1612727554-7422b28b59adffe5b22446310d759047 (828458), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Здесь уместно указать, что фронт газа, истекающего вправо в пустоту, нельзя рассматривать как волну, так как здесь частицы газа, сами двигаясь, не приводят в движение никакую среду. Распределение скорости и плотности газа по обе стороны от снятой стенки описываются одними и теми же уравнениями. Для решения поставленной задачи мы должны воспользоваться уравнениями х=(и — с)1+г. (и), (25,1) и = — — „с+сопз1. 2 (25,2) Рнс. 38. К выводу зависимостей дая одностороннего истечения газа в пустоту. откуда 2 сон 81 = с, и — 1 и второе уравнение примет окончательный вид и= „(с,— с).
2 (25,3) Предельная скорость при истечении в пустоту, очевидно, будет определяться соотношением 2 и = — „1с„ (25,4) Для определения неизвестных г'(и) и сопз1 воспользуемся сле- дующими граничными условиями. Для покоящегося газа и =О. и с=с.. Следовательно, 2 О = — — са+сопз1, п — 1 $ 251 одностогоннее истечение глине покоившегося глзл 163 т. е. а»» (»вг»») . / 2 и,~» о»о» и — 1 (25,5) х=(и — с)8, (25,6) о откуда при С=О, х=О, и — с= —, т. е. и и с являются неопределенными, что как раз и соответствует условиям нашей задачи.
Действительно, в начальный момент при снятии перегородки и н с не имеют определенных значений, так как скорость и скачком возрастает от нуля до своего предельного значения и 2 = „ — с», а плотность, давление и скорость звука скачком падают до нуля от своих начальных значений. Таким образом решение окончательно примет вид х. и — с=— С ' и= 1 (с» с).
2 (25,7) Рассматриваемое нами движение газа является автомодельным, поскольку все параметры, характеризующие его, являются функциями — . Определим теперь закон движения фронта волны разрежения. Этот фронт во всей области волны в любой момент 11» что непосредственно следует из сравнения выражений (25,4) и (24,4). При п».,З это соотношение всегда больше единицы. 7 Так, например, для воздуха (и = — ) скорость неустановившез гося истечения приблизительно в 2,2 раза больше скорости установившегося движения.
Это объясняется тем, что при неустановившемся течении одна часть газа может иметь энергию значительно большую, а другая — меньшую, чем средняя энергия газа, тогда как в случае установившегося потока энергия всех частиц, находящихся в движении, одинакова. В процессе движения в неустановившихся потоках, как будет показано ниже, происходит непрерывное перераспределение энергии по массе движущегося потока. ° Покажем теперь, что г(и) в (25,1) должна тождественно равняться нулю, так как движение газа в начальный момент прн С=О определено в сечении х=О. В самом деле, при г"(и) =0 уравнение (25,1) принимает вид 164 элементы газовой динамики (гл.
ч времени граничит с невозмущенным газом; поэтому на фронте и=О и с= с„следовательно, для него уравнение (25,7) дает — = — с„ (25,8) т. е. фронт волны разрежения действительно движется справа налево относительно неподвижного наблюдателя со скоростью Рнс. 39. Распределение и и с при одностороннем истечении газа. звука. Соотношение х= — са1 является характеристикой наших уравнений. Определив и и с из (25,7), найдем 2 л — 1 х 2; л — 1 х с= с, — — — = — са(1— л+1 л+1 С л+1 ~ 2 се )' (25,9) и= л+ с,(1+ —,т). Уравнения (25,9) дают распределение и н с во всей области возмущения, в зависимости от времени.
Из этих уравнений видно, что для каждого заданного момента времени распределение и и с характеризуется прямыми линиями. Иэ уравнений (25,9) следует, что в сечении х= О 2 и=с= . се=сад, л+ т. е. устанавливается критический режим истечения. Очевидно, что состояние, при котором и = с не перемешается по газу, так лх как скорость перемещения этого состояния — = и — с = (), чг' 6 261 еешения для одноиееных иээнтгопнческнх движений гззх 165 На фронте волны разрежения и=О, с = с,. На фронте же 2 истекающих газов и=и =„— — 1с„, с=О. При п=1,4 (двух- атомный газ) уравнения (25,9) дают с= б св(1 Г) б '( + г) (25,11) Этому случаю соответствует график распределения и и с (рис.
39). Левая и правая стрелки указывают соответственно направление движения фронта волны и фронта движущихся частиц газа. д", +и —,',"+ д' — — О, д~ д~ ди — +и — +с' — =О. дФ дх дх (26,1) Независимыми переменными здесь являются х и й Перейдем теперь к новым независимым переменным и и 1, считая в качестве зависимых переменных х и й Для этой цели представим все частные производные системы дифференциальных уравнений в виде якобианов (функциональных определителей). д(уь уя) Якобианом ' ' называется определитель д(хэ хя), ду1 ду1 дх| дхя ду, ду, дхх дхэ д(уо уя) ду1 дуя ду1 дуя д(хо хе) дх1 дхя дхв дх1 9 26.
