1612727554-7422b28b59adffe5b22446310d759047 (828458), страница 37
Текст из файла (страница 37)
рис. 55). Тогда будем иметь следующие очевидные соотношения: и~ =~7~ з1п р, Ф1 =(7~сов р, ия= ~7я з!п (О, Фя = Дясоз 03> 201 6 321 косля вдленля волна Найдем теперь связь между углами е н 6. Для этой цели воспользуемся соотношениями (32,4), (32,5) и (32,7), что дает з(па Р(1 — — ! = ~з(па т — — 1 (32,8) Щ(т 6), 2 ~.2 С!1 ат 1= а+1~ после преобразования (32,8) окончательно получим Теперь, зная 6 =) (е), можно легко определить величины ра и иа, Таким образом, полученные соотношения полностью решают задачу об определении параметров потока за фронтом ударной волны, если задать величины рь рь иь е. Для того чтобы при обтекании тупого угла образовалась ударная волна, необходимо условие и~ ) сь т.
е. необходимо наличие не только сверхзвуковой скорости потока, но достижение ее н для нормальной компоненты скорости. При этом всегда и~ ) сь поскольку п~)0. В теории косой ударной волны доказывается, что прн определенных значениях угла раствора клина (или тупого угла) при 6 ) 6а ударная волна перестает касаться верши. Рнс. 66. Отход ударной волны от ны клина (конуса) и отходит веРшины конуса. от него на определенное расстояние (рнс. 56), причем на оси симметрии ударная волна становится прямой.
На участке ОО' происходит дополнительное уже чисто адиабатическое сжатие газа. Давление в точке О' может быть найдено из соотношения а-1 где 1,' н р,'— теплосодержание н давление воздуха в точке О'. Поскольку йа = й Ра в — 1ра ' го отсюда следует, что а (32,11) 202 [гл. чь влементленля теоеня лдленмх волн Значения и„ре и ре определяются формулами для прямой ударной волны (о, = оя= О). Из (32,1) и (32,6) имеем ия — — ~'и ~' = Ря + )Р' ря "" ря (л+))ре+(я — 1)Р1 тлие,(Л вЂ” ))р,+(Л+))р, (Л вЂ” ))41 ',+2ЛР Ря (а+ 1)рэ+ (и 1) Р1 2р,и~ — (Л вЂ” 1) р1 — = р,и', ' ',, (З2,12) Отсюда Р, Р Л 1 (Л вЂ” 1)и',+2с~ й1 — 1+— ре 2л е л — ) 2и, — — с л (32,13) При и~ —— со ря = р~ где 2 (4 = — = М1 (М1 — число Маха).
с 4 л / Ря ('1+а — 1') 1+ л+ л+Д(2 — л) + ре 1 2 ) 2 8 48 При и~>)с, / л — "=11+ " " ~"-' =1+ — ' — '+ "-" + " (32 14) .4Л ) 4 32Л / Р Ре Ре г— В пределе, при й=!, в первом случае — = — = р.е; во Рл Рь Ре втором случае — = 1. Таким образом оказывается, что в слуРе чае достаточно интенсивной ударной волны рост давления в зоне обычного аднабатического сжатия незначителен.
Значение критического угла 6=6,р, при котором скачком меняется режим обтекания, определяется из соотношения (32,9), которое ' напишем в виде ~6(т-4) л-) 2ее — + (Кт я+1 (а+1)41Мнят Отсюда, учитывая, что (д(р 6) =,(кт, (32,15) придем к следуюшему кубическому уравнению: (ает( — р+1) — (й" рс(й6(р — 1)+(ат( 2 р+ )+ + с(~ 6 = О, (32,16) 203 й 321 КОСАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА Принимая й = т/о и обозначая дополнительно с1д 9 = а, 1к %= у, придем к выражению у'(р+5) — 5ху'(~ — 1)+(6~+5)у+ба=0. (3217) 1 Из (32,!7) следУет, что пРи 6=0 Уо= — (при любом значении й), откуда з!п у=— оо Ч1 что справедливо для звуковых волн. Величина у всегда положительна, так как реальная область сушествования угла у задается как О<т< —, В случае сильной волны (8)) 1) соотношение (32,16) ириР водит к квадратному уравнению уо — — ау+ — =О, 2 а+1 Л вЂ” 1 а — 1 (32,18) отсюда а Г аа 1+1 — — !а — !р (32,19) Решение имеет физический смысл при а)~КЙ' — 1, откуда у <~г~+~ (32,20) При заданном угле поворота потока о = 8~ зависимость между р и у определится соотношением а+1 а+3 2 2 1— !а — 1 а+1 ! ° а!уо — ~ — уо + — у) 2 2 где а1 = с1дбь При а) ао, где у'йа соотношение (32,21) может быть представлено в виде графика Р = 7 (у) (рис.
