1612727554-7422b28b59adffe5b22446310d759047 (828458), страница 34
Текст из файла (страница 34)
45). Скорость ударной волны прн этом представляется как скорость перемещения нашего элемента вдоль оси х. На поверхности разрыва должны выполняться основные законы сохранения: массы, количества движения и энергии, Из закона сохранения массы вытекает, что на поверхности разрыва должен быть непрерывным поток среды через рассматриваемый элемент поверхности. % 301 183 основныв зависимости Поток среды, отнесенный к единице площади поверхности разрыва, есть ри, где р — плотность среды, а и — компонент скорости ее потока по оси х.
Поэтому, обозначив индексами 1,2 соответственно состояние невозмущенной и возмущенной среды, т. е. состояния среды по обе стороны от поверхности разрыва, можем написать закон сохранения массы (на поверхности разрыва) в виде р,и, = рзиз. (30,1) Закон сохранения потока количества движения запишется в следующем виде. Непрерывность х-компонента потока количества движения будет определяться соотношением ф пВеРхеееегп Разрмре т з х р, + р,и, = р, + азиз. (30,2) Непрерывность у-компонента и г-компонента потока количества движения соответственно будет определяться соотношениями Рсигпг=Рзизпз (ЗО,За) Рнс.
45. к выводу завнснмостей на поверх. ности разрыва. р,и,та, = рзизтва. (30,36) Условие непрерывности потока энергии, выражающее закон сохранения энергии, будет иметь вид (30,4) — а = Гм .~. ч .~. ~'„(зсз) где д~ и дз — полные скорости среды; 1 Е+рп — энтальпия или теплосодержание среды. Учитывая условие (30,1), можно соотношение (30,4) написать так: 2 + гг = — +ге. тг~ . тз (30,6) К этим шести уравнениям можно добавить уравнение состояния среды р =У(р, 7'), (30,7) которое предполагается известным. Уравнения (30,!), (30,2), (30,3а), (30,36), (30,5), (30,6), (ЗОс7) полностью определяют условия на поверхности разрыва, 184 элвмвнтлгнзя твогня хдлэных волн [гл.
!и По этим семи уравнениям, зная параметры состояния невозмущенной среды, можно определить иь пг. вь рь йь Т! н 1ь характеризующие движение и состояние возмущенной среды по другую сторону поверхности разрыва. Анализируя выведенные соотношения, можно придти к следующим выводам. В случае, когда и! =из=О через поверхность разрыва отсутствует поток среды; при этом нз (30,2) следует, что р! = рв т. е. давления по обе стороны поверхности разрыва одинаковы.
Плотности же и тангенциальные компоненты скорости о и и! в этом случае могут иметь любые значения с обеих сторон поверхности разрыва. Если тангенциальные компоненты скорости (хотя бы один из них) не равны между собой по обеим сторонам разрыва, то такой разрыв называется тангенциальным. При этом плотности (эитропии) могут быть как одинаковыми, так и различными по обеим сторонам поверхности разрыва. Если же и! = о, и и!! = и!ь а Р! ть Рь то такой РазРыв называетсЯ особым.
Если поток среды через поверхность разрыва существует, то и! чь и, чь О. (30,8) При этом из уравнений (30,3а), (30,3б), (30,1) следует, что и!=пг тэ!=и!ь (30,9) т. е. тангенциальные компоненты скорости непрерывны на поверхности разрыва. В этом случае давление, плотность и другие термодинамические параметры состояния среды действительно испытывают скачок на поверхности разрыва, как это очевидно из выведенной системы уравнений, которые для данного случая принимают вид: ! «! . в! к!и! — г2!Й Р! + г!и! Рз+ ~п2! я + $! я + гз. (ЗОВ 10) В тех случаях, когда и! + из + О, а о! —— оз = 0 и гв! = газ =О, поток среды движется по нормали к поверхности разрыва и мы будем иметь дело с прямой ударной волной.
Если же о! + и, Ф чь 0; и!! Ф и!, Ф О, то мы будем иметь пространственную косую ударную волну; если же один из тангенциальных компонентов скорости равна нулю, то такая волна будет плоской и называться просто косой ударной. волной. Заметим, что выведенные нами соотношения являются формально общими для поверхности разрыва любой формы,. й зц ПЛОСКАЯ ПРЯМАЯ УДАРНАЯ ВОДНА 185 Поверхность разрыва, как уже было сказано, есть фронт ударной волны, скорость распространения которого Р по определению направлена по нормали к поверхности. Всегда можно выбрать такую систему координат, чтобы собственное движение поверхности разрыва происходило по нормали к ней. Такая система координат, в отличие от той, в которой фронт ударной волны (данный элемент фронта) покоится, будем называть неподвижной.
В неподвижной системе координат скорости и|в и ивв будут иметь соответственно значения и„= и, + О, и„= и, +.Р, (30,11) и уравнения (30,10), если о1 =ад=в,=юв — — О, примут вид: р,(и1о — Р) =р,(им — Р), р,+р,(и„— В)в=рв+р,(ито — Р)в, 1,+ 2 (и„— Р)'=~+ 2 (и„— 1')'. (30,12) 1 з Перейдем теперь к рассмотрению основных свойств и закономерностей для ударных волн. Рассмотрение мы будем вести для плоской прямой ударной волны. $31. Плоская прямая ударная волна Пусть в цилиндре сечением, равным единице, наполненном какой-либо средой, распространяется слева направо плоский скачок давления. Скорость С, д С перемещения скачка обозначим через Р.
Невозмушенное состояние среды справа от скачка характеризуется следующими вели- чинами: рь рь и~ + О. За фронтом скачка будем иметь рнс. 46. к выводу зввнснностей ддв параметры р р и (см плОской удврной водны. рис. 46). На наше движение накладывается собственная скорость частиц в невозмущенной среде иь Поэтому действительная скорость скачка уплотнения будет Р— иь а скорость потока за фронтом волны ив — иь Рассмотрим систему координат, которая движется в сторону, Противоположную движению скачка с той же скоростью Р.
Для этого необходимо привести всю среду в движение справа налево со скоростью — Р. При этом граница АВ между возмущенным и невозмущенным состоянием среды останется неподвижной. Для получения необходимых зависимостей по-прежнему воспользуемся тремя основными законами сохранения, 186 (гл.
ю злеивнтлгнля тзогия идлгных волн В принятой системе координат невозмушенная среда справа от фронта АВ волны будет двигаться налево со скоростью 0 — иь а сжатая волной среда — слева и справа от фронта соответственно со скоростями 0 — и,; 0 — иг. Через одну секунду масса газа, которая вначале заключалась в объеме 0 — иь займет объем 0 в иь так как правая граница его С0 переместится в положение АВ, а левая его граница А — в положение С,0,. Очевидно, что масса, заключенная в объеме 0 — иь равна массе, заключенной в объеме 0 — иг, т. е.
р,(Р— и,) =р,(0 — и,), (31,1) Уравнение (31,1) представляет собой выражение закона сохранения массы. Применим 2-й закон Ньютона (31,2) Е1=Ми, Наконец, составим уравнение сохранения энергии. Внутренняя энергия единицы массы среды есть Е; кинетическая энергия иг единицы массы среды —. При движении среды в единицу времени затРачиваетсЯ Работа, РавнаЯ Ргиг — Ргиг.
Отнесем этУ работу к единице массы, получим Ргиг — Ргиг Я вЂ” иг) рг Работа, произведенная силами давления, расходуется на изме- нение внутренней и кинетической энергии системы, вследствие чего обший баланс энергии запишется в следуюшем виде: Ргиг — Ргиг ~4 .1 (Π— ид Рг =(Е,— Е,) + г2 2)' (31,4) Преобразуем выведенное соотношение. Напишем (31,1) в виде 0 — иг Р— иг (31,5) иг иг где Š— сила, 1 — время ее действия, Ми — приобретенное телом количество движения.
В нашем случае сила, приводяшая газ в движение, есть разность давления р, — рь Время, в течение которого она действует, положим равным единице. Тогда закон сохранения импульса примет вид р, — р, = р, (Π— и,) (ил — и,). (31,3) где о = 1/р — удельный объем. Умножив обе части этого уравнения на о1оя, получим (Р— и1) оз = (Р— и,) о„ откуда и1Р1 — Я1У1 ЮЯ вЂ” 01 Вычитая и, из обеих частей равенства, найдем Р— и1=о1 ЯЯ О1 — ОЯ отсюда 11 — и1 и1 — и1 (31,6) ~1 ~1 ~~1 Далее из (31,3) имеем  — и1 Р1 — Р1 Сравнивая два последних выражения, получим и, — и, = у' (р, — р,) (о1 — оз).
(31,7) Из найденных соотношений легко получается выражение для скорости распространения ударной волны Р— и1 =Ф1 Р1 Р1 ~1 С~1 (31,8) Используя соотношения (31,8) и (31,6), преобразуем уравнение энергии, представив его в виде Ея — Е,= — (( — и,) 12 Р' ' Р' 1 — (и,+ )~= 2 = — (и,— и1)1('1+Р1) что дает Е,' — Е, = —, (о1 — оз).
Р1+Р1 2 (31,9) Это уравнение носит название уравнения Гюгонио, Восполь- зуемся им для установления связи между параметрами состоя- ния среды по обе стороны поверхности разрыва, 83Ц ПЛОСКЛЯ ПРЯМЛЯ УДЛРНЛЯ ВОЛНЛ 187 [гл. т! !88 элементленля теоеия тлленых воли Для идеального газа и вообще для среды, подчиняющейся политропическому закону ро" =сопз1, имеем (31,10) Р!о! Ф; — 1' л Ряот Ея=л 1 ° Произведя элементарные преобразования, найдем, что ля+1 Гя Рт Лт — 1 Рт — — +! Лт+ ! Ря тт Ля — ! Ря г! Л!+! ! Рт Лт — 1 Ря Л!+1 тт — р, или, приняв (для не слишком сильной волны) й, =Йя= Й, при- дем к выражениям В таком виде уравнения носят название ударной адиабаты или адиабаты Гюгонио. Эта адиабата, выражая закон сохранения энергии, является аналогом обычной адиабаты н справедлива для ударных волн в политропических средах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
