1612727554-7422b28b59adffe5b22446310d759047 (828458), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Поскольку на фронте сильной ударной волны выполняются условия 2 Р„= т+) Р,(~т„ 2 и,= О,„, т+ т+) Рв (Р „— скорость фронта ударной волны и индекс «н» относится к параметрам на фронте ударной волны), а также Ыг = а1з„Р" тт'е = а, — И, то Нг г ,(Уг„= — = а, У. и( (84,8) Легко убедиться в том, что на фронте волны г=г,=соне(, так как для автомодельного движения расстояние, проходимое фронтом, изменяется пропорционально т' ', что следует из самого определения автомодельного движения, т. е. не зависит от а.
Из этих условий следует, что 2 Р 2ат РРЯ вЂ” +) ~)гд Р„те 2(т — т) т)Р (~ (84,9) 2(т — 1) а, Р ге (т+ т)т гт (т+ т) —" = — = сопз(. т+) Ро т Очевидно, что т) = т)(з„) =— соней параметр ае — — О, так как на фронте сильной ударной волны в идеальном газе (гл. хш %02 ВВРыВ В воздухи Точка с координатами х,= + а, 2 (т — 1) у„=(+,,а', лежит на кривой, являющейся решением уравнений для силь- ной ударной волны при точечном взрыве.
При этом сами урав- нения (84,7) принимают вид а'1п у а(па (а1 — х) ах — (т — 1) лх [Ф(т — 1)+(1+1))х — 2 (84,10) (а — х) — и у 12 (а1 — 1) + т (М+ 1) х) — х (1 — х) (а, — х) ' — 1п11=1п(х — а,)+(И+1) / 1(1пю Е=А / ~ 1 +2 — ]г аг. о (84,11) Здесь А=2 при У=О; А = 2к при У= 1; А=4к при И=2. Выражение (84,11) приводится к виду 1 / ( уч + х х ч) и ( (о( -и+а (а+о+ (84 12) т — 1 2 о Поскольку полная энергия постоянна, то интеграл не должен зависеть от 1, поэтому 2(а,— 1)+а,(И+1)+а,=О, или (84,13) а, (М+ 3) + а, = 2.
В рассматриваемом случае аз=О и 2 И+3 ' (84,14) Для того чтобы решение было определенным, необходимо знать константу аь Константу т, не ограничивая общности решения, можно принять равной нулю, считая, что взрыв происходит при 1=0. В данном случае а~ определяется из энергетических соображений. Напишем выражение для полной энергии ударной волны в любой момент времени (пока волна сильная): га бОЗ 4 841 теогия точечного взгывл 2 Следовательно, для плоской волны а1 = —, для цилиндриче- 1 2 ской а~ —— —, для сферической а~ = —.
2' 5 ' При этом уравнения (84,2) принимают вид К+2 К22 ») 2 2 (84,15) (2(а,-Ц 2 К+2 -(К+2) Таким образом, на фронте волны р„— г (84,18) 2 » — а, Ч=Р=С2(и» вЂ” Х)» 2(Х вЂ” — ! ' Х а» ((т — 2> а +' т( 2а Х '("+ а,(т — 2)+ !+»~ Далее определяем т-! а, и=с, ' х '(х — — ) ' [х+ ((а,-») (»-а) ( а») 2 (»-2) а,+» Г т) = слул (х).
(84,20) а» а~(т — 2)+1 — т 1 = с,ул (х), (84,21) т с',с, р, (х). (84,22) 2» и скорость фронта ка! Вта — и„— г (84,17) Этот результат был впервые получен Ландау в 1943 г. Как было показано Седовым, решение первого уравнения (84,7) при условии (84,14) можно написать в простом аналитическолт виде (84,18) Х х —— т Легко убедиться в том, что это решение удовлетворяет начальным условиям уравнения (84,9), т. е. условиям на фронте волны. Квадратурами определяем а,)т-» а, -а, (х — '~!в а аа а» (т — 2) + 1 — т ~ (84,19) б04 (гл. хш взвыв в вовдгхв Здесь а,(т — 2)+1 — т ~ 2 а,(т — 2)+1 + 1 Ь=2а[1+, ].
