1612727554-7422b28b59adffe5b22446310d759047 (828458), страница 101
Текст из файла (страница 101)
р+г, о' Из (83,7), (83,8), (83,9) получаем для фронта волны 2А т — 1 А иуд, = СУА.'=С,+— (1+ 1) Р Г+ Го т+ 1 У Р+ Ро А О,д — — са+ 2У Г+Ро (83,10) Полная знергия звуковой волны сжатия может быть определена формулой Ео — — / ),1 1+ 2)ох~ (83,11) Ра где р, — давление на фронте волны. Поскольку Ьр <" р„то подынтегральное выражение с точностью до членов 2-ю порядка можно представить в виде др ри арса 1ЬР)всв р иа т — 1 2 1 1 2р, 2 но в том же приближении и= — с„поэтому Др Р раи (ДР) св 2 2р Исходя из первого уравнения (83,7) (разлагая в ряд и оставляя члены 2-го порядка), получим прн ар=о х= — х,+св(1+со); при АР= АРУ в х = — хо+ со(Г+во)+ АУ Р+'оо ЗЗ Фввваа взрыва а 83] предельнАЯ ЯАЕУстнческдя» стАдий пРОцессА 593 594 [гд.
хш ВЗРЫВ В ВОВДУДВ поэтому аууд. в Г в Р ( Р) '1 '4 РаСа 1 ЗТ Ра ) ту — 1 ~ 3('1+ 1) са )/'у+ус [' Очевидно, что избыточная масса воздуха Мс, содержашегося в волне, определяется выражением аРуд. в Ар, Г З вЂ”, А Мв = ор '"х = ~ [ + ' (83~14) (1+1) с ~ З(1+1) с ~ С+ус [ Определим теперь количество движения ус воздуха в этой волне: Руд. в »Руд. а аРуд. в с Ус= [ рис[х =р [ идх+ — ' [ (Ьр)дах, а,у Рв ° Ра о в откуда 1+11 з()+В с,~/Р+Р,[' Выразим Ес и ус через Мв, заменяя А через Р„: Мосс Ес —— т (83,! 6) ус ™вса при Р-+со Ав Р т+1с Мсс Ес= ', =Маса, )с=Маг..
(83,[У) Т 1 Падение энергии при увеличении времени связано с тем, что при распространении не бесконечно слабой звуковой волны часть энергии необратимо переходит в тепловую энергию, которая «застревает» сзади волны, прошедшей через данный объем воздуха. Можно учесть н этот эффект: мы знаем, что при определении Ес, М, и ус неточность, связанная 'с пренебрежением изменения энтропии, не сказывается на членах 2-го порядка малости, пропорциональных (Ьр)У Р ', которые после интегрирования становятся членами 1-го порядка малости. Неточность, связанная с пренебрежением энтропии, скажется лишь на членах 3-го порядка малости, которые после интегрирования становятся членами 2-го порядка малости. а 831 .
пеедвльнхя «хктстичвск«я» стлдия пеоцессл 595 где с — теплосодержание воздуха. Для определения величины ЬЗ по скачку давления на фронте волны имеем. известное соотношение (Ьр„)з дсч ТИ вЂ” !2 д„. (83,19) Поэтому — (аР„)з д ч е !2!, дрс ' (83,20) В случае идеального газа д т+! . ТРа~а Еа= э т — 1 дР» т» р~~ и (83,20) принимает вид (83,21) Ьо 2зс Поскольку при постоянном давлении — = —, то ч» са (83,22) Для того чтобы удовлетворить закону сохранения энергии, т. е. чтобы сумма полных энергий масс воздуха, содержашегося в волне и за волной, была бы постоянна, необходимо положить, что за волной давление р,+р,. Очевидно, что разность р, — р. = Др, — (Ьр„)С; 88» Очевидно, что за волной при р= р, должно выполняться условие о < п„что дает с) с„где о и с — удельный объем и скорость звука за волной, причем величины Ы= о — и, и дс=с — с, должны быть пропорциональны величине (ЛР „,„)з.
Найдем эти соотношения. Так как объемная плотность энергии за волной постоянна, Л(рз) =О, где е — плотность внутренней энергии, рассчитанная на единицу массы; отсюда Лре+ р, Ье = О. Поскольку Ле = Т»Л5 — р,цо, мы приходим к соотношению — ~(с,+р,п„)= — с,= Т,М, (83,18) 598 (ГЛ.