57). Из рисунка видно, что каждому значению 8) йо отвечают два ~~ачения у. Реальному процессу обычно соответствует меньшее значение У=1ду, т, е, более слабая ударная волна. (!ретье зна* некие У при 5) йо будет отрицательным н не имеет физического 204 [гл. ю элементаенля теоеие каленых волн смысла.) Величина йа= ~ — ) определяет наименьшее значение Гят М ~ с, /о — при заданном угле поворота 8ь Чт с, Прн 6 = ра два положительных корня уравнения (32,16) сов. 'падают.
Прн значениях 8)6а и е)еа, как было выше сказано„ меняется режим обтекания и ударная волна отходит от вершины клина, становясь прямой. Для определения 6а=[(ра) ,з=/ о рис. 57. Характер зависимости 8 =у(у). воспользуемся выражением (32,21) и, приравняв производную от него нулю, найдем условие, при котором 6 становится минимальным: Гл-[-1 [+у', з-л ~4 — "о 4 — ~ Уа +Увз= О. (32,22) Уо Основные зависимости и результаты для косых ударных волн можно получить в весьма наглядной форме в виде соответствующих графиков, составив уравнение так называемой ударной поляры, определяющей связь между параметрами среды за фронтом косой ударной волны и величинами дь сь Определим для этого компоненты скоростей д~ и с1 по осям х и у, направив ось л по направлению приходящего потока.
Из рнс. 55 очевидно, что и, =до итк — — О, и, =паз[и р+ отсов о,[ 3 "'"' из„—— оз зш р — иасоз о. 205 % 82) КОСАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА Исключая из этих уравнений величину 41, ос и иь получим уравнение так называемой ударной поляры 2 ( С1 '1 ( 1 иси =(д1 — и~ )' ~1 ',, (32,24) (ч — ъ )+д+,— которое на рис. 58 представлено в виде графика. С помощью ударной поляры можно построить косой ударный фронт (линия ОВ) следую1цим образом.
Рис. 58 отвечает условию д1 ) с„. Направление вектора скорости дя определяется соотношением ф8= —. ис,, иси и Проведя из точки О прямую под углом 8 к оси абсцисс, мы видим, что эта прямая пересекает кривую в А и В Ряс. 58. Ухлрная поляРа в плоскости иси; ииу двух точках Это означает, что при данных начальных параметрах 8, с~ и д~ принципиально возможны два режима обтекания, что нами уже было установлено раньше. Обычно осуществляется режим обтекания, соответствующий точке В. Вектор ОВ определяет скорость потока дя за фронтом волны.
Направление линии ударного фронта, образующей угол Ф с вектором скорости д1, приходящего потока (ОВо) перпендикулярно к линии, соединяющей точки Вс и В, в согласии с тем, что вектор сс — д, перпендикулярен к линии ударного фронта. Из рисунка также следует, что 8<" у, что также нами было определено выше. Величина 8, как видно из рисунка, при заданных с1, с1 не может превышать определенного (предельного) значения 8о, соответствующего касательной ОТ, проведенной из О к кривой. При возрастании ~' вели- с, чина 8 также растет и при — -+ оо величина 8 стремится к ко- 81 с1 вечному пределу з!п 8о= —.
