1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Воспользуемся свойствами определи- телей: Вес А ВАС вЂ” ЛЕ) = е(еВ[А(С вЂ” ЛЕ)] = с)еЦ — ЛА), так как С = А 1В. Поскольку е(е~А ф О, то уравнение частот и характеристическое уравнение оператора С эквивалентны. О Следствие 8.8.1. Собственные векторы и; оператора С удовлетворяют уравнению ( — ЛА)п = О. Доказательство.
По определению собственного вектора Скн = Лень Но С = А 1В. Поэтому Вьц = Л;Ап;.П Следствие 8.8.2. В позиционной линейной системе, в отличие от системы линейных дифференциальных уравнений общего вида, резонансные члены не возникают даже в случае кратных собственных чисел. Определение 8.8.2. Координаты ~ы..., ~„, описываюпгие движение позиционной линейной системы по главным направлениям, называются главными координатами. Следствие 8.8.3. В главных координатах кинетическал и потенциальная энергии позиционной линейной системы принимают вид т ~ ~В„п ~ л|б,. еи1 1и1 Следствие 8.8.4.
Движение позиционной линейной системы, заданной с помощью произвольных лагранжевых координат, есть прямое произведение дв жеиий и одномерных систем по главным направлениям. 576 Глава 8. Динамика голономных сястем Для каждой одномерной системы могут представиться три случая. 1. Л = ыз > О. Имеем колебания гармонического оспиллятора по закону 4 = с1 совы!+ се ивы1. 2. Л = О.
Случай безразличного равновесия. Закон движения: С = с|+ сз1. 3. Л = — ыз ( О. Случай неустойчивого движения. Закон движения: ~ = с1 сЬ~А+ сзеЬы1. Пусть некоторое собственное значение Л; положительно. Тогда система при соответствующих начальных условиях может совершать периодическое колебание вида г1(1) = (с1 созы1+ се з(пы1)пб где и; — вектор, соответствуюший собственному значению Л,. Такое движение есть прямое произведение одномерного движения С; = с1 совы! + сез1пы! и тривиальных движений С = О, т ф 1.
П р и м е р 8.8.1. Рассмотрим систему из двух одинаковых математических маятников длины 1, массы т, находящуюся в поле силы тяжести с ускорением д. Пусть маятники соединены невесомой пружиной, длина которой в недеформированном состоянии равна расстоянию а между точками подвеса (рис. 8.8.1), Исследуем движение соответствующей позиционной линейной системы. Введем декартов репер Ое1ез.
Начало О репера поместим в точку подвеса одного из маятников. Вектор е1 направим е сторону другого маятника, вектор ез — вертикально вверх. Радиусы-векторы точек сосредоточения масс маятников представим в виде г1 — з1е1+ азег, гг = у1 е1+ рзее. Пусть д1 и йз — углы отклонений маятников от вертикали. Эти углы суть лагранжевы координаты системы. Они образуют координатное пространство Я~. Имеем а1 =!в!пйы хз = — !сов йы у1 — — а + 1ап йж рз — — — 1сов йз. В.В. Главные координаты 577 Два маятника образуют колебательную систему с двумя степенями свободы.
При одинаковых массах и длинах маятники, будучи соединены пружиной, выполняют по одной из главных координат синхронное движение по одному и тому же закону, а по другой — движение в противофазе. Маятники способны в процессе движения системы чередовать между собой возбуждение малых колебаний. Рис.
8.8.1. Система маятников Составим выражения для силовой функции и кинетической энергии системы. Согласно закону Гука (см. пример 3.4,2,в) силовая функция У пружины дается выражением с(6 — а) ив 2 где 6 — длина пружины в деформированном состоянии, равная длине отрезка между массами маятников: — [а+1(в!и Ч2 — в(п Ч2))2+12(сов Ч2 соз Ч2)2. Считая Ч1 и Ч2 величинами первого порядка малости, найдем 6 с точностью до третьего порядка: 6 в а+ 1(Чг — Ч2). Силовая функция Ут силы тяжести выражается формулой от = — (гпдаг + пзддг) = гпд1(сов Ч1 + сов Чг).
С точностью до членов четвертого порядка малости получим (77 2 (Чг + Ч2). 'Ж~ 2 2 Таким образом, кинетическая энергия и силовая функция для соответствующей позиционной линейной системы принимают вид 2 2 гпд1 2 2 2 Г (Ч1 + Ч2) У (Ч1 + Ч2) (Ч2 Ч1) 2 2 ' 2 22-!502 Глава 8. Дпнвмнка голономных систем 578 Для матриц А и В имеем выражения пт! О (птд1+ с! ) — с!г Выпишем уравнение частот: ! тпд + с! — Лтп! — с! =О, — с! тпд + с! — Лтп! или (птд+ с! — Лтп!) — сг!г = О. Находим деа собственных значения Лт = —, Лг = Лт(1+ 2!У), д с! дтп Координаты собственного вектора, соответствующего Лт, ит — — иы ат + итгаг где ат, аг — Базисные вектоРы пРостРанстез Вг, Равны междУ собой: иы = иць Для координат собственного вектора, соответствующего Лг, мг = игт стт + иггскг, найдем игт — — — игг.
Чтобы решить задачу, достаточно принять (учитызается норма с коэф- фициентами кинетической энергии) итт = тттг = игт — — игг = (!т 2тп) / -1 и тогда ат + аг ат — аг Главные координаты Ст, 5 суть координаты вектора т! = дт ат + дг аг а базисе мт, мг, т.е. (6+юг) ат+(6 — сг)аг , = батат+ Бгмг = 1~/2тп В.В. Главные координаты 579 Переход от главных координат к лагранжевым осуществляется по фор- мулам 4г+сг 6 — 4г 1т/2ги 1т/2 го В главных координатах кинетическая энергия и силовая функция выражаются равенствами 'г 'г 'Г= -(б, +сг~), 11 = --(Лгсг~+Лгсг~). 2 ' 2 Главные координаты имеют следующий смысл.