Хнс ВЭРНВ о Воздуха более точное вычисление дает т(зт — П Ао б(т+ 1)о ". ((+ со) о При г-+со г.=йт — Осс, . (83,23) Так как количество движения воздуха равно импульсу давле- ния, действующего на стенку при (-ооо (при завершении про- цесса истечения газа), то этот импульс определяется форму- лами То — — Л4осм Мо — — (Т вЂ” () — о. Ео (83,24) Очевидно, что величина Ео складывается из энергии газа Ео, отданной в атмосферу, и энергии Е, вытесненной массы воздуха, где Рс Е,=(о, — оо) т — 1 (83,25) Подставляя Ео из (83,3) и учитывая, что Ео=Ео+Е.
и Й=Т, придем к формуле ЕО т 1 Росс со=(Т )) са со са откуда, после преобразований, имеем Уо —— Мо — ' — ' т —" — ) = (Т вЂ” 1) —,о (83,28) где М,— масса ВВ, йо=3 для типичных ВВ. Сравнивая величину импульса 1о с импульсом при истечении продуктов детонации в пустоту (с,), найдем со (т — !) l 3 В процессе расширения газа наступает момент, когда на границе раздела р = Р„ио и ) О и расширение газа продол.
Сравнивая массу воздуха в ударной волне с массой продуктов детонации, имеем Мо (т — 1) (;) М„с а 831 пгедельнля «лктстическ»я» стадия пгоцесс» 597 »-1 Е" (1+ х ) Энергия при х=х есть Е=Е«(,г+ „) Разность энергий ~«=«.[~, ' )'' (, ' ) '] <и,ау> или ЬЕ=Е.~( — ') — (~) ] (88,28) где р — давление при х=х жается до значения р(р„когда скорость и границы раздела между газом и воздухом становится равной нулю. После этого начинается обратное движение газа, его сжатие до значения р ) р„затем снова расширение и т.
д., пока всюду не установится р = р,. Происходят затухающие колебания газового столба. Очевидно, что достаточно рассмотреть первое расширение и сжатие, после чего практически процесс прекращается, прн этом на стенке в течение некоторого интервала времени оказывается, что р( р,. Таким образом, и величина импульса испытывает колебания около значения I«. Рассмотренный нами случай предельной ударной волны дает приближение к значению р» сверху, а это значит, что 'при продвижении ударной волны давление на стенке, будучи меньше р„приближается к значению р„после первого расширения наибольшей амплитудой будет обладать процесс сжатия газа, отвечающий слабой ударной волне. В процессе первого расширения ударная волна сравнительно сильна.
Сжатие газа происходит вследствие того, что давление за ударной волной, как мы показали, больше начального (р) р,) Рассмотренные нами закономерности в предельной сталям ударной волны с физической точки зрения достаточно понятны.
Попытаемся теперь приближенно рассмотреть основные закономерности, связанные с пульсациями газа, и оценить границы его наибольшего расширения. Из теории нестационарных движений известно, что «нестационарный» импульс всего лишь на 20% меньше соответствующего «стационарного»; эта разница может служить характеристикой перераспределения энергии. Можно думать, что разность между внутренней энергией газа при 1-+со, х=х и при х=х, где х — наибольшее расширение, будет того же порядка. Энергия при х =х есть 698 1гл хш ВЗРЫВ В ВОВЛУхв з — ~ ал ЬЕ Е„ л — )лр/г,~ а — — =Е р.
~ р„ ~ Принимая — = —, мы видим, что ар Е 7' Таким образом, величина наименьшего давления есть 0,бр, х ч = 1,8, а следовательно, величина пульсации не очень х значительна. Таким образом, можно сделать существенный вывод, что количество движения ударной волны при т -+ со стремится к вполне определенному пределу. Это количество движения превосходит количество движения продуктов детонации, которое они имели бы при истечении в пустоту.
Рост количества движения объясняется тем, что масса воздуха, вовлеченного в движение, в десятки раз превосходит массу продуктов детонации. $ 84. Теория точечного взрыва. Сильная автомодельная ударная волна. Сходящаяся сильная волна Точечный взрыв является простейшим случаем действия ударной волны, при котором предполагается, что масса продуктов детонации неограниченно мала (стремится к нулю), а количество энергии, выделяемой зарядом, конечно. Очевидно, что в такой постановке задача сводится к рассмотрению действия одной только ударной волны. На расстояниях, близких к источнику взрыва, эта ударная волна будет сильной.