Из уравнений (84,20) и (84,22) определяется температура а,— 1 Х(и,— х)(х — — ')'" 1"+' ~х+ ', ~ . (84,23) х=ха= —, у-ьсо, г=0 ал 1 Р=сопз1=Р, Т-аоо. и=0, р=о, Величина — = — определяется нз уравнения (84,22) Р Р Р» Р» (84,24) 1 9 = — для 2 Рассмотрим предельный случай: при Т = 1 любого М.
Таблица 119 дает значения 6 для различных )У и Т. Таблица 119 Зависимость а от поввввтевв пвэнтропы ал па О,!8 0,16 0,15 0,5 0,5 0,5 0,45 0,42 0,39 0,39 0,36 0,34 0,35 0,32 0,30 1»' 0 Ф=! М 2 Уравнения (84,20) — (84,23) дают распределение основных параметров ударной волны за фронтом и значения параметров на фронте волны в функции времени или пути, пройденного ударной волной. Проанализируем найденные решения.
В центре точечного взрыва при 606 4 84! ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНОГО ВЗРЫВА г !я+и Из уравнения (84,18) следует + хн (а~ — х 1 т — ! т — 1 2 2 (тх — а! ] 2у — +11 а! х —— нз уравнений (84,19) н (84,20) получаем П =Р— =Р— » То ! + ! Тн от — ! т„' « — «н Т1 Т12 где 1Р!„ н !Р2, †значен функции р! и О2 прн х=х, г=е,.
Таким образом, хн Т Тнт, 22Х. а1 2 х —— т Т!й Т2» «н 2 Обозначим а, Т!'Тот! а Т!й Тн» /' хо т (84,26) Тогда А»РОЗ Т = 2т А1Ро З»+' т+1 -', т+1 (84,27) Преобразуем это выражение. Так как 2(а,— !! 2 2а1 то 2 Е а, я Ф.21 И+2 т+ ! Рн =н = 2 — ВГ, а 100 (84,28) При т-+2 6= — 21„— ) . При йод=0, 1, 2 имеем соответственно Вычислим интеграл в выражении (84,!2); используя формулу (84,!4), получаем на 2 Е= А / 2!г' ( — !+ 2) —.
о .606 1гл. хш взрыв в зоздрхе что дает Н.~.1 Е т+ Ао т+ гл+1 — ! т+ ! А( 21 2ав Р»» =! 2а1 / Обозначим ( 112$ I Т (Т вЂ” 1)(Ф+ 1) тогда придем к выражению 2Аоо Р» л»1 И+1 Т )г (84,29) Е = ооо»Е ° (84,30) Так как Е можно представить в виде Е = о„Е, где Š— средняя объемная плотность энергии, то оо= — показывает отно- Е Ев шение средней плотности энергии к плотности энергии на фронте ударной волны. Лля дальнейших вычислений нам понадобится величина зв.
Поскольку 2 2а1 2 21»;1) Т вЂ” ! Е(У+1) 2-,— 2(»,-1) 1+1 в 2 А1„ то Г Т вЂ” 1 Е(и+1)(Т+1) А(о 2а', р (84,31) что определяет величину Р, соотношением 2ав а, Ро 2а1 2(а,-ц Г Тв — 1 Е(рр-)-1) 1 ' Т+1»1 ~ 4 р Аз а» Р» О1Э Обозначим р . = В. (84,32) Т+1» 4 р Аеав Тогда 2 (У+1) Р =Вг "' )=В» лов в (84,33) Здесь + ! г„представляет объем о„занимаемый ударРв Е ной волной.
Обозначим — "= — 2 —, где Ев — объемная плотность энергии на фронте волны. Тогда й 841 607 ТЕОРИЯ ТОЧЕЧНОГО ВЗРЫВА результаты вычислений для сферической и цилиндрической ударных волн показаны на рис. 210 и 211. Перейдем к определению импульса для сильной автомодельиой ударной волны. Очевидно, что импульс, действующий на д од Г л/г I 47л» Рис. 211. Распределение параметров за фронтом цилиндрической авто- модельной ударной волны. Рис. 210. Распределение параметров за фронтом сферической автомодельной ударной волны.
