из некоторыхортогональных1) СМ. упр. 1.1.преобразованийтрехмерногопространства.Глава121.ВведениеНапример, группа симметрии молекулы, имеющей конфигурацию тетраэдра (как молекула метана СН4) состоит из 24 элеменrов: вращенийи отражений, переводящих верпmны тетраэдра друг в друга.4.Группы симметрии кристаллов,или npocmpaHcmвeHHыeгруппы,состоят из конечною числа ортогональных пре образ ований , из дискретных сдвигов (трансляций) и произведений этих преобразований.Строго говоря, такой симметрией обладает лишь бесконечный кристаллили модель кристалла с так называемыми циклическими tpаничнымиусловиями.5.
IPynпа nересmаН080К n символов, например координатственных частиц. Это конечная группа порядка n!.nтожде6. Группа Лоренца L + состоит из преобразований , связывающихкоординаты двух систем отсчета, которые ДВJqCYТCя друг относительнодруга равномерно и прямолинейно. эта группа включает в себя группувращений0+(3) и зависит от 6 параметров: от трех углов, .определяющих взаимную ориентацию пространственных осей, и от трех составляющих скорости относительного движения. Требование инвариантностиуравнений движения относительно группы Лоренца ЯWIЯется следcrвием постулатов теории относительности.Перечисленные группы, конечно, не исчерпывают всех rpynп, которые находят применение в физике.
Однако наше основное вниманиев дальнейшем будет уделено }L\feHHO этим группам.4.Условии иввариаиrности уравнеНИЙ движенииВыясним теперь условия~ инвариантности уравнений движения физической системы относительно преобразований ее группы симметрии.В классической механике движение системы описывается уравнениями Лагранжа. Поэтому симметрия физической системы относительноопределенной группы преобразований находит свое выражение в ин ..вариантности уравнений Лагранж:а (и дополнительных условий, еслитаковые имеюrся) относительно этих npеобразованиЙ.
Так как уравнения движения, записанные через ФУНIЩИlO Лаrpaнжа L, при тобомвыборе обобщенных координат qi имеют всегда один и тот же вид:8L-dtd -8L= О)дqiдqi(1.1)10 их инвариантность будет обеспечена, если этим свойством будет обладать сама функция Лаграюка. Следует, однако, заметить,что требование инвариантности функции Лаграюка является слишком :жестким. Мы знаем, что уравнения движения не изменятся~ еслифункцию Лагранжа.
умножить на число или добавить к ней полнуюпроизводную по времени от произвольной функции обобщенных координат. Например, свойство сИмМе1Рии одномерного гармоническогоосциллятора относительно взаимной замены координаты и импульса4. Условия инвариантности уравнений движения13(так называемое касательное преобразование в классической механике)соответствует изменению знака его функции Лагранжа1 2 1 2.L ="2Р -"2 q .в квантовой механике состояние физической системы описываетсяволновой функцией ф(х,t)которая является решением уравненияШрёдингера:д= ih дt-Н(ж)'Ф(ж, t)'Ф(ж, t).Поэтому симметрия квантовомеханическойнонекоторойгруппыпроявляетсякак(1.2)системы относительинвариантностьуравненияШрёдингера относительно преобразований из этой rpyппы. Если группа симметрии состоит из преобразованийконфигурационноroпространстваХI=иж,то проверка инвариантности уравнения Шрёдингера осуществляетсяподстановкойж= и- ж',11/J'(ж')= ф(u-1z').(1.3)Если уравнение Шрёдингера инвариангно относительно преобразования и, то после подcraновки(1.3)в(1.2) оно должно сохранитьпрежний вид.
