1612727554-7422b28b59adffe5b22446310d759047 (828458), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Распределенне и н с в газе прн отражении нентрнрованной волны разрежения от стенки. Распределение и и с в газе для рассматриваемого случая показано на рис. 41. В случае же и = З, как уже было сказано, Р и с являются только функциями времени н вовсе не зависят от л, 176 элементы газовой динвчикя [гл т Решение для отраженной волны в общем случае (л Ф 3) является весьма сложным и неудобным в ряде преобразований. Учитывая слабую зависимость давления от х, Станюкович полу. чил простое приближенное решение для отраженной волны, обеспечивающее хорошую точность. Для этой цели давление, действующее на стенку в отраженной волне, апроксимируется, как функция времени, соотношением с.е Р 1+ — ' 1 Рв ес сŠ— '+ — ' 1 1 (27,16) 1 А,= 1— 4Ь ~6 у~ " — 1~ (27,17) сву 1 4л л+1 Г 2 е,у Ниже приводятся значения й~ и — для различных а.
lв з ( е„у Для сравнительной оценки точности результатов проведем вычисления импульсов, действующих на стенку при истечении газа в пустоту в бесконечно длинной трубе: зв еее Р,1 ~с+ 1 7=/' р (1=' — ' (27,18) ев а1 — 1 е Далее, учитывая известное термодинамическое соотношение = Е, что в данном случае дает р,7 = Е. (и —.. 1) (где Е,— где й~ и с — константы.
Опуская соответствующие выводы, лишь укажем, что эти константы определяются путем сопоставления результатов точных и приближенных решений по формулам $27! отзиквнии цвитеиеовлнной волны газтвжвиин от стенки 177 полная энергия газа и 1 — начальный его объем, поскольку сечение трубы равно одной квадратной единице), и написав с, в виде с„= и —" = „", (27,19) где М, — полная масса газа, приведем уравнение (27,18) к виду с,у ,— —,й,+ — ', т'= у'2Е, М, )/— Обозначив сят ' + — г.= — У 2и )l =1ь и произведя вычисления для различных и, найдем значения фь т!ь ь7 0,850 0,866 0,839 Фт Рис. 42. Взаимодействие двух одинаковых центрнрованных волн разрежения, одновременно возиикааьщих и идущих навстречу друг другу.
12 Фаэзяа аариза которые очень близки к соответствующим значениям 5, полученным в результате точных решений. Применение этого приближенного метода облегчает решение ряда сложных задач прикладного характера. В заключение отметим, что задача о взаимодействии двух одинаковых центрироваиных волн разрежения, вышедших одновременно (при Г = О) нз точек х=О и х=21 и распространяющихся навстречу друг другу, как это очевидно, эквивалентна рассмотренной выше задаче об отражении волны разрежения от стенки, находящейся. на расстоянии 1, от открытого конца трубы (рис. 42). 178 [гл.
ч элементы газовой динамики й 28. Двухстороннее истечение газа нз цилиндрического сосуда в трубу Обобщением предыдущей задачи является следующая задача. В момент г=О газ начинает истекать нз правого конца цнлнндрнческого сосуда длины [ в трубу того же диаметра. Через некоторый промежуток времени т (О ( т ( — ), т. е. 1х са!' прежде чем первая волна разрежения достигнет левого конца сосуда, начнется истечение газа нз левого конца. В течение промежутка времени 0 < с < т весь процесс сводится к распространению простой волны, идущей влево от правого конца. Рис. 43.
Взаимодействие волн разрежение при двухстороннем истечении газа в трубе, возникшем не одновременно. В момент г=т от левого конца вправо начнет распространяться вторая волна разрежения. Пусть г=тг — момент встречи этих волн, причем, как очевидно, т(т~ ( —. В течение промежутка сн' времени т < 1(т, между фронтами встречных волн мы имеем невозмущенную среду, т. е. мы будем иметь дело только с движением простых волн. В момент времени ть как результат взаимодействия волн 7 н 77, возникнет новая, сложная волна, которая будет описываться общим решением, так как левый н правый фронты ее будут распространяться по возмущенному газу.
Общая картина рассматриваемого нами явления с помощью С-характернстнк схематически показана на рнс. 43. Задача о двустороннем истечении газа в трубу впервые была решена Станюковичем. Результаты соответствующих вычислений приводятся ниже, 9 291 хсловия возникновение тленных волн 179 Массы М, импульсы ! и энергии Е истекающих вправо и влево потоков газа определяются следующими соотношениями: При п=3 имеем огг 2( + 2)' Л4г 2 (1 2), (28,1) 1,= — ""~" Меся 1сег 1 (2Я+ Ц(2Р)! (М+ц(2я+З) 2(р+ц(р!)г)(я ~ М„с„( с„г (2Я+ Ц (2Я!)! 2 ( ! (А+В(2Я+3) 2(р+ц~(д!)грела При и = 3 будем иметь (28,2) или, заменяя с„= у'п(п — 1)е„где е„— удейьная энергия газа, получим 7ьг = У 2Е~М, ~ — )г2е„-+- 1~ . (28,3) Энергии вычисляются по формуле Е г= ' е 2 1г~~',' (А+В! 1 4 ( + ) 1.
