1612727554-7422b28b59adffe5b22446310d759047 (828458), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Эту силу мы вправе приравнять произведению массы р еднде ницы объема среды на ускорение —, т. е. сЫ ' — + — пгабр=О. Ые (20,3) Р де Производная — „есть ускорение заданной частицы среды, передвигающейся в пространстве, а не ускорение в данной неподвижной точке пространства. Для того чтобы определить ускорение частицы, находящейся в заданной фиксированной точке де пространства, выразим полную производную — „- по формуле векторного анализа д — — — +(Еч) МР. де де (20,4) Первый член правой части этого уравнения определяет ускорение в данной точке пространства при постоянных х, у н г, а второй член — ускорение, обусловленное изменением скорости (для данного момента времени) при переходе от данной точки пространства к точке, удаленной от нее на расстояние Ыг, пройденное частицей в течение времени ~й.
Используя (20,3), мы можем теперь уравнение (20,4) представить в следуюшем виде: — +(еЧ) е+ — и бр=О. де 1 дг Р— =О. 4С (20,6) Уравнение (20,5) есть искомое уравнение движения жидкости, известное также под названием уравнения Эйлера. Выведем теперь уравнение, характеризуюшее закон сохранения энергии. Ранее уже указывалось, что мы будем рассматривать лишь адиабатическое движение среды. При адиабатическом движении энтропия каждой частицы жидкости остается постоянной. Обозначая энтропию, отнесенную к единице массы среды через 5, мы можем выразить условие адиабатичности среды в виде $20) тглвнения глзоэой аинлмики 147 Здесь, как уже указывалось, полная производная энтропии по времени означает изменение энтропии данной перемещающейся в пространстве частицы.
Поскольку з д5 д5 сз д5 дх» д5 — = — + х — „— = — +едгабЯ д» д» .»Ьд дх» д»»Г» У »-1 где х» — координаты частицы, находящейся в заданной точке пространства (» = ), 2, 3), то условие адиабатичности движения в форме Эйлера можно записать в виде — +едга») 5=0. д5 (20,1) л сопя (20,8) Такое движение называется иээнтролическим. Дополнив выведенные нами основные уравнения уравнением состояния вида р=р(р; Т) или уравнением состояния р=р(р; 5), (20,9) мы придем к замкнутой системе уравнений — +б»эре=О, др д» вЂ” + (етг) е + — йтаб р = О, д5 — д» +едгаб Я=О, р=р(»ч Я, (20,10) определяющей при заданных начальных и граничных условиях параметры о, р, р и 5 (или Т), характеризующие движение и состояние жидкости (газа) как функции г и й Перейдем теперь от векторной формы уравнений газовой динамики к координатной форме, в которой они являются удобными для решения и исследования.
»о» Если в некоторый начальный момент энтропия для всех частиц среды была одинакова, то в силу адиабатичности процесса она остается постоянной в течение дальнейшего движения среды. В этом случае условие адиабатичности принимает вид 148 (гл. о элементы газовой динамики В прямоугольной системе координат основные уравнения газовой динамики примут вид: +р! .+ + — )=О, др др др др l ди до дв ! др дх ду д» 1дх ду д» ) ди ди ди ди 1 до — +и — +о — +в — + — — =О, дг дх ду д» р дх до до до до ! др -д-+и — + и о-+тв — + — — =О, дх у д» р ду де дм дм дв ! ди — +и — +о — +то — + — — =О, др дх ду д» р д» д5 д8 дЯ д5 -о — +и — +тг — +!в — =О, дх ду д» Р=Ир! Я.
~ (20,11) где и, о и !о означают проекции скорости о на оси х, у н г. В тех случаях, когда параметры, определяющие движение и состояние среды, зависят от времени, т. е. когда в заданной области пространства эти параметры со временем измеияются,— движение среды называется неустановившимся. В тех же случаях, когда параметры движущейся среды в каждой заданной точке пространства остаются неизменными во времени, движение, напротив, называется установившимся.
При этом, как очевидно, все частные производные по времени в наших уравнениях обрашаются в нули и система уравнений (20,!1) значительно упрощается. В процессе последующего изучения явлений, связанных с детонацией ВВ и действием взрыва, нам придется главным образом иметь дело с неустановившимися движениями газа. Во многих случаях движения сред их плотность можно считать неизменяющейся, т. е. постоянной во всем объеме жидкости в течение всего времени движения.
0 таком движении говорят, как о движении несжимаемой жидкости. В этом случае общие уравнения газодинамики сильно упрощаются. В самом деле, если р=сопз1, то о =5р — — сопз1 и все частные производные плотности обращаются в нули. Мы придем к системе четырех уравнений с четырьмя неизвестными (и, о, го н р), из которых три уравнения — уравнения движения Эйлера — остаются без изменения, а уравнение неразрывности принимает вид — + д + д =б(ору=О. ди до дм (20,12) Как будет показано ниже (глава Х!Ч), при решении ряда задач, связанных с действием взрыва в плотных средах (вода, грунт, скальные породы и т. и.) уже на относительно небольших расстояниях от источника взрыва можно практически прене- 149 з 211 тгхвиенив ввгихллн бречь сжимаемостью соответствующих сред и пользоваться дифференциальными уравнениями для несжимаемой жидкости. Введем теперь понятие о так называемых линиях гока.
Линиями тока называют линии, касательные к которым указывают направление вектора скорости в точке касания в данный момент времени; они определяются системой дифференциальных уравнений Ак Фу дг и о е $21. Уравнение Бернулли Уравнения упрощаются в газодинамики, как уже было сказано, заметно случае стационарного течения жидкости (газа). дв теперь — =О, то уравнение (20,5) сведется дг Поскольку к равенству (и 7) ц+ — втаб р= О.
1 Р (21,1) Преобразуем зто уравнение, используя известное термодинамическое соотношение ж=)'ыя+ — ~, (21,2) где 1 — теплосодержание среды. В случае аднабатичности движения для каждой частицы (вдоль каждой линии тока) Но'=0 и 1 Ж = — д,~. Р (21,3) Далее из векторного анализа известно, что (п7) а = -к ятад д' — [е го1 э], 1 (21,4) где ~у = 'Р' и'+ ох+ таз — абсолютная величина течения. скорости При установившемся движении жидкости линии тока остаются неизменными во времени и совпадают с траекториями частиц жидкости. При неустановившемся движении такого совпадения, очевидно, нет: касательные к линиям тока дают направление скорости разных частиц среды в последовательных точках пространства в определенный момент времени, в то время как касательные к траекториям дают направление скорости определенных частиц в последовательные моменты времени.
150 [гл. ч злементы глзоеой диилмики Учитывая равенства (21,3) и (21,4), мы можем теперь представить уравнение (21,1) в виде втаб ( — + 1) = ]о го1 тг]. (21,5) Вектор ]трго1тг] перпендикулярен скорости тг, поэтому его проекция на направление, касательное к линии тока, в каждой ее точке равна нулю.
Отсюда следует, что — + г = сопз1. (21,6) Уравнение (21,6) называется уравнением Бернулли. Заметим, что значение сопз[, вообше говоря, различно для разных линий тока. В случае изэнтропических движений значение сопл[ одинаково для всех линий тока и уравнение Бернулли принимает вид дй — + г = гп = сопз 1. где [п — теплосодержание среды в состоянии покоя. $22. Одномерные иззитропические движения газа — +и + — =О, д!пр д!ар ди дт дх дх д+ —.+-д =~ (22,1) Для иззнтропических процессов р= Ар".
Из (22,2) следует, что поскольку (22,2) (Р) с', где с — скорость звука, то сз,г!п Р = сЦ Р (22,3) Теория одномерных неустановившихся движений сжимаемых сред имеет большое принципиальное значение для выяснения физических закономерностей неустановившихся движений вообше и, в частности, позволяет решать ряд конкретных задач, связанных с определением параметров движения и состояния продуктов детонации, В случае одномерных движений основные уравнения газодинамики могут быть представлены в виде 151 $221 одномееные нзэнтеопнческне движения Глзя с=(АИ)' р ' Отсюда находим с(!пр= — и!!пс. 2 и — ! (22,4) Подставляя из (22,4) значение сс!пр в первое уравнение системы (22,1) и умножая его почленно на с, придем к выражению (22,5) Аналогично используя (22,3) и (22,4), можно второе уравнение системы (22,1) написать в виде ди ди 2 дс — +и — + — с — =О.
дг дк и — 1 дх (22,6) 2 Умножив (22,5) на „вЂ” и складывая или вычитая нз полученного уравнения (22,6), получим д(н ~ — с) — (и~ — ! с)+(и с) д„=О. (22,1) Учитывая, что — с= / сс(!пр, 2 и — ! дс (и~ / сст!пр)+(и !-С) д (и-+ / с!с!пр)=0. (228) Из уравнений (22,8) и (22,7) видно, что заданное состояние 2 среды, определяемое величинами и+~ сп!1пр или и+ — с, распространяется со скоростью и+ с в положительном направлении осн х по течению среды, а состояние, определяемое вели- 2 чинами и — ~ с!!1п р или и — — с, распространяется со скоростью и — с против движения среды.
При этом распространение возмущений прн дозвуковой скорости будет происходить как в положительном, так и отрицательном направлении оси х; при сверхзвуковой скорости газа возмущения будут относиться течением н распространение нх будет происходить только в поло. жительном направлении оси х (начало координат мы здесь предполагаем движущимся вместе с источником возмущения). можно систему наших уравнений также представить в виде со- отношения 152 элементы глзовой динлмнки (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
