1612727554-7422b28b59adffe5b22446310d759047 (828458), страница 29
Текст из файла (страница 29)
ч илн, если обозначить и+с=а, и — с =в, то да да дР де — +а — =0' — +р — =О. дг дх ' дФ дх (22,10) Решением системы (22,9) является х =(и+с) 1+г',(и+с), х = (и — с) 1+ г",(и — с), (22,11) где г1(и+ с) и Ре(и — с) — две произвольные функции от и+с и и — с соответственно. Решение (22,1!), являющееся общим решением дифферен- циальных уравнений в случае л =3, удобно записать в виде х = а! + Г, (а)' х = Рл + Рл (Р), (22,12) Анализируя уравнение (22,9) и его решения (22,!2), можно заключить, что заданные состояния, определяемые величинами и+ с = а и и — с = р, распространяются в среде при и = 3 не- зависимо друг от друга. На это указывает и то обстоятель- ство, что величина а и р определяются в уравнениях (22,9) при заданных начальных и граничных условиях совершенно независимо.
Особые решения. Выше мы установили, что существуют волны двух противоположных направлений, которые в общем случае (и Ф 3) взаимодействуют между собой. Они при р = Ар" описываются соотношениями д, (и-+- „' ! с)+(и-+-с) — „(и~ — с)=0. (22,13) В том случае, когда и+ — ! с=сопя!, 2 (22,14а) и — — „с=сонэ!, 2 (22,14б) уравнения (22,13) удовлетворяются тождественно, Волны одного направления, проходя через волны другого направления, будут взаимодействовать с ними н, следовательно, распространение волн противоположных направлений не будет независимым. В форме (22,7) уравнения особенно удобны для исследования. В случае, когда показатель изэнтропы п = 3, что, как будет показано ниже (см. $ 41), является справедливым для сильно сжатых продуктов детонации конденсированных ВВ, система уравнений (22,7) принимает очень простой вид д(а ~е) + д(и~ с) (22,9) 153 $ 23! хлтлктвеистики эелвнений глзозой динлиики Определив из (22,!4а) дс и — 1 ди дх 2 дх ' можно уравнение (22,6) привести к виду ди ди — + (и — с) — = О.
дГ дх (22,15) Аналогично, определив из (22,14б) дс и — 1 ди дт + 2 дФ ' можно уравнению (22,6) придать вид — +(и+с) — „=О. (22,16) Решением оистемы уравнений (22,!5) и (22,16) является х=(и-+ с)~+!'(и), (22,17) где р(и) — произвольная функция. Следует иметь в виду, что и и с непосредственно между собою связаны соотношениями (22,14а) и (22,!46).
В общем случае, когда уравнение изэнтропы имеет вид р=р(р), эти соотношения сводятся к и+- ) сд!пр=сопз1. Приведенные выше решения системы х =(и+с) В+Я,(и), и — — „с =сопз1, 2 (22,18) х= (и — с) 8+Рс(и), и+ — с =сонэ! называются особыми решениями и описывают частный случай распространения волны только одного направления. Такие волны носят название простых волн. Займемся более подробным исследованием этих волн, пользуясь методом харахтери. стих. $23. Характеристики уравнений газовой динамики В неподвижной среде малые возмущения распространяются во все стороны со скоростью звука. В более общем случае, когда среда движется и скорость движения зависит от х, у, г и1, скорость распространения малых возмущений будет в каждой точке пространства складываться из местной скорости движения среды и местной скорости звука.
В этом случае скорость 154 (гл. ч элементы глзово» динлмнки возмущений будет определяться тремя дифференциальными уравнениями в'х — =и='-а,с аг (23,1) в'г — =тв-~-а с аг —. — в~ где ~ . ~ , — — проекции скорости (т распространения фронта возмущений на соответствующие координатные оси н аь ам аэ— направляющие косинусы, нормали к поверхности фронта. Решение системы уравнений (23,!) прн заданных начальных условиях движения определяет некоторую гнперповерхность (23,2) 1".(х, у, х, 1) = О, являющуюся поверхностью фронта возмущения.
Такие поверхности носят название характеристических поверхностей или характеристик. Возмущения могут распространяться в виде волн сжатия и волн разрежения. Волнами сжатия называются такие движения среды, когда при движении каждого элемента среды давление в нем возрастает. Наоборот, когда в процессе движения в каждом элементе среды давление падает, мы имеем дело с волной разрежения. В случае одномерных неустановнвшихся движений газа уравнение (2,23) примет вид 1(х, 1) = О и характеристики будут собой представлять линии в плоскости х, 1, угловой коэффицнв'х ент которых — в каждой точке равен местной скорости распроаг странения звука относительно неподвижной системы координат.
В зависимости от того, распространяются лн возмущения в положительном нли отрицательном направлении х, мы будем иметь два семейства характеристик, которые назовем С,- н С -характеристиками, для которых ( — ) =и+с, (с ) =и — с. Для простых волн этим характеристикам, как видно нз (22,13), соответствуют соотношения 2 и+ — „с =сопз1, 2 и — — „с = сон з1. $ 23) хлглктвгнстнкя гглвнвннй глзовой дянлмяки 156 Онн называются инвариангами Римана н представляют собой характеристики основной системы уравнений (22,!3) в плоскости и, с; в этой системе за независимые переменные приняты и и с, а за зависимые к н й Эти характеристики представляют собой в плоскости и, с параллельные прямые линии. Кроме рассмотренных нами характеристик, имеется еще семейство характеристик, выражающим свойства энтропийных возмущений.
Для аднабатических движений 8=сопз1 для каждой частицы, поэтому онн переносятся вместе с веществом, т. е. скорость их распространения Й).=' Фх В случае н = 3 — „= сопя(, н фронты возмущений будут распространяться по законам х=ай+х„ х = р1+хм (23,3) (1-+- 1с' (и) + Г' (и)) а'и = О. Выражение в квадратных скобках не может быть тождественно равно нулю, поэтому г(и = О и и= сопя(.
Таким образом, мы приходим к заключению, что вдоль каждой характеристики соответствующего семейства Сэ или С остается постоянной скорость, а следовательно, н остальные параметры. Это означает, что каждое состояние в среде будет перемещаться с постоянной, присущей этому состоянию скоростью й+с илн и — с. Из этого свойства простых волн непосредственно вытекает, что С, характеристики (для волн, распространяющихся вправо) илн С характеристики (для волн, распространяющихся влево) соответственно представляют собой семейства прямых линий р плоскости к, С где к~ н кв — константы н и+ с = а = сопя(; и — с =я=сопя(, т.
е. эти характеристики в плоскости к, г будут представлять собой прямые лияин. Дифференцируя уравнения (22,17) для простой волны, будем иметь ах =(и"'-с) Ы+ [1-+-с'(и) +Р'(и)1~уи. В то же время вдоль характеристик С+ н С имеем йх = (и -+- с) с(г. Сравнивая оба равенства, придем к выводу, что вдоль ха- рактеристики 156 (гл. и элементы газовой динамики С целью более наглядного выяснения свойств простых волн рассмотрим следующие два случая.
Пусть в трубке, закрытой с одного (правого) конца, находится газ, ограниченный слева поршнем. При выдвигании поршня возникает простая волна разрежения. На рис. 34 изображено семейство С+ характеристик для этой волны, представляющее собой расходящиеся прямые, образованные на кривой х = х(1), описывающей движение поршня.
Справа от характеристики х =са1 простирается область покояг шегося газа, в кото- рой все характеристиСа кн параллельны друг другу. Расхождение хах-с,с рактеристик в самой волне объясняется следующим. В результате начального ускорения поршня на начальном элементарном участке Лблзсазлз его пути возникает перланиля вая волна разрежения, которая будет перемео шаться относительно Р«с.
34. Семейство хаРактеРистик дла про поршня слева направо стой волны разрежения, возникающей при выдвижении поршня нз трубы. со скоростью и+со, так как фронт возмущения перемещается по покоящемуся газу со скоростью звука са, а возмущенный газ движется вслед за поршнем.
Следующая волна возмущения, которая побежит от поршня при дальнейшем его ускорении, не сможет поэтому догнать фронт первого элементарного возмущения и т. д. Вследствие этого наклон С+ характеристик к осн ординат будет уменьшаться по мере ускорения поршня, т. е. эти линии будут расходиться. Сечение А~Аз, отвечающее некоторому определенному моменту времени, на- этом рисунке представляет собой область газа, охваченную к данному моменту времени волной разрежения; с течением времени, как очевидно, область возмущения будет расширяться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