Очевидно, что это будет ВЫПОJПIено, если эта подстановкане изменит вид гамилътониана Н(х).Теория групп дает возможность классифицировать состояния физической системы на основе только ее свойств симметрии, без решенияса'fИХ уравнеНИЙ движения. В этом и состоит ценность метода теорииrpупп, Так как известно, что даже приближенное решение уравненийдвижения чаcro оказывается весьма трудоемким. Применяя теоретик.огрупповые методы, мы можем установить свойства симметрии ТОЧНЫХрешений этих уравнеНИЙ и тем самым получить важную IПIформациюо физической системе.Не и...\tея сейчас возможности использовать аппарат теории групп,мы все-таки поп:ьrraемся ПРОИJUIЮCТPировать эти соображения на примере из классической механики. Мы знаем, что в классической механике классификация движеНИЙ данной системы проводится по значенияминтегралов движения.
Покажем, что наличие интегралов движения обусловлено симметрией системы относительно групп непрерывнhIX преобразований. Рассмотрим систему материальных точек, функция Лагранжа которой инвариантна относительно группы трансляций в трехмерном пространстве. это означает, что приращение функции Лагранжа, обусловленное сдвигом(1.4)Глава141.Введениедолжно бьпь равно нуmo.
Считая а бесконечно малым вектором, мыполучаем6L==дL8L6ri == а L: - == О.L:. -8ri. 8ri•Согласно уравнениям Лагранжа8L•d дLdt 8ri)дri(1.5)(1.6)и, следовательно, в силу произволъности а мы будем ·иметь~"aL ==0(1.7)д-LL: о:-:== L:Pi = Р = соnst.r.(1.8)dt L...J8r-IiилиiiТаким образом, из инвариантности функции Лагранжа относительно трансляций в трехмерном пространстве следует, что полный импульссистемыecrbинтеграл движения.Аналогично можно показать, что ИЗ требования инвариантностиотносительно трансляций по времени следует, что энергия системыесть интеграл движения.Позднее мы докажем, что аналоrичные результаты справедливыи в квантовой теории.Упражнения1.1.
Доказать,что любое преобразование вращеНЮI трехмерного пространства может быть представлено в виде поворота на определеННЫЙ угол вокругнекоторой ОСИ, проходящей через начало координат.1.2.Показать, что из инвариантности функции Лаrpан.ж:а arносительноrpyпnы трехмерны.х вращений следует, что полный момент количества движения системы есть интеrpал движения.Глава11Абстрактные группыПри исследовании оБIЦИX свойств rpуппы несущественна конкретная реализация ее элементов (преобразованиями, матрицами, перестановками и т.д.).
Обозначив элементы гpyrmы некоторыми символами,для которых задан определеННЫЙ закон умнож.ения, мы получаем такназываемую абстрактную rpyпny. В этой главе мы рассмотрим некоторые свойства абстрактных групп.1.Сдвиr по rpynпеПусть rpyпnаGсостоит из т элементов91,92, ...,9т. Умножимсправа каждый из элементов rpуппы на один и тот же элемент 9i, или,как говорят, произведем правый сдвиг по группе. Тогда мы получимпоследовательность(2.1)019i, 929i, ... ,9m9i·По.каж:ем,что в этой последовательностикаждыйэлемент rpуппы встречается один и только один раз.
Действительно,пусть9' -ПРОИЗВOJIЪный элемент группы. ОчеВИДНО t что О, = (g'9jl)9j, и) следовательно, элемеm9'содержится в последовательностичисло элементов в нашей последовательности(2.1).Так какравно порядку группы,то каждый из элементов может содержаться в ней только по одномуразу. Таким же свойством обладает последовательность элементов9i91, 9i92,··· ,9iOm,(2.2)получаемая с помощью левого сдвига.2.ПодrpуппаЧасть элементов группы G, которые сами по себе образуют группу с тем же законом умножения, называют nодгруnnой rpyпnы G.Оставшаяся часть rpyrmыGне может образовывать группы, так какона не содержит, например, един~оro элемента.3.Порядок элементаВозьмем произвольнъlЙ элемент9i rpуппы G и образуем различныестепени этого элемента 9j) 9l, 91, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