Общие решения для одномерных изэнтропическнх движений газа Выше мы рассмотрелн два класса движений газа: 1) р= = сонэ(, и и=сонэ(, что соответствует стационарному потоку, и 2) когда во всей области, охваченной возмущением, постоянен один из инвариантов Римана (1, или 1 ), что является характерным свойством простых волн.
Здесь мы рассмотрим общий случай движения, когда в области возмущения не постоянно ни 7+, ни 1; каждой паре значений 1+, 1 соответствует лишь одно сечение в области возмущения в плоскости х, й Для нахождения общих решений одномерных изэнтропическнх движений воспользуемся уравнениями 166 (гл. т элементы глзоеой динлмики дх д( д1 — — и — + — =О, д~ д) ди — — — +с' — =О. дх д( дт ди ди д~ (26,3) Для превращения этой системы в систему линейных дифференциальных уравнений проведем так называемое преобразование Лежандра, введя новую функцию ф = ф(и, () через соотно- шение х=и1 — — „. дф ди (26,4) Тогда уравнения примут вид дг дьф ди ди д( 1 1+с' —, = — „,.
дт дэф д~ ди| ' (26,5) Первое уравнение даст '=к. дф (26,6) Используя (26,6), приведем второе уравнение к виду д + Г д дф дьф диф д~ дР диэ' (26,7) Таким образом, в результате проведенных преобразований мы пришли от системы нелинейных уравнений к одному линейному (относительно ф) дифференциальному уравнению, В результате система (26,1) примет вид д(и «) д(Г и) д(ДО О д(йх) + д(С,х) + д(бх) д(цх) д(Г,О е д(йи) О д(йх) + д(йх) д(йх) Для того, чтобы перейти к независимым переменным (и, 1), умножим теперь эти уравнения иа д(', полагая, что нигде д(Д х) в области искомых решений этот якобиан не обращается в нуль. Известно, что при умножении или делении якобианов, записанных символически, их можно рассматривать как обыкновенные дроби.
В результате преобразования получим д(,х) д(г,и) д(ДО д(и,О д(и,О д(и,О д(бх) д(С,О д(йи) (26, ) 26,2) — +и ' +с' — '=О. д(и,О д(и,О д(и, О Раскрывая якобианы, будем иметь $261 гешения для одномееных изэнтгопических движении гово 167 Уравнение (26,4) теперь соответственно примет вид х=и —,— — „. дф дф д! ди' (26 8) Это уравнение может быть проинтегрнровано в общем виде при условии з — т 3+ 2М вЂ” ! — — 2пг> Т= !+2!у > д!=О> 1> 2> 3> Этом~ условию, в частностй, удовлетворяют двухатомный газ (Т= —, ЛГ=2) и сжатые продукты детонации конденсированных ВВ (7=3, !о'=О). Вводя !У вместо Т, перепишем (26,9) в виде (26,10) Обозначим функцию, удовлетворяющую этому решению при заданном значении !у, через фн. Тогда для функции фо (при !>! = = 0) будем иметь 2! — — + —, =О.
дефо дофо дфо д!о дио д! (26,111 Введем теперь новую переменную ш='г'2!. При этом дш ! дфо дфо ди> дфо д! оя' д! дш д! и> ди>' д!о ди> Ги> ди>3 д! и>о ~ ди>о и>ди>1' и уравнение (26,11) примет вид — — — =О. дофо дофо ди>о дво (26,12) Это — известное волновое уравнение, общее решение которого есть (26,13) фо =Ь (те+ и) +Б (тв — и), где !! и гя — произвольные функции. Интегрируя уравнение (26,7) при соответсгвующих начальных и граничных условиях, мы определим ф, "затем по формулам (26,6) и (26,8) соответственно определим ! и х, а следовательно, и остальные параметры рассматриваемого движения. Для идеального газа со = (Т вЂ” 1) ! и основное уравнение (26,7) принимает вид дго + д! дно ' (26,9) 168 (гл.
ч элементы глзовой дннлмики совпадающее с уравнением (26,15) для функции фи+,(1, и) (при замене У на У+ 1) 2 .до д до 2(дг.4-1)-(-1 д1о(фи+~)+д1(фи+1) дло Ь+~) Отсюда следует, что фл, (1 ) = д, (1 и*). дфл . (26,16) Продифференцировав У раз функцию фо, получим общее решение уравнения (26,11) ф = — ~Л (К' 2 (2М+ 1) 1 + и) +Л (г' 2 (2И+ 1) д — и) ) . (26,17) Функции ~~ и 1о при определении ф должны быть написаны в общем виде. Напомним, что для ф, У = О. Перейдя от 1 к с, находим, что Г'2(2М+1) 7=(2й7+1)с= —.с 1 †и уравнение (26,17) примет вид ф = — ~~, ( с+ и)+7",( с — и)(.
Выражения, стоящие в качестве аргумента в произвольных функциях, как нам уже известно, представляют собой инварианты Римана, постоянные на характеристиках. Переходя снова от гв к 1, будем иметь фо=Л(У21+и)+7',($ 21 — и). (26,14) Можно показать, что если известна функция ф, то функция фи, получается простым дифференцированием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
