Главная » Просмотр файлов » 1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad

1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 36

Файл №828607 1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (Петрашень, Трифонов - Применения теории групп в квантовой механике) 36 страница1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607) страница 362021-02-07СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

В зaюnoчениев качестве ИJШюстрации приведем таблицу полных моментов для не­скольких j -оболочек. Максимальное число электронов в j -оболочкеравно 2j1. В таблице, однако, указаны состояния j -оболочки самое+большее для ~. электронов. Это связано с тем, что классификацияСОСТОЯНИЙ j -оболочки с k электронами и с 2j + 1 - k электронамисовпадает в силу правила, ИЗJIожеЮfОГО на с. 210.таблица состоJIIIIIЙ дляj3j=-25j==-27j =-292j=-j-оболочекЧисло электроновJ13/22, О235/24,2, О9/2) 5/2, 3/21237/26,4,2, О15/2, 11/2, 9/2, 7/2, 5/2, 3/21219/22348, 6, 4, 2, О21/2, 17/2, 15/2, 13/2, 11/2, (9/2)2, 7/2, 5/2, 3/212, 10, 9, (8)2, 7, (6)3, 5, (4)3, 3, (2)2, ~o)215/2, 21/2, 19/2, 17/2, (19/2)2) (15/2)2, (13/2) ,(11/2)2, (9/2)3, (7/2)2, (5/2)2, 3/2, 1/25Глава ххПрименение теории групп в задачах,евязанных с теорией ВОЗМytЦенИЙУравнениеШрёдингера,определяющее стационарные состоянияквантовомеханической системыI' может быть решено точно тольков исключительных случаях.

Одним из важных методов приближенногорешения уравнения Шрёдингера является метод теории возмущеНИЙ.Применение этой теории возможно в тех случаях, когда операторГамильтона удается представить в виде(20.1)где Но - гамильтониан задачи, которая допускает более простое ре­шение, а V - оператор возмущения. Учет симметрии невозмущенноroоператора Но и оператора возмущения V в ряде случаев значительнооблегчает применение теории возмущений к конкретным задачам.1.Расщепление уровней энергиипод влияниемвозмущенияПусть гамилътониан Но обладает группой симметрии Go, а опе­ратор возмущения V - rpуппой симметрии G 1.

Обычно требованиеотносительнойпростоты оператора Но по сравнениюс полным гами...Th:'тонианом ii = Но + V подразумевает более высокую симметрию Нопо сравнению с симметрией Н. Рассмотрим два случая: а) груп­па G 1 совпадает с rpуппой Go; б) группа G 1 является подгруппойrpуппы G o•а) Симметрия ПОJIНОГО гамильтониана совпадает с симметрией не­возмущенной задачи: G o = G 1.

Мы знаем, что собственныle значенияуравнений Шрёдингера можно классифицировать по неприводимымпредставлениям его группы сим){етрии. Следовательно, классифика­ция и кратность вырождения уровней энергии нашей задачи остают­ся такими же, как и в невозмущенном случае. Мы можем ожидатьЛИШЬ смещение собственных значений Е, оператора jj относительнособственныхзначений Е!О) оператора Но:Е, == E~O)+ АЕ,.(20.2)1.Расщепление уровней энергии nод влиянием возмущения215Таким образом, в этом случае возмущение не может вызвать расщеп­ление вырожденных уровней энергии.Исключениеиз этого прави­ла может быть только при случайном вырождении, когда собствен­ные функции уровня энергии невозмущенной задачи преобразуютсяпо приводимому представлению группы Go.Если изменять величину возмущения V,сохраняя его симмет­рию, то смещение 6.Е, собственных значений будуг также изме­няться, и некоторые уровни энергии E s , как функции параметровВОЗ~1ущения, MOryr пересечъся.

В точках пересечения уровней будетиметь место случайное вырождение, так как собственные функции,соответствующиеэтомузначениюэнергии,правило,котороебудугGo.ся по приводимому представлению группыпреобразовывать­Существует, однако,в некоторых случаях запрещает пересечение уров­ней, соответствуюших эквивалентным неприводимым представлениям.Рассмотрим для простоты два невырожденных уровня, предполагая,'Л'о соответствующие им волновые функции 'Фl и 'Ф2 преобразуютсяпо эквивалентным неприводимым представлениям группы Go• Допу­СТИМ, что при н екоторо м значении возмущенияV1 рассматриваемыеи Е2 почти совпадают.