(32,25) Нормальный ударный фронт (прямая ударная волна) соответствует точке пересечения ударной поляры с осью ис, при этом и, =и, =с' г 206 [гл. ььь эленентлгнля теогня яллвных волн Ударная поляра в плоскости и2 ' и,„дает непосредственно соотношения только между скоростями. Давление позади ударного фронта определяется из соотношений (32,7) и (32,8), плотность — из соотношения (32,6). $33. Акустическая теория ударных волн Р2 — Р, = Р, (И, — И,) (Π— и,), Ргиь — Рьиь Рь+Ро г (33,1) отсюда при — ' — — ьС(1 будем иметь иь л — 1 С2 сь 2 (И2 Иь) Ия+Св=иь+Сь +- 2 (И2 — Иь)+..., + 1+1 Рь Рь РьСь (И2 — Иь) + 4 Рь (И2 — Иь) + ° ° ° (33,2) РазлагаЯ далее 0 „= 0 — иь по степенЯм иь — иь, полУчим сь Подставив сюда значение и,— иь нз предыдущего разложения, будем иметь 1 1 [иь+ 22 — иь — сь)2 [)~„=иь+Сь+ ~ (и +С вЂ” И вЂ” С )+— сь +''' (33,4) Отсюда видно, что скорость ударной волны в первом приближении как раз равна среднему значению (полусумме) скоростей Для слабых ударных волн ( — ((1) энтропия среды при ь' ар Р переходе через фронт ударной волны меняется весьма незначительно.
В этом случае можно приближенно рассматривать ударную волну как простую волну сжатия, имеющую разрыв на фронте, т. е. считать энтропию постоянной. Пусть ударный переход и простая волна переводят газ нз начального состонниЯ-(Рь, оь иь) в состоЯние (Рь пь, и2). Легко доказать, что в этом случае при одинаковой амплитуде этих волн величины рь, пь и иь для простой и ударной волн совпадают до членов разложения второго порядка включительно. Для этой цели выпишем основные соотношения для ударных волн в следующем виде: 207 % 331 лктстическля теория Рдлриых воли малых возмущений по обе стороны от фронта волны В= — (, +с, +и,+с,).
(33,5) 2 и,— и,= — (с,— с,). к — 1 (33,6) ! к †! Используя (33, 2) и учитывая, что — =( †) Р! Р! с! Р! ) найдем ск к — 1 Ск — — С,+ 2 (и,— И,), К+! и,+с,=и,+с,+ — 2 — (и, — и ). ! Разлагая р! — р! по степеням и! — иь будем иметь р! =р! +Р!с! (и! и!) + 4 Р! (и! и!) + ° ° ° !+1 (33,7) (13,8) Таким образом, наше утверждение о совпадении величин параар метров для простой волны и ударной (при — ((1) до членов Р! второго порядка можно считать доказанным. Итак, в случае слабых ударных волн будем в дальнейшем пользоваться следующими приближенными формулами, обеспечивающими при вычислениях высокую точность и! + с!+ и!+ с! гл 2 Ьр = Р,с, (и, — и,), р (и! — и!) с! (33,9) В заключение отметим, что неточность, возникающая при подстановке в уравнения для ударной волны соотношений для простой волны, очень мала даже если — несколько больше лр Р! единицы.
Так, для газов с й=1,4 и — =1,5 точные формулы лр Р! для ударных волн дают "' =0,7 " "=0,15, с, ' ' с! — гл = 1,51! — э Для простой волны сжатия в случае, если начальное состояние (и!! с!) есть стационарный поток, как известно, имеем 208 (гл. ю элвментлгнля теоеня хдхеных волн $34.
Диссипация энергии в ударных волнах В тех случаях, когда состояние среды при адиабатических процессах изменяется достаточно медленно, движение среды становится изэнтропическим. С термодинамической точки зрения критерием изэнтропичности процесса является существенное превышение скорости установления равновесного состояния в среде над скоростью приложения внешних воздействий, изменяющих состояние среды. Равновесное состояние в соответствующих средах устанавливается со скоростью распространения в них упругих колебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
