1612727554-7422b28b59adffe5b22446310d759047 (828458), страница 30
Текст из файла (страница 30)
На рис. 35 даи аналогичный чертеж для простой волны сжатия, образующейся при ускоренном вдвигании поршня в трубу. При каждом элементарном ускорении от поршня побегут отдельные волны сжатия, скорость распространения которых определяется наклоном С+-характеристик к оси ординат. Наклон этих линий к ординате постепенно увеличивается. Это объясняется тем, что каждая последующая элементарная волнасжа- $ 23) хлнлктвгнстнки кнлвненнй газовой дннлмнкн 157 Рнс.
35. Семейство карактернстнк дяя простой волны сжатия, возникающей прн вданганнн поршня н трубу. Инварианты Римана сами представляют собой характеристики в плоскости и, с. Вдоль каждой из характеристик С+ и С остается постоянной соответственно величина (, или 1 Малые возмущения величины /, распространяются только вдоль характеристик См а возмущения 7 — вдоль С . У волны, бегущей вправо, во всей области движения постоянно 7, а у волны, бегущей влево, постоянно !+. Из изложенного, в частности, следует отмеченное выше свойство простых волн — прямолинейность одного нз семейств характеристик С.
Это легко доказывается. Пусть волна распространяется вправо. В этом случае вдоль каждой нз С+-характернстик остается постоянной величина 7+. Кроме того, на характеристиках постоянна и величина 7, которая для простых волн является постоянной во всей области движения газа. Но из постоянства на любой С+-характеристике двух величин (е и 7 следует, что на этой характеристике и = сопв( и с = сопв(, что непосредственно ведет к заклю.
ченню о прямолинейности этих характеристик. тия будет распространяться по более уплотненному предыдущей волной газу, вследствие чего амплитуда волны будет непрерывно увеличиваться. Сходящийся пучок характеристик на рис. 35, которые в конце концов должны пересечься, указывает на тенденцию к образованию ударной волны. Однако пересечение характеристик друг с другом с физической точки зрения является абсурдом; поскольку вдоль каждой характеристики, как уже было выяснено, скорость остается постоян- 1 ной, то в точке пересечения мы будем иметь многозначные функции и(х, 1).
точка левам пересечения может быть ам интерпретирована как ме- яшзя сто возникновения ударной волны. Вопрос об условиях возникновения ударных волн мы рассмотрим ниже ($28). Ранее мы показали, что в простой волне постоянными во всей области движения в течение всего времени остаются инварианты Римана, которые (для изэнтропнческих движений) обозначим 2 2 7 =и+ — с=сопвй 7 =и — к с=сонат. + и — 1 ' — и — 1 158 [гл. ч элеминты газовой динамики 2 2 и+ — с =р. и — 1 к — =и+с (23,4) к — =и — с В данном случае движение среды будет автомодельным, поскольку и и с являются функциями лишь одной независимой переменной г= ~. Мы имеем тут дело с частным случаем класса автомодельных движений.
В общем случае з= —. Врас- сматриваемой задаче а( = 1, Легко также показать, что если область 7 какого-либо течения граничит с областью П стационарного течения (р = сопз1, р = сопз[, и = созп(), то область 1 есть простая волна. В самом деле, в области П постоянны 1, и ! а характеристики С, н С вЂ” прямолинейны. Граница между обеими областями есть одна из С;характеристик, показанная на рис.-36 в виде более жирной линии, т. е. линии С+ не переходят из одной области в другую. С -характеристики непрерывно переходят из одной области в другую н вносят из области П в область У постоянную величину 1, которая остается постоянной во всей области этого течения, которое представляет собой простую с, волну.
Из сказанного следует, что простая волна всегда примыкает к области покоя или стационарного слюаааьннаи течения, а скорость распространения фронта этой волны можно представить как скорость перемещения границы между двумя областями, которая представляет собой некоРис. 36. Движение волны (1), гРаничащей торый слабый разрыв с областью стационарного течения (П). Действительно, по- скольку движение по обе стороны от этой границы описывается различными уравнениями, то эта граница представляет собой разрыв производных тех или иных величин, которые (производные) совпадают с какой-либо характеристикой.
В том случае, когда в уравнении (22,17) )с(и) = О, будем иметь $ 23) ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ЛИНАМИКИ В автомодельных движениях распределение всех параметров х зависит от х и Г только в виде их отношения —, имеющего размерность скорости, т. е.
Вти распределения в различные моменты времени будут подобны друг другу. Если измерять длины в единицах, растущих пропорционально й то картина движения вообще не изменится. Это и является наиболее характерным свойством автомодельных движений. Простейшим примером такого движения является движение газа в цилиндрической трубе, закрытой на одном конце поршнем, который сразу начинает выдвигаться из трубы с постоянной скоростью. В этом случае все характеристики в плоскости х, 1 будут исходить из одной точки. Такие волны поэтому носят .
еще название иентрированных. На рнс. 37 показана центрированная волна разрежения, характеристики которой представляют собой пучок расходящихся прямых линий. В случае изэнтро- к пических одномерных рис. зт, цеитрярованная волна разрежения. движений, а также изэнтропических движений с осевой (цилиндрической) и центральной (сферической) симметрией все параметры среды зависят от одной пространственной координаты г, и уравнения газовой динамики, как нетрудно показать, принимают вид — +и — + — — =О, ди дв 1 др дг дг Р дг где 7у' = О для одномерных движений, 1Ч = 1 для движений с цилиндрической симметрией и 31=2 для движений со сферической симметрией.
Для движений с осевой и центральной симметрией характеристики в координатах г, Г уже не будут прямолинейными. В самом деле, применяя к системе (23,5) преобразованчзя, выполненные в 3 22, придем к уравнениям 2 — ~и ~ — с) + (и ~ с), -+ — = О. (23,6) 160 [гл. ч элементы газовой динлмики Таким образом, характеристики по-прежнему определяютсй уравнениями ог — =и -с иг но они уже не являются более линиями, на которых сохра- 2 няются постоянные значения и - — с, т.
е. они не являются л — 1 прямыми линиями ни в плоскости (х; 1), ни в плоскости (и; с). Только на больших расстояниях от центра или оси симметрии Фие величина — становится достаточно малой и характеристики г будут приближаться к характеристикам для одномерных движений.
$24. Установившийся изэнтропический поток Для установившегося одномерного потока справедливо уравнение Бернулли 1+ 2 — оо = сон 81~ (24,1) откуда и = 7 2((о — 1). При истечении газа в пустоту, когда р-+О и 1-+О, мы имеем и,„= У2оо. (24,2) Но для изэнтропнческих процессов согласно (21,3) Ж = — = соо[1п р = „с оХс ор У откуда оо л — 1' Учитывая (24,2), найдем / 2 вам г а 1 ОУ (24,3) (24,4) где со — скорость звука в покоящейся среде. Для определения критической скорости истечения газа и,р рассмотрим поток, движущийся в сопле, которое сначала плавно сужается, а затем расширяется (сопло Лаваля). Мы будем считать движение газа однородным по сечению сопла, а скорость— направленной вдоль оси сечения.
Линейные размеры сосуда будем считать очень большими по сравнению с диаметром трубы. Поэтому скорость газа в сосуде можно считать равной нулю и все параметры состояния газа — постоянными, 5 261 оеностогоннее истечение главе покоившегося глзл 16! Секундный расход газа через поперечное сечение сопла равен д = р из, где г — площадь поперечного сечения сопла; эта величина, очевидно, должна оставаться постоянной вдоль всего сопла, т. е.
(24,5) й =риз=сопз1. Максимальная плотность потока 1= ри будет мом узком сечении. Отсюда следует, что а=ил(р+Рди=О. С другой стороны, из уравнения Бернулли — =лИ= — иди. Ы,~ Р Определяя отсюда р и подставив его значение и'= — = с' Фр — — з Р достигнута в са- (24,6) следует, что (24,7) в (24,6), найдем откуда и,г = -'-с,р, что показывает на достижение в минимальном сечении сопла звукового режима истечения. Это сечение называется критическим н значение и,„= с,р также критическим. При р= Ар" уравнение Бернулли может быть представлено в виде ич ал — + — = с, =сопз1, 2 и — 1 О (24,8) а для критического сечения оно примет вид 2 з л лл с, го — — = — Ю 2 +л — 1 л — 1' откуда следует, что / 2 и„= с„= зг „+ с, = сопз1.
(24,9) Из соотношений (24,8) и (24,9) можно получить выражение и' — с'„= „+ (и' — с'), 2 (24,10) которое будет справедливо и для пространственных течений газа, если вместо и подставить полную скорость а. $ 25. Одностороннее истечение ранее покоившегося газа 11 Флмиа взрыве Пусть мы' имеем трубу, некоторая область которой заполнена газом, ограниченным с обеих сторон перегородками; Вне этой области — пустота. Расстояние между перегородками обозначим через 1. Начало координат поместим у правой (гл.
ч элементы газовой динамики перегородки (рис. 38). Площадь сечения трубы постоянна и принимается равной единице. В момент времени 1= О в сечении к = Оснимем перегородку. При этом начнется неустановившееся истечение газа в пустоту, и одновременно возникнет волна разрежения, направленная влево, т. е. мы будем иметь здесь дело с простой волной разрежения. Границами волны для каждого момента времени являются: справа — фронт истекающих в пустоту газов, перемещающийся направо; слева — фронт волны разрежения. Очевидно, что волна будет описываться особым решением уравнений газодинамики, так как наша волна является волной одного направления, распростра. няющейся по невозмущенному газу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
