1612725605-4dded65ddccf31b7c938d2d04f6947ad (828607), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В зaюnoчениев качестве ИJШюстрации приведем таблицу полных моментов для нескольких j -оболочек. Максимальное число электронов в j -оболочкеравно 2j1. В таблице, однако, указаны состояния j -оболочки самое+большее для ~. электронов. Это связано с тем, что классификацияСОСТОЯНИЙ j -оболочки с k электронами и с 2j + 1 - k электронамисовпадает в силу правила, ИЗJIожеЮfОГО на с. 210.таблица состоJIIIIIЙ дляj3j=-25j==-27j =-292j=-j-оболочекЧисло электроновJ13/22, О235/24,2, О9/2) 5/2, 3/21237/26,4,2, О15/2, 11/2, 9/2, 7/2, 5/2, 3/21219/22348, 6, 4, 2, О21/2, 17/2, 15/2, 13/2, 11/2, (9/2)2, 7/2, 5/2, 3/212, 10, 9, (8)2, 7, (6)3, 5, (4)3, 3, (2)2, ~o)215/2, 21/2, 19/2, 17/2, (19/2)2) (15/2)2, (13/2) ,(11/2)2, (9/2)3, (7/2)2, (5/2)2, 3/2, 1/25Глава ххПрименение теории групп в задачах,евязанных с теорией ВОЗМytЦенИЙУравнениеШрёдингера,определяющее стационарные состоянияквантовомеханической системыI' может быть решено точно тольков исключительных случаях.
Одним из важных методов приближенногорешения уравнения Шрёдингера является метод теории возмущеНИЙ.Применение этой теории возможно в тех случаях, когда операторГамильтона удается представить в виде(20.1)где Но - гамильтониан задачи, которая допускает более простое решение, а V - оператор возмущения. Учет симметрии невозмущенноroоператора Но и оператора возмущения V в ряде случаев значительнооблегчает применение теории возмущений к конкретным задачам.1.Расщепление уровней энергиипод влияниемвозмущенияПусть гамилътониан Но обладает группой симметрии Go, а оператор возмущения V - rpуппой симметрии G 1.
Обычно требованиеотносительнойпростоты оператора Но по сравнениюс полным гами...Th:'тонианом ii = Но + V подразумевает более высокую симметрию Нопо сравнению с симметрией Н. Рассмотрим два случая: а) группа G 1 совпадает с rpуппой Go; б) группа G 1 является подгруппойrpуппы G o•а) Симметрия ПОJIНОГО гамильтониана совпадает с симметрией невозмущенной задачи: G o = G 1.
Мы знаем, что собственныle значенияуравнений Шрёдингера можно классифицировать по неприводимымпредставлениям его группы сим){етрии. Следовательно, классификация и кратность вырождения уровней энергии нашей задачи остаются такими же, как и в невозмущенном случае. Мы можем ожидатьЛИШЬ смещение собственных значений Е, оператора jj относительнособственныхзначений Е!О) оператора Но:Е, == E~O)+ АЕ,.(20.2)1.Расщепление уровней энергии nод влиянием возмущения215Таким образом, в этом случае возмущение не может вызвать расщепление вырожденных уровней энергии.Исключениеиз этого правила может быть только при случайном вырождении, когда собственные функции уровня энергии невозмущенной задачи преобразуютсяпо приводимому представлению группы Go.Если изменять величину возмущения V,сохраняя его симметрию, то смещение 6.Е, собственных значений будуг также изменяться, и некоторые уровни энергии E s , как функции параметровВОЗ~1ущения, MOryr пересечъся.
В точках пересечения уровней будетиметь место случайное вырождение, так как собственные функции,соответствующиеэтомузначениюэнергии,правило,котороебудугGo.ся по приводимому представлению группыпреобразовыватьСуществует, однако,в некоторых случаях запрещает пересечение уровней, соответствуюших эквивалентным неприводимым представлениям.Рассмотрим для простоты два невырожденных уровня, предполагая,'Л'о соответствующие им волновые функции 'Фl и 'Ф2 преобразуютсяпо эквивалентным неприводимым представлениям группы Go• ДопуСТИМ, что при н екоторо м значении возмущенияV1 рассматриваемыеи Е2 почти совпадают.