для цилиндрической волны (М = 1). ! — !и 1,— 1пло для сферической волны (У = 2) 5В 1 / — —— в Уст Са ТаКИМ ОбРаЗОМ, ТОЛЬКО ДЛЯ СфЕРИЧЕСКОй ВОЛНЫ ПРИ Гт -+ СО импульс оказывается конечным. Это и понятно, так как, идеализируя задачу, мы считаем внешнее противодавление равным нулю. единицу поверхности, перпендикулярной к скорости волны, на расстоянии Г, от центра взрыва определяется формулой СО т <лг+ ~1 7=Хр =ВУЕ "" (84,34) в и Здесь 1т=х,к~1~ ' — время, за которое фронт волны проходит расстояние Гь Отсюда ясно, что в одномерном случае тт'=0 для плоской волны ! 7 Рз тт"Г 608 (га. хш взныв в воздтхв 5 что для 7 = — дает 4 82нн Е = — р„г'„ (84,35) Далее, применяя уравнения (84,31) и (84,32), получаем 2 2 В = — е', г,' = 25е 2, 8 откуда 2 /= —, 552 гн г— = 1,4 ~— 8 1/г, (84,36) 8/,2 (в системе СОВ).
Эти формулы справедливы лишь до определенного расстояния (до давлений на фронте волны порядка 1Π— 20 кг/см2), Далее плотность на фронте волны уменьшается, волна перестает быть автомодельной. При этом существенную роль начнет играть собственная энергия воздуха, вовлекаемого ударной волной в движение. Этот фактор и нарушит автомодельность движения, так как приток энергии не подчиняется законам подобия. Считая, что 4 Е= л2(/ = З ЯгоРо(/ (п2 — масса и га — радиус заряда) мы придем к выводу, что с учетом собственной энергии воздуха вблизи от места взрыва На самом деле„если учесть внешнее противодавление, то и для плоской и для цилиндрической волны импульс, действуюший на единицу поверхности, всегда и на любых расстояниях будет иметь конечное значение. Приведем несколько расчетов, проделанных для наиболее реального случая — сферической сильной воздушной автомодель- 2 1 ной волны (У=2, а~ = —, плотность воздуха р,= — г/смн).
5' 2=770 1 5 7 Вычислив интеграл (84,26), получим 22= — для 7 — 4 — — ° т. е. для нагретого ударной волной воздуха (вычисление этого интеграла проведено численно, поскольку в общем виде интеграл не решается). Отсюда, используя формулу (84,29), получаем 82 Рн 2 Е=— гн 9 у — 1 609 а 841 теогяя точечного взгмвА баланс энергии (уравнение (84,29) будет определяться соотношением 24~г~ р 4~гз 4~г„' р — — = — роЯ + —— зз т — 1 з З т — 1 (второе слагаемое правой части уравнения учитывает собственную энергию воздуха, вовлеченного в движение). После преобразований получим: (84,37) где Пренебрегая р,'по сравнению с Лр, поскольку волна сильная, после подстановки значений рз=1,6 г/смз, Я= 1000 клал/кг и т = 1,25, получаем бр = 28000( — ")'.
(84,38) Эта формула справедлива для расстояний, на которых волна еще является сильной. Следовательно, давление в 25 кг/см' достигается прн г,~ 1Огм т. е. приблизительно на тех же расстояниях, что н прн реальном взрыве. Рассмотренная намн теория сильного точечного взрыва справедлива лишь в области, в которой давлением перед фронтом ударной волны можно пренебречь по сравнению с давлением на фронте волны, т. е. на сравннтельно небольших расстояниях от центра взрыва. В то же время для взрыва в воздухе сферического заряда нэ обычных взрывчатых веществ основные соотношения на фронте ударной волны в функции характеристик заряда н расстояння могут быть в настоящее время теоретически установлены лишь приближенно.
Более нлн менее точно расчетом определяется нмпульс ударной волны. Однако для оценки радиуса разрушительного действия обычного нлн атомного взрыва этого недостаточно. Необходимо знать характеристики поля взрыва (давление, скоростной напор, импульс н т. п.) в области, где в гндродинамнческом смысле волна уже не является сильной, но способна производить соответствующие разрушения. Развитие машинной вычислительной техники позволяет в настоящее время сравнительно просто решать подобные задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