Выясним, мож.ет ли от­уровни энергии Е 1ЮJонение возмущенияVот значенияviвызвать пересечение ЭТИХуровней. Обозначим через V' разность V - V1 И черезV.kматричныеэлементы этого оператора. Новые уровни энергии мы найдем, решаявековое уравнениеЕl+ V~l- Е,IЕ21)21I1)~2,О.=+ 1)22 -(20.3)ЕМы найдемЕ = ~ (Е) + Е2 + '11;) + 1JЫ ± v(v;) - V~2 + Е) - Е2 )2 + 4Iv~212.Для того чтобыкорнивековогоуравнениясовпадали,(20.4)необходимоодновременное выполнение двух условий:Е1-ph.+ v~ I-V~2= О,1)~2= О.Эти условия на.клацывают сравнительно жестхие ограничения на воз­мymение. Если, например, возмущение определяется только однимпараметром, ТО, вообще говоря, нельзя удовлетворить сразу двум уело­виям и, следовательно, пересечение уровней невозможно.

Если вол­новые функции раСС~lатриваемых уровней преобразуются по неэквива­лентныM неприводю.JЫМ представлениям, то второе условие 1)~2вьmолняется тождественно (см.изойтидажепараметра.втомслучае,(5.32»когдаи пересечениевозмущениезависитможетот=Опро­одноroГлава ХХ. Задачи, связанные с теорией возмущений216б) Перейдем к рассмотрению случая, когда группаG 1 являетсяпод­группой группынианаiiгруппыGo. Классификацию собственн.ых значений гамильтоследует теперь проводитъ по неприводимым представлениямТак как порядКи неприводимъlX предетавлений подГруп­Gl.пы не превышают порядков неприводимы.х представлений группы, тов зrом случае может иметь место расщепление уровней невозмущен­ной задачи.

Когда мы говорим о расщеплении уровней, то считаемвозмущение настолько малым, что уровни возмущенной задачи можнооднозначносопоставитьсобственнымзначениям оператора Но.Рассмотрим некоторое собственное значение Е(О) оператора Но.Пусть соответствующие ему собственные функции Фl, Ф2,операциях9из группыставлениюr(g).GOпреобразуютсяОбозначим черезEi... ,ф1спо неприводимомуприпред­уровни энергии возмущеннойзадачи, на которых расщепился уровень Е(О). Собственные функ­ции ф~) оператора Н, соответствующие каждому из собственныхзначений & при операциях из группы G, будуг преобразовывать­ся по неприводимым предстаWIениям 1i группыI G 1 • Введем обо-значение 1(9)== L:6)1i(g),9 Е G 1 • Будем теперь неограниченноiуменьшать возмущение У, не изменяя его симметрии.

При лю­бом значении возмущения V мы можем угверждать, что волновыефун,кции, принадлежащие всем уровнямEi,по представлению 1 группы G 1. В пределебудуг преобразовыватъсяV ==о мы получим соб­ственные функции невозмущенного оператора, связанные с функция­ми 'Ф., 'Ф2,.. , ,1Pkпредставлениепри9Енекоторым унитарн.ым преобразованием,и поэтомуr(g) должно быть эквивалентно представлению 1(9)Gl:и, следовательно,(20.5)ЭroтрезультатможетбытьиспользованДТIЯтого,чтобыузнать,на сколько компонент расщепится данный уровень энергии Е(О)при включении возмущения.Очевидно, для этого достаточно разло­жить предстаWIение Г(о) на неПрИВоДимые представления грyпnыG 1.Мы видим, что включение ВОЗ~fущения более низкой симмет­рии, чем симметрия исходной задачи, приводит к частичному снятиювырождения. Вырождение каждого из новых уровней определяетсяпо­рядком соответствующего неприводимого представления группы G 1 •Полученные результаты иллюстрируются CJ"1едующей схемой:2.217Правильные функции нулевого приближения,, , - - -Е t "1'.(О)f()1(О),f()2(О)•••.