Поэтому для изучения ее свойств всегда можно пренебречь собственной энергией воздуха, который вовлекается в движение, т. е. пренебречь значением атмосферного давления р, по сравйению со значением давления на фронте ударной волны. Как было показано еще в 1944 г. Седовым н Станюковичем, изучение точечного взрыва значительно проще, чем изучение реального взрыва, а полученные при этом результаты могут быть обобщены и на случай реального взрыва.
При точечном взрыве движение воздуха в ударной волне на близких расстояниях от места взрыва является автомодельным (самоподобным), поскольку оно не зависит ни от каких линейных начальных размеров, характеризующих взрыв. Под автомодельным движением следует понимать такоедвижение, когда пространственное распределение какой-нибудь величины меняется подобно самому себе с течением времени. Поскольку р, — р ( р„то, обозначив р. — р = Лр, придем для определения ЬЕ к выражению 3-! а 841 ТЕОРНЯ ТОЧЕЧНОГО ВЗРЫВА Для изучения точечного взрыва основная система дифференциальных уравнений Ди Ди ! Ди — +и — +- — =О, дт дг р Дг д!пр д!пр ди Фи дт дг дг г + — + — 0 (84,1) д— Р тт д— — +и — =0 рт Рт дт дг — + и — +ТО + — =О, ди ди д!пр дти Дт дг дг Дг д !и р + д !и р — ди — Ми = 0 дт дг Дг г (84,3) Из второго уравнения (84,3) следует, что д!пр Д!пр ! Ди !тти) ДГ " Д = (Д Подставляя выражение, стоящее справа, в последнее уравне- ние (84,3), получаем д!пв Д!пти + д + (т — 1)(, д, + —,) =О.
(84.4). т ди Хит тя Вводя х = и†, у = ит †,, получаем уравнения х — х-+хх'+у'+.х'+.2у+у — '= О, Р Р +х Р +х'+(тч'+1)х=О, Р Р (84,5) У У + х + (Т вЂ” 1) [х'+ (др+ 1) х) + 2 (х — 1) = О преобразуется в систему обыкновенных дифференциальных уравнений, так как все параметры, характеризующие движение воздуха в ударной волне, могут быть выражены соотношениями и=~ ' 'Е(я), Р=Е" т!(я), р=ГЯ" 'т+"а(я), (84,2) где г=г/т ' является независимой функцией, а, и ая — константы.
Для того чтобы получить искомое дифференциальное уравнение, введем переменную ти = р/р. Тогда уравнения (84,1) примут вид боо [гл. хш взпыв в воздуха Здесь, например, дх х= —, д1п( ' дх д1п г' Будем искать решение этой системы, предполагая, что х=х(з), у=у(з), р=("ч(з), (84,6) где г з = —. (а ' 'Тогда Их х= — а, д1п х дх х' =,,„ д1п у Ы 1пх (а1 — х) — — (1 — 1) дх дх [Л((т — 1)+1+1! х — З (а — х)* — ту у [2 (а1 — 1) -1- ап -1- 1 (Ф+ 1) х) — х (1 — х) (а| — х) ' — 1п11 = 1п(х — а,)+ 1 / ап+(И+1) х д[пз. а1 — х (84,7) Яы имеем одно дифференциальное уравнение 1-го порядка в полных производных. Его решением будет Р1(х; у„с ) = О. х определяется квадратурой Рп(х; у; г; с,; с,)=О, т) определяется квадратурой Р,(х; у; з; ч; с,; с„с,) =О.
В результате получаем решение, зависящее от шести постоянныул трех, полученных прн интегрировании (сь сз и сз) и трех, введенных в решение (аь а„т), причем константа т мо- Уравнения (84,5) теперь примут вид: йх (х — а, + 1) + пу + у — "+ (2у — х) Ы 1п я = О, Фч У (х — а,)+(7 — 1)([х+1[[пз(х]М(7 — 1)+т+1] — 2) =О, У вЂ” ~(х — а )+([х+ ](Я+1) х+а,] с(!из=О, откуда найдем бО! а 84) теоеия точечного взеызл жет быть введена, поскольку уравнения не меняются при замене Р на Р+ с. Из соотношений (84,4) и (84,5) автоматически следуют соотношения (84,2), причем а = г'уч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