Выясним, мож.ет ли отуровни энергии Е 1ЮJонение возмущенияVот значенияviвызвать пересечение ЭТИХуровней. Обозначим через V' разность V - V1 И черезV.kматричныеэлементы этого оператора. Новые уровни энергии мы найдем, решаявековое уравнениеЕl+ V~l- Е,IЕ21)21I1)~2,О.=+ 1)22 -(20.3)ЕМы найдемЕ = ~ (Е) + Е2 + '11;) + 1JЫ ± v(v;) - V~2 + Е) - Е2 )2 + 4Iv~212.Для того чтобыкорнивековогоуравнениясовпадали,(20.4)необходимоодновременное выполнение двух условий:Е1-ph.+ v~ I-V~2= О,1)~2= О.Эти условия на.клацывают сравнительно жестхие ограничения на возмymение. Если, например, возмущение определяется только однимпараметром, ТО, вообще говоря, нельзя удовлетворить сразу двум уеловиям и, следовательно, пересечение уровней невозможно.
Если волновые функции раСС~lатриваемых уровней преобразуются по неэквивалентныM неприводю.JЫМ представлениям, то второе условие 1)~2вьmолняется тождественно (см.изойтидажепараметра.втомслучае,(5.32»когдаи пересечениевозмущениезависитможетот=ОпроодноroГлава ХХ. Задачи, связанные с теорией возмущений216б) Перейдем к рассмотрению случая, когда группаG 1 являетсяподгруппой группынианаiiгруппыGo. Классификацию собственн.ых значений гамильтоследует теперь проводитъ по неприводимым представлениямТак как порядКи неприводимъlX предетавлений подГрупGl.пы не превышают порядков неприводимы.х представлений группы, тов зrом случае может иметь место расщепление уровней невозмущенной задачи.
Когда мы говорим о расщеплении уровней, то считаемвозмущение настолько малым, что уровни возмущенной задачи можнооднозначносопоставитьсобственнымзначениям оператора Но.Рассмотрим некоторое собственное значение Е(О) оператора Но.Пусть соответствующие ему собственные функции Фl, Ф2,операциях9из группыставлениюr(g).GOпреобразуютсяОбозначим черезEi... ,ф1спо неприводимомуприпредуровни энергии возмущеннойзадачи, на которых расщепился уровень Е(О). Собственные функции ф~) оператора Н, соответствующие каждому из собственныхзначений & при операциях из группы G, будуг преобразовываться по неприводимым предстаWIениям 1i группыI G 1 • Введем обо-значение 1(9)== L:6)1i(g),9 Е G 1 • Будем теперь неограниченноiуменьшать возмущение У, не изменяя его симметрии.
При любом значении возмущения V мы можем угверждать, что волновыефун,кции, принадлежащие всем уровнямEi,по представлению 1 группы G 1. В пределебудуг преобразовыватъсяV ==о мы получим собственные функции невозмущенного оператора, связанные с функциями 'Ф., 'Ф2,.. , ,1Pkпредставлениепри9Енекоторым унитарн.ым преобразованием,и поэтомуr(g) должно быть эквивалентно представлению 1(9)Gl:и, следовательно,(20.5)ЭroтрезультатможетбытьиспользованДТIЯтого,чтобыузнать,на сколько компонент расщепится данный уровень энергии Е(О)при включении возмущения.Очевидно, для этого достаточно разложить предстаWIение Г(о) на неПрИВоДимые представления грyпnыG 1.Мы видим, что включение ВОЗ~fущения более низкой симметрии, чем симметрия исходной задачи, приводит к частичному снятиювырождения. Вырождение каждого из новых уровней определяетсяпорядком соответствующего неприводимого представления группы G 1 •Полученные результаты иллюстрируются CJ"1едующей схемой:2.217Правильные функции нулевого приближения,, , - - -Е t "1'.(О)f()1(О),f()2(О)•••.