1. сг = О. Тогда дг = дг. Оба маятника движутся по одному и тому же закону. Пружина не работает. 2. ~г = О. Тогда дг = -йг. Маятники движутся симметрично а противоположных направлениях относительно вертикальной прямой, проходящей через середину отрезка между точками подвеса маятников (движутся в противофазе). Уравнения движения в главных координатах приобретают форму Это — уравнения двух гармонических осцилляторов (см. г 3.9) с частотами ыг = т/Лы ыг = т/Лг =ыгу'Г+2р. Чтобы завершить исследование примера, рассмотрим конкретный слу- чай колебаний, заданных при 1 = 0 начальными условиями дг(0) = дг(0) = О, дг(0) = Й, 9г(0) = О.
Им отвечает решение 1т/2пг, 1~/ 2ги (1 = Й 8!ПЮ11, сг — Й з(иь'г1 ° ы'г ыг В лагранжевых координатах оно принимает вид дг=Й +— Допустим теперь, что р с, 1. Это эквивалентно требованию, что жест- кость пружины весьма мала. Тогда ыг ыг(1+ и). Глава 8. Динамика голономных систем 580 Подставив это значение в закон движения и применив тригонометриче- ские преобразования, найдем П В = (2 сов г»вшы'1+ Ввш ы»1), ы»(1 + д) П чг = (-2е(пе1 созыЧ+ дв(пы»Ф), М1(1+ Р) где е ~ 1 + Г Величина г мала вместе с 8.
Поэтому в законе движения первое слагаемое в круглых скобках можно представить как колебания частоты ы' с медленно изменяющейся амплитудой. Второе слагаемое есть фоновое колебание с малой амплитудой. Сначала наблюдатель увидит, что практически колеблется только первый маятник с амплитудой 2й (1+ Р) Затем с течением времени начнет раскачиваться второй, а через время г = хе/2 будет колебаться практически лишь второй маятник. Через время 2т второй маятник успокоится и будет снова колебаться лишь первый и так далее.О Обратимся теперь к изучению обшей структуры решения позиционной линейной системы. Уравнения движения в главных координатах 8» = — Л»б», а = 1,..., и, разрешаются с помощью функций б» = с» ехр(йа»1) + сг ехр(-(ы»»), где»' — мнимая единица, ы» = т/Л», сы сг — постоянные, определяемые начальными условиями.
Постоянные ы» могут оказаться и мнимыми, когда Л» ( О. В лагранжевых координатах решение, соответствующее собственному значению Л», запишется следующим образом: »1 = (с» ехр(ка»М) + сг ехр(-»ы»1)) н». Следствие 8.8.5. Все решения позиционной линейной системы представляют собой линейную комбинацию слагаемых вида ц = ехр(Ыы1) и. В.В. Главные координаты 581 (рис. 8.8.2). Материальные точки соединены между собой и со стенками пружинками в це- почку и движутся без трения по гори- зонтальной прямой. Рис.
8.8.2. Система осцилляторов Функция Лагранжа системы есть сумма кинетической энергии точек и силовой функции пружин: ь ь б = — ~де — — дг +,» (де — Яе-г) +Я„ е=г е=г где да — смещение с-й материальной точки из положения равновесия. Система уравнений Лагранжа запишется следующим образом: гпдг + с(2дг — дг) = О, гпда + с(2да — де г — да+г) = О, пгд + с[2дь — д„ ~) = О. 1=2,...,п — 1, Если для удобства обозначить дэ = д„+1 = О, то уравнения движения можно представить более симметрично: пью+ с[2да — Яа 1 — да+1) = О, й = 1,...,и.
Для этих уравнений будем искать рещение вида де = Оехр[г(Н ~ Ьр)), /с = О,..., и+ 1. Подставив эти выражения в уравнения Лагранжа, получим [-ыгпг+ с(2 — е ги — е'и)]да = О, й = 1,..., и. Линейно независимых решений указанного вида имеется ровно 2п. Общее решение позиционной линейной системы можно построить, найдя все такие линейно независимые решения. Следствие 8.8.5 может оказаться полезным для исследования систем с большим числом степеней свободы. Чтобы проиллюстрировать сказанное, рассмотрим следующий пример. П р и м е р 8.8.2.
Изучим малые колебания системы. состоящей из и материальных точек массы т, связанных друг с другом одинаковыми пружинками жесткости с и могущих двигаться по прямой. Крайние материальные точки соединены пружинками с неподвижными стенками Глава 8. Динамика голономных систем 582 Заметим, что е !и + с!и = 2 сов !р. Так как йь ф О, то должно быть ы =4 — и!и 2 с ттт т 2' Условиям на границе (йр = д„+! — — О) можно удовлетворить, взяв комбинацию дь = Р ехр[![ы1 + Ьр)] + ГехрД~Л вЂ” ху!)]. Условие йз — — О дает Р = -Г. Или дь = 2!Рз!и претр(йА). Получили стоячую волну. Условие е„+! — — О приводит к уравнению з!п[(п + 1)ф] = О, которое имеет и различных корней, расположенных з верхней части еди- ничной окружности: !Гз !р,= —, з=1,...,п. и+1 В результате находим п положительных частот зз ы, = 2~( — зш 'т' т 2[п + 1) ' Собственный вектор и, можно взять а виде и, = ~~! аьзш/с~р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
