1612727554-7422b28b59adffe5b22446310d759047 (828458), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Действительно, дифференцируя уравнение (26,10) по 1, получим 2%+1 дР( д1 ) + ЮГ+1 д1( дГ) дло( д1 ) ° Введем теперь вместо и переменную /2И+3. и У 2дГ+1' при этом (26,10) дает уравнение 21У+З ' дс ( д1 )+ д1( дк ) (д„*о )( д1 ) Как и следовало ожидать, общее решение двух уравнений (26,3) в частных производных первого порядка зависит от двух произвольных функций. В случае У=О, т=3 и фр — — Я/2~'+ и) + Я/2с' — и).
При этом дф у,(т~2с+и)+~с(г'2с — и) У'~(с+и)+Ур(с — и) дс у'2т (26,18) и согласно (26,8) х='и1 — у",(с+и)+7,'(с — и) = = — "(7"', (с+и) +7р (с — и)] — ~, (с+ и) +~з (с — и). (26,19) Соотношение (26,!8) напишем в виде с1 =~', (с+ и) +7р'(с — и). (26,20) Заменяя в (26,19) последовательно ),' и г' из (26,20), получим х=(и+с) й — 27",(и+с) =(и+с) с+Р,(и+с), х = (и — с) $+ 2Яс — и) = (и — с) с — Рр (и — с), (26,21) т.
е. мы пришли к уже известным нам общим решениям в случае 7=3. При нахождении общего решения газодинамических уравнений мы от независимых переменных к и 1 перешли к незавнси. мым переменным и и (, разделив систему (26,1) на якобиан ' д(и,() =д(6) ' считая Л чь О. Для простых же волн этот метод решения неприемлем, так как для них и и 1 (или и и с) являются взаимозависимыми друг от друга определенными функциями и поэтому обращается тождественно в нуль указанный якобиан. В $23 было установлено, что простая волна всегда граничит либо с областью покоя, либо с областью стационарного течения. Поэтому движение, описываемое общим решением (26,17), не может непосредственно примыкать к этим областям, а отделено от них промежуточной областью простой волны. Граница между простой волной и волной, описываемой общим решением, поскольку она одновременно является границей между областямн двух различных аналитических решений, по необходимости всегда является характеристики.
й 261 решения для одномерных изэнтеопических движений глзл 169 170 элементы глвовой динлмики (гл. ч При решении различных конкретных задач возникает необходимость в определении значения ф на этой граничной характеристике. Условия сопряжения простой волны с волной, описываемой общим решением, могут быть выполнены путем подстановки выражений (26,6) и (26,8) для х н ! в уравнение простой волны х = (и.+- с) г+1(и).
При этом мы получим — -+- с — +7" (и) = О. дф дф ди д! (26,22) Поскольку для простой волны, а следовательно, и на граничной характеристике и!и = -+- сг(1п в = -+- —; с = -+- —, с! д! с' и' то дф ~+~(~) =О, ф = — ) 7'(и) г7и. откуда (26,23) чем и определяется искомое граничное значение ф. В частном случае, когда 1(и)= 0 (центрированные волны) ф = сопз1. Так как сама функция ф задана с точностью до константы, то, не уменьшая обшности, можно считать на граничной характеристике ф = О.
Область, характеризуемая общим решением, может слева и справа сопрягаться также с областями, характеризуемыми общими решениями, илн, с одной стороны, с областью, описываемой особым решением, а, с другой стороны, с областью, описываемой общим решением. Может быть также случай, когда с обеих сторон области общего решения находятся области особых решений. Простая волна с одной стороны всегда должна сопрягаться или с областью покоя, или с областью стационарного движения. С другой стороны может быть или область сложной волны, или волны стационарной. Область возмушения, описываемая обшими решениями, может быть также ограничена с одной стороны стенкой, что приводит к отражению, а часто и к сложному взаимодействию различных волн. Область обшего решения в ряде случаев может быть ограничена с одной илн обеих сторон областями возмущения, имеющими другую энтропию, т.
е. отделяться от них так называемым особым или контактным разрывом. $271 отгикенне центенеовянной волны глзгвжвння от стенки 171 Полученные общие решения, если известны начальные и граничные условия, дают возможность решать ряд важных конкретных задач, связанных с определением движения при отражении волны разрежения от стенки, при двухстороннем истечении газа из трубы, взаимодействии волны разрежения с ударными волнами и т. д.
ф 27. Отражение центрироваиной волны разрежения от стенки В $25 мы рассматривали движение волны разрежения, возникающей при внезапном снятии в трубе правой перегородки. Найденные нами при этом решения являются справедливыми лишь до момента времени 1 = 1ь т. е. пока волна разрежения не дойдет до левой стенки, находящейся на расстоянии 1 от начала координат. Очевидно, что 1 яв (27,1) После этого возникнет отраженная волна, которая будет распространяться по уже возмущенному газу и поэтому будет описываться общими решениями основных уравнений газовой динамики. На рис.
40 изображена диаграмма характеристик для процесса отражения волны. В области ! и !' газ неподвижен; в области 3 — движется слева направо с постоянной Ряс 40. Отражение цеятрированяой скоростью; 2 — область падаю- волны разрежения от стенки. щей волны разрежения с прямолинейными характеристиками С . Область 5 — отраженная волна с прямолинейными характеристиками С,. Область 4 — область взаимодействия или взаимного проникновения двух волн разрежения, в которой прямолинейные характеристики искривляются. Для этой области и должно быть найдено решение газодинамических уравнений.
Это решение вполне определяется граничными условиями. Первое условие ! состоит в том, что на стенке (аЬ) при х = — 1 и любом 1 )~ 1я =— с„ скорость газа тождественно равна нулю. Подставляя эти 172 1гл. ч элементы глзовой дннлмнкн условия в соотношение (26,4) х=и1 — —. дФ ди ' будем иметь — =+1 дф дл (27,2) Второе условие легко найти, рассматривая границу сопряжения отраженной волны с падающей простой волной. Эта граница есть отрезок ас характеристики С„возникшей в момент времени 1~ у стенки. Поэтому на ней должно быть 2 и+ — „с=сопз1. 2 У стенки (в точке а) и=О и сопз1= „— с„. На этой границе, как выше было доказано, должно быть ф = О.
Таким образом, второе условие дает и= „(с,— с), ф=О. 2 (27,3) где 6=%=( с), Я=2(2М+1). Подробное рассмотрение этого вопроса можно найти в книге Станюковича «Неустановившиеся движения оплошной среды». Приведем некоторые важные для нас результаты расчетов, полученные исходя из приведенных выше точных решений, Полный импульс, действующий на стенку, определяется соотношением 1=1У 2М, Е,, (27,6) 'Исходя из этих двух граничных условий, легко могут быть теперь определены произвольные функции Р1 и Рь Выражая с через 1, получим для характеристики сопряжения и = ~'2 (2М+ 1) )У г,', — УТ~. При этом произвольные функции будут зависеть от аргументов: Р1 =Р~[У 2(2М+1) 1, 1' Р1 =Рз(У 2(2%+1) (2Ус' — ~/сД. Можно доказать, что Рзяя О и функция, всегда удовлетворяющая этим условиям, есть 1 д"-' НУ'В +л)з О. Р (27,4) 2Ф! дал-1 У з й 27) отелжвнив цвнтеиеовлиной волны елзевжвння от стенки 173 где М, и Е, — полные масса и энергия газа в состоянии покоя, ~ = ф'2Д(+3 ""+ ')' — с м(м, с~ Значения й для различных значений и и М приводятся ниже Как мы видим, величина $ мало зависит от значения л.
Большой интерес представляет для нас задача по определению параметров в отраженной волне при в=3. Учитывая, что в рассматриваемом нами случае Гз=О, уравнение (26,17) дает ф = Р, [~"21+ и]. Далее на стенке (х= — 1) и= О; из соотношения х=и1 —— дф Ни дф имеем — =1= К(Ф~21). После интегрирования в пределах от с. до 1 получим Р,(~ 21) =1(У 21 — )/2г,). Таким образом, функция $ будет иметь вид ф = 1(у' 21 — У2к„+ и). (27,6) Далее можно определить давление р~ у стенки после прихода волны разрежения. С этой целью определим, исходя из (27,6) дф 1 1 дс ~Зс с' е--~ Поскольку с — р '", то что при л = 3 приводит к следующему соотношению: (27 7) 174 (гл. ч элвменты газовой динамики их — =и+с.
сг Подставив сюда значения и и с из (25,9), найдем ах 4 3 — и х — = — с„+— кс и+1 я и+1 с' (27,9) Интегрируя (27,9) и учитывая, что интегральная линия должна ! проходить через точку х = — 1 при 1 = †, найдем сн' я-а (27,10) Для бегущей волны разрежения х=(и — с) 1. Из (25,7), (27,10) и (27,11) следует, что а+1 1 ('сн ')с(а-я) с„~ с l Это выражение определяет момент встречи отраженной волны с падающей.
Выражая с и с, через давление, найдем (27,13) (27,11) (27,12) В случае и = 3 (27,14) т. е. давление в отраженной волне не зависит от координаты, а только от времени, что является важным обстоятельством, упрощающим все расчеты при решении ряда конкретных задач, связанных с движением продуктов детонации конденсированных ВВ (отражение детонационной волны от стенки и др.). Представляется интересным определить давление р, в сечении х = О, т. е. для момента времени 1= (ь когда отраженная т. е. давление р| у стенки убывает обратно пропорционально третьей степени от й При других значениях и для р~ получаются значительно более громоздкие соотношения. Вычислим теперь давление рв в точках (на линии) сопряжения отраженной волны с падающей.
На этой линии на основании (27,3) справедливо и = — „(с, — с). 2 (27,8) Уравнение этой линии, являющейся С -характеристикой, можно найти из условия $271 отзажвннв цвнтгнговлнной волны тлзгвжения от станки 175 волна достигнет начала координат. Для этого момента на основании (25,!О) получим с, и+1 2 Отсюда следует зв (27,15) что при а = 3 дает — = —. Рт Р„В' Ниже приведены значения Р' (при 1= 1з) для различных и, Р1 полученные в результате точных решений. !з т7а Рт Рв 0,925 0,923 0,910 1,000 Эти данные показывают, что в отраженной волне давление, а следовательно, и скорость звука с мало зависят от координаты при любых значениях п. Рнс. 41.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