, f()'t•I,I,,IЕ (О),IЕ.,---,2"2'(О)f'1(О)'''2 ,...•(О)f()i 2•,I "I '"~\~\,\,\\\~~- - - Ез "3;,,1°), ,,4°) '...1f()~0)1\~2.ПравИJIьные функции нулевою приближеНИJIРассмотрим какой-нибудь вырожденный уровень Е(О) энергии невозмущенной системы. Ортонормированныеволновые функции, принадлежащие этому уровню, обозначим через "Фl, "Ф2,,"Ф". Как известно, поправки АЕ к энергии в первом порядке теории возмуш:ений...определяются из векового уравненияVIl -АВV121122 - АЕ!J21гдеVik=JФi=0,V tPk dr.Линейные комбинации функций 'Фl' "Ф2,...
,'Ф1t,(20.6)(20.7)для которых матрицавозмущения диагональна, называются nравUЛЬНblМи функциями нулевого приближения. Как известно, собственные функции возмущенногооператора непрерывно переходит в эти функции при выЮIЮчении возмущения. Так как оператор возмущенияVинвариантен относительнонекоторой группы G 1, то праВИJIЪные функции нулевого приближениядолжны преобразовыатьсяя по неприводимым представлениям этойгруппы (см. главу V). Если в разложении представления Г, по которому преобразуются функции 'Фl' Ф2,,"Ф", каждое неприводимое...представление группыG 1 встречается...не более одного раза, то, построив из функций Фl, 'Ф2,,ф" линейные комбинации, npeобразующиесяпо неПРИВОДИМЪL\t представлениям группы G 1, мы найдем npавильныефункции нулевого приближения. Если же одно и то же представление218Глава хх.
Задачu, связанные с теорией во.змущениЙrв разложении Г встречаетсяраз, то для диагонализации матрицы возмущения нам придется решать вековое уравнение r-й степени. Обычнокраrnости неприводимых представлений невелики. Поэтому построение функций, преобразуюшихся по неприводимым представления мrpуппы3.G1,значительно облегчает решение уравнения(20.6).Атом в однородном мarнитиом поледля ИЛJПOCтрации обшей теории, изложенной в предыдущих ПУНКтах,рассмотримщенноговорасщеплениевнешнеепреШIОЛОЖИМ,ЧТОэнергетическиходнородноесостояниеуровней атома,магнитноеатомаполе.определяетсяРадипомепростотысостояниемодноговалентного электрона, который находится в сферически симметричномполе остова.а) Эффект Пашена-Бака.
Предположим, что атом помещен в однородное магнитное поле, направленное вдоль оси z. Оператор взаимодействия валентногоэлектронас магниrnым полем напряженностьюНможно представить в видеVгде i z и Sz ногоеВ" + 2s ) ,= --(lzz2тсоператоры проекций на осьи спиновогомасса электрона; смоментов электрона;-е(20.8)z соответственно орбиталь- заряд электрона; т -скорость света.Будем считать, что взаимодействие с магнитным полем сильнееспин-орбитального взаимодействия, и последним будем пренебрегать(гак называемый случай сильного малrnтного поля). ГРУIПIой симметрииGoтрехмерныхневозмушеннойвращений,задачи в данном случае является группаточнее,прямое произведениегруппы вращений в трехмерном пространстве и изоморфной ей группы, относящейсяк СПИН08ЫМ переменным:G o = 0(3) х 0(3).После включения взаимодействиярииостанутсяЛИШЬповороты(20.8)вокруг(20.9)в качестве операций симметосиzиотражениявплоскости (ху) как для пространственных переменных, так и для спиновых.Поэтому группой симметрии возмущенной задачи будетG 1 ==Choo ХChoo .(20.10)Состояния невозмущенной системы можно классифицировать понеприводимым представлениям группы(20.9),которые представляютсобой прямое произведение n(l) х D(l/2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