, f()'t•I,I,,IЕ (О),IЕ.,---,2"2'(О)f'1(О)'''2 ,...•(О)f()i 2•,I "I '"~\~\,\,\\\~~- - - Ез "3;,,1°), ,,4°) '...1f()~0)1\~2.ПравИJIьные функции нулевою приближеНИJIРассмотрим какой-нибудь вырожденный уровень Е(О) энергии не­возмущенной системы. Ортонормированныеволновые функции, при­надлежащие этому уровню, обозначим через "Фl, "Ф2,,"Ф". Как из­вестно, поправки АЕ к энергии в первом порядке теории возмуш:ений...определяются из векового уравненияVIl -АВV121122 - АЕ!J21гдеVik=JФi=0,V tPk dr.Линейные комбинации функций 'Фl' "Ф2,...

,'Ф1t,(20.6)(20.7)для которых матрицавозмущения диагональна, называются nравUЛЬНblМи функциями нулево­го приближения. Как известно, собственные функции возмущенногооператора непрерывно переходит в эти функции при выЮIЮчении воз­мущения. Так как оператор возмущенияVинвариантен относительнонекоторой группы G 1, то праВИJIЪные функции нулевого приближениядолжны преобразовыатьсяя по неприводимым представлениям этойгруппы (см. главу V). Если в разложении представления Г, по ко­торому преобразуются функции 'Фl' Ф2,,"Ф", каждое неприводимое...представление группыG 1 встречается...не более одного раза, то, постро­ив из функций Фl, 'Ф2,,ф" линейные комбинации, npeобразующиесяпо неПРИВОДИМЪL\t представлениям группы G 1, мы найдем npавильныефункции нулевого приближения. Если же одно и то же представление218Глава хх.

Задачu, связанные с теорией во.змущениЙrв разложении Г встречаетсяраз, то для диагонализации матрицы воз­мущения нам придется решать вековое уравнение r-й степени. Обычнокраrnости неприводимых представлений невелики. Поэтому построе­ние функций, преобразуюшихся по неприводимым представления мrpуппы3.G1,значительно облегчает решение уравнения(20.6).Атом в однородном мarнитиом поледля ИЛJПOCтрации обшей теории, изложенной в предыдущих ПУНК­тах,рассмотримщенноговорасщеплениевнешнеепреШIОЛОЖИМ,ЧТОэнергетическиходнородноесостояниеуровней атома,магнитноеатомаполе.определяетсяРадипоме­простотысостояниемодноговалентного электрона, который находится в сферически симметричномполе остова.а) Эффект Пашена-Бака.

Предположим, что атом помещен в од­нородное магнитное поле, направленное вдоль оси z. Оператор взаимо­действия валентногоэлектронас магниrnым полем напряженностьюНможно представить в видеVгде i z и Sz ногоеВ" + 2s ) ,= --(lzz2тсоператоры проекций на осьи спиновогомасса электрона; смоментов электрона;-е(20.8)z соответственно орбиталь­- заряд электрона; т -скорость света.Будем считать, что взаимодействие с магнитным полем сильнееспин-орбитального взаимодействия, и последним будем пренебрегать(гак называемый случай сильного малrnтного поля). ГРУIПIой сим­метрииGoтрехмерныхневозмушеннойвращений,задачи в данном случае является группаточнее,прямое произведениегруппы враще­ний в трехмерном пространстве и изоморфной ей группы, относящейсяк СПИН08ЫМ переменным:G o = 0(3) х 0(3).После включения взаимодействиярииостанутсяЛИШЬповороты(20.8)вокруг(20.9)в качестве операций симмет­осиzиотражениявплоско­сти (ху) как для пространственных переменных, так и для спиновых.Поэтому группой симметрии возмущенной задачи будетG 1 ==Choo ХChoo .(20.10)Состояния невозмущенной системы можно классифицировать понеприводимым представлениям группы(20.9),которые представляютсобой прямое произведение n(l) х D(l/2).

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
13,73 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее