1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 94

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 94)

Направление виртуального перемещения удобно задавать набором конкретных значений дифференциалов лагранжевых координат. Эти дифференциалы можно назначать произвольными. Например, можно задать их в виде бе; = Д(гам..., й„,1) ба, 1 = 1,..., и, где функции у1 задают направление виртуального перемещения при фиксированном времени, 6з — дифференциал скалярного параметра з.

Когда обобщенные координаты изменяются с течением времени: В.4. Функция Лагранжа. Циклические координаты 561 то и введенные дифференциалы буе также будут зависеть от времени. Считая в и 1 независимыми, найдем Символы "Ы" и "б" обозначают частные дифференциалы лагранжевых координат по независимым параметрам 1 и в. Следовательно, должно быть И(бд;) = б(ауе), 1 = 1,..., и, и, значит, — = Лйы,4,1), дЬ Ив Щ; ч дД . дД Если теперь параметр в принять за некоторую новую лагранжеву координату, то при различных начальных условиях эта система обыкновенных дифференциальных уравнений определит в фазовом пространстве системы семейство координатных линий, соответствующих изменению координаты в при фиксированном времени 1.

Условие, при котором координате в соответствует циклический интеграл, сформулируем в виде теоремы. 'Теорема 8.4.2. (Э. Нетер). Пусть изучаемая система определена посредством функции Лагранжа обобщенные силы, не имеющие силовой функции, отсутствуют: ф = О, а координата в вводится с помощью обыкновенных диффе- ренциальных уравнений Щ, ~" дД . дД дуе ав — = Лйы",у,1), Определим функции д;(в), д;(в) с помощью следующей системы дифференциальных уравнений Глава 8. Динамика голономиых систем 562 где 1 — постоянный параметр, не зависящий от в, в силу чего Чь' = Че(в,1)) Ч! — Ч1(в,с), Ь = Х(в,!).

Если при этом Ь не зависит явно от в: дЬ/дв св О, то координата в будет циклической, и ей соответствует циклический интеграл вида где д — постоянная интегрирования, Доказательство. Поскольку ф = О, то координаты Че и их скорости Че подчиняются уравнениям Лагранжа, которые можно записать в виде Условие постоянства функции Х при изменении параметра в можно представить следующим образом: дЬ " дЬ йь " дь Щ дв ., дЧ! с(в,, дЧ1 е(в Преобразуем это условие с помощью уравнений Лагранжа и правила введения координаты в: !п! ек1 ' 1=1 Замечание 8.4.1. Относительно неизвестных функций у! условие можно рассматривать как одно дифференциальное уравнение в частных производных.

Найдя его общее решение, можно получить все циклические координаты системы. При этом необходимо учитывать, что у1, 1 = 1,..., и, зависят только от координат и времени и должны удовлетворять уравнению при любых значениях обобщенных скоростей. Глава 8. Динамика голономных систем 564 Тогда последнее уравнение исходной системы примет вид — ,'> Ь,д',, У;=О. Не останавливаясь подробно на условиях совместности полученной системы уравнений, отметим следующие ее свойства.

1. Пусть Ь; = О, 1 = 1,...,и, Га = О. Такой случай имеет место, когда связи не зависят явно от времени, и силы потенциальны. Получаем, что решением системы служат функции 1о не зависящие явно от времени: дЯдт = О, 2. Пусть ׄ— циклическая координата. Тогда дав г дбь дЬа — ~= — = — =О, е,р=1 ...,п. дЧе дЧ„дЧ„ Как и следовало ожидать, решение системы в этом случае можно взить следующим: ~и — — 1, 1, =О, 1~р. Это означает, что здесь координата а совпадает с циклической коор- динатой Чи.

О 8.5. Метод Рауса исключения циклических координат Когда некоторые из лагранжевых координат оказались циклическими, можно с помощью соответствующих первых интегралов понизить порядок системы дифференциальных уравнений движения. Метод Рауса позволяет выполнить понижение порядка системы, сохранив при этом форму уравнений Лагранжа. Пусть Чы...,Ч, — позиционные, а Ч,+ы...,ׄ— циклические кооРдинаты. Если Я„= О, Р = а+ 1,..., и, то кооРдинатам Ч,+ы..., Ч„ отвечают циклические интегралы дЬ вЂ” =де, п=1,...,п. дЧи С помощью этих интегРалов можно циклические скоРости Чи пРедставить в виде функций (для механических систем соответствующая матрица не вырождена) 565 В.б.

Метод Рауса исключения циклических координат Составим функцию дЬ . П = 1,— ~~' —,дю да и=а+1 йи в которой дб заменим их выражениями через позиционные координа- ты, скорости и константы циклических интегралов, так что Я= ВИ1 " ь,й1 . ь А+» д 1). Полученная таким образом функция Я называется функцией Реуса.

Для того чтобы вывести уравнения движения, не содержащие циклических скоростей, рассмотрим дифференциал НЯ функции Рауса по всем аргументам: оЯ= ~ — йд;+~~~ —,Щ;+ ~~~ — с1д + — о'1. дг1 ' д11 . дЯ дЯ !=1 ' з=1 ' и= +1 Принимая во внимание выражение функции Рауса через Х и ее про- изводные, будем иметь огг =„у, ой+~ пйг+) дуб ~Фи'Йб ~ Чборб+ дЬ ' дЬ . " дЬ . " . " .

дЬ иж1 Ы1 ими+1 и я=в+1 я=а+1 где Ийь Ийь Ид„, о1 — независимые дифференциалы соответствующих переменных. Полученные выражения для НН тождественны. Следовательно, должны совпадать коэффициенты при дифференциалах аргументов. Учитывая, что дЬ вЂ” =дб, р=б+1,...,п, дд„ найдем дВ дЬ дВ дЕ дЯ . дЯ дй — — — — — б», = —, 1 = 1, ..,, б; р = б+ 1,..., и.

де; дб,д дд; де;' дд„"' д1 д1 ' Заметим, что в каждом из этих равенств смысл частной производной в левой и правой частях неодинаков. Частные производные от функции Рауса яо д„б; вычисляются в предположении, что не из- менЯютсЯ аРгУменты Фю Р = б+ 1,..., и, а частные пРоизвоДные от функции Лагранжа — в предположении, что не меняются аргументы А„Р = б+1,...,п, Глава 8. Динамика голономных систем 666 Принимая во внимание систему уравнений Лагранжа, найдем уравнения для позиционных координат: Эта система замкнута, когда ьГ; не зависят от циклических координат, и в этом случае она носит название системы уравнений Реуса.

Видим, что уравнения Реуса имеют форму уравнений Лагранжа, но роль функции Лагранжа в них играет функция Рауса. После интегрирования уравнений Рауса задача определения закона изменения циклических координат приводится к квадратурам. В самом деле, дЯ е„= — —, и=а+1,...,п. дд„' Отсюда 1 1 дЛ д = — / — п1+с, л — /дд л м где с„— постоянная интегрирования. Подынтегральное выражение будет известной функцией времени, когда определены все позиционные координаты.

П р и м е р 8.5.1. В случае Лагранжа-Пуассона движения твердого тела вокруг неподвижной точки (см. 1 6.8) функция Лагранжа имеет вид 1 1 = -[Афгв)пг д+ дз)+ С[гРсовд+ р)г] — трГсовд. 2 Она не зависит явно от углов р и 6, которые, следовательно, будут циклическими координатами, Им соответствуют циклические интегралы = ф(Ав1птд+ С сов д) + С1осовд = дА, дЬ д4 дЬ д~р —, = С[гРсовд+ р) = Сге. Вычислим функцию Реуса: дЬ дЬ . В = 1 — Ф вЂ” —, 1э = 1 — дА Ф вЂ” Сгауу. дгр дФ Разрешим циклические интегралы относительно р, ф: д — 6ге сов д гг' =, з, ф = ге — 1р сов 6.

д 567 В.б. устойчивость движения Поэтому В = Ь вЂ” А()3 — бтюсовд)4' — Сгю = Ь вЂ” А г — Сгю = г (д — йгю сов д) г в)п д Заметив, что функция Рауса не зависит явно от времени, выпишем об- общенный интеграл энергии: А дг+, г +Сгюг +пгд~совд=й. Далее исследование движения можно провести так же, как в г 6.8.0 8 8.6. Устойчивость движения Пусть движение некоторой механической системы описывается системой дифференциальных уравнений где у Е Я™, а вектор-функция Ъ' удовлетворяет условиям существования и единственности решения.

Предположим, что вектор- функция в(г) — решение системы, а х = у — в — отклонение решения у от решения х. Поскольку дя — = Ъ~(г, г(г)), ог то для х получаем дифференциальное уравнение ох — = Х(г, х), ог где Х(г,х) = [г'(М,х+ г(г)) — хг(М,я(г)), Х(г, 0) = О. Следовательно, дифференциальное уравнение для переменной х допускает тривиальное решение х = О. Исследование свойств движения в окрестности решения и = я(г) сводится к исследованию свойств движения в окрестности тривиального решения х = О. Определение 8.6.1. Непрерывная скалярная функция )г(г,х) называется знакопостолнной (знакопюлолсительной или знакоотрицашельной), если г'(1,х) > 0 (или Г(г, х) ( 0) во всей своей области определения. Глава д.

Динамика голономных систем 568 Определение 8.6.2. Функция У(1,х) называется знакоопределенной (положительно определенной или отрицагпельно определенной), если в ее области определения сушествует непрерывная скалярная функция И'(х) такая, что либо У(1, х) > И'(х) > 0 при х ф 0 (положительно определенная функция), либо У(1,х) < И'(х) < 0 при х ф 0 (отрицательно определенная функция), причем У(1,0) = И'(0) = О. Определение 8.6.3. Нулевое решение системы х = Х(1,х) называется устойчивым по Ляпунову при 1 оо, если для любого 1о из области сушествования и единственности решений и любого е > 0 сушествует б > 0 такое,что 1) все решения х(1) системы, включая нулевое решение, для которых ((х(1о)(( < б, определены в промежутке 1о < 1 < оо; 2) для всех этих решений справедливо неравенство ((х(1)(( < е при 1о < 1 < оо. Теорема 8.6.1. (Ляпунов).

Если для системы х = Х(1, х), удовлетворяющей условиям существования и единственности решений при любом 1 > 1о, существует положительно определенная функция У(1,х), допускающая знакоотрицательную производную по времени У(1, х) в силу системы, то тривиальное решение х = 0 данной системы устойчиво по Ляпунову при 1 оо. Доказательство. По условию теоремы имеется непрерывная положительно определенная функция Иг(х) такая, что У(1,х) > Иг(х) > 0 при х ф О, У(1,0) = уУ(0) = О. В пространстве Я возьмем сферу Я,: ()х() = е, целиком принадлежашую области определения функции У(1, х). Сфера 5, — компактное множество. Функция Иг(х) непрерывна и положительна на Я,.

Нижняя грань этой функции достигается в некоторой точке х' б 5,: еп(,ез, И'(х) = Иг(х') = о > О. Зафиксируем 1о. Функция У(1о,х) непрерывна по х, причем У(ео, 0) = О. Следовательно, существует окрестность Охй < б < е такая, что 0 < У(1о, х) < а при йхй < б. Рассмотрим любое нетривиальное решение х = х(1) с начальным условием ((хй < б и предположим, что существует 1 = 1г, для которого Ох)) = е. Изучим поведение функции У(1,х(1)) вдоль решения 8.7. Движение вблизи равновесия 569 х(1). В силу условия теоремы г' < О. Поэтому функция $~(1,х(1)) невозрастающая и о > У(1е, хо) > И(1ы х(1,)) > Иг(х(11)) > о, что невозможно. О Замечание 8.6.1. Функция г'(1,х), удовлетворяющая условию теоремы 8.6.1,называется функцией Лянуноеа. 8 8.7.

Характеристики

Список файлов книги