! 2гв+г)г1(д+2)!+ 2)с+3 что при п = 3 дает (28,4) Индексы 1 и 2 относятся к правому и левому потокам соответственно. 9 29. Условия возникновения ударных волн В 9 23 было указано, что при распространении простой волны сжатия в конечном итоге возникает ударная волна, характеризующаяся бесконечно крутым фронтом. В самом деле, пусть дано некоторое возмущение произвольной амплитуды, бегущее, например, в положительном направлении оси х. Найдем скорость распространения какого-либо заданного состояния среды, Напомним, что для простых волн все параметры состояния (р, р, с) связаны со скоростью и однозначной функциональной зависимостью.
Пусть в некоторый момент времени г! в точке х1 мы имеем значения и = и; с = с. Эти значения должны удовлетворять 12е 180 [гл. ч элементы глзовоя днидмнки полученным решениям, т. е. х, =(и+с) г, +Р(й). (29,1) Определим теперь, в какой точке х, будут наблюдаться те же значения й и с в некоторый момент времени ур)1ь Очевидно, что точка хг должна удовлетворять уравнению хг=(и+с) 1,+Р(й).
(29,2) Из (28,1) и (28,2) найдем, что ' =й+с. (29,3) Отсюда вытекает, что скорость перемещения заданного состояния среды есть и+ с, Два каких-либо состояния, характеризуемые различными значениями и н с, будут распространяться с постоянными, но различными между собой скоростями. Вследствие этого возмущение не может распространяться, не изменяясь; точки, характеризующие параметры состояния среды, для которых и+ с больше, например, гребни ° волны, т. е. места, где плотность максимальна, будут перемешаться быстрее, чем другие точки, для которых значения и+ с соответственно меньше.
Физически это очевидно и объясняется тем, что в более сжатом газе скорость звука больше; более сжатый газ имеет также большую массовую скорость, направленную в сторону распространения звука. В результате подобного распростране/ ния возмущения волна будет деформироваться. Области сжатия (гребни волны) будут выдвигаться вперед, области разреРнс.
44. деформация ження будут, напротив, отставать от общего среднего движения газа — гребни волны будут становиться все круче, наконец, фронт ее станет вертикальньгм (момент образования ударной волны). Пересечение характеристик, показанное на рис. 35, и отражает это явление. Если, однако, рассчитать давления для более поздних моментов времени, то получаются многозначные функции, согласно которым одна и та же точка х может одновременно иметь три различных значения давления и плотности, что с физической точки зрения является абсурдным, Характер деформации синусоидальной волны конечной амплитуды, вытекающий из полученных решений, показан схематически на рис. 44.
$29) хсловия возникновения тдхгных волн 15) Причина получения результатов, лишенных физического смысла, заключается в том, что исходные дифференциальные уравнения газодинамики, которыми мы пользовались, справедливы лишь до момента возникновения разрывов (рис. 35). В самом деле, образование скачков, поверхностей разрывов (давления, плотности, температуры), означает изменение энтропии системы, а при выводе решений мы пренебрегали теплопроводностью, т.
е. предполагали постоянство энтропии. Когда в процессе движения волны неограниченно возрастает гьт~ градиент температуры ~ — „~, то даже при малом коэффициенте теплопроводности Х должен также неограниченно возрастать и ет передаваемый путем теплопроводиости поток энергии й †. 'дх ' Отсюда очевидно, что для процессов, связанных с возникновением больших градиентов температуры, обязательно необходимо учитывать теплопроводность среды. Возникновение разрывов приводит, таким образом, к повышению энтропии, т. е.
к диссипации энергии, и следовательно, обусловливает сильное затухание волны. ГЛАВА Ч1 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН й 30. Основные зависимости Ударные волны играют исключительно важную роль в механизме распространения детонационных волн и представляют большой интерес при изучении механического действия взрыва а различных средах.
Теория ударных волн была создана еще во второй половине 19 столетия главным образом трудами Римана, Ренкина, Гюгонно. Первые исследования ударных волн, с учетом теплопроводностн, были проведены Ренкиным, который вывел для них основные дифференциальные уравнения. Однако систему этих уравнений пока что удалось решить для частного случая — стационарного плоского скачка уплотнения. Основные зависимости для стационарных ударных волн могут быть также получены непосредственно путем применения основных законов сохранения, не прибегая к интегрированию дифференциальных уравнений. Перейдем к выводу основных уравнений теории ударной волны. Предварительно рассмотрим общие условия на фронте произвольной, не одномерно движущейся ударной волны.
Фронт ударной волны можно рассматривать какповерхность, на которой претерпевают разрывов непрерывности параметры, характеризующие состояние и движение среды. Для вывода основных соотношений на поверхности разрыва в самом обшем случае неустановившихся движений среды рассмотрим какой-либо элемент поверхности разрыва в течение бесконечно малого промежутка времени. Рассмотрение проведем в прямоугольной системе координат, движущейся вместе с элементом, причем ось х направим по нормали к поверхности изучаемого элемента (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
