1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 91
Текст из файла (страница 91)
в=! »=! Если исходные силы Е„были функциями координат точек системы или их скоростей, то при вычислении обобщенных сил следует выразить этн функции через обобщенные координаты и их производные. 3. Вычислить кинетическую энергию Т системы как функцию лагранжевых координат дв обобщенных скоростей д!, времени 1. Чтобы найти Т, полезно использовать теоремы кинематики о структуре поля скоростей, а также теоремы Кенига. Удобно бывает вычислить 8.1. Уравнения Лагранжа второго рода 541 сначала кинетическую энергию в декартовых координатах, а затем перейти от декартовых координат и скоростей к лагранжевым координатам и обобщенным скоростям. 4. Выполнить указанное в уравнениях Лагранжа частное и полное дифференцирование.
При этом дифференцирование по обобщенным скоростям и лагранжевым координатам производится так, как будто они независимые переменные. Указанная последовательность операций позволяет для любой системы координат, действуя стандартным образом, выписать уравнения движения. Специфика левых частей этих уравнений вполне определяется видом кинетической энергии для той или иной механической системы. Теорема 8.1.1.
йинетическая энергия Т системы материальных точек есть сумма Т=Т +Т +Т, где 1,~" Тх — — — 7 а;, деву 2 .'-.' б1 гц — однородная квадратичная форма обобщенных скоростей, и Т, ='1 Ьуе — однородная линейная форма обобщенных скоростей, То от скоро- стей не зависит. Доказательство. Кинетическая энергия вычисляется по формуле (см. определение 5.1.1) .ч Т = — е т„ч„. е=1 Выражая радиусы-векторы точек системы через лагранжевы коор- динаты,получим дг„, дг„ Подставим эти выражения в формулу для кинетической энергии: — "о; +2 — ".
~ — "ее+ Глава 8. Динамика голономных систем 542 Теперь примем Т! = ~~ ~~! т„— — дь 1 ч дг„дг„ Тв — ~ тг 2~, "й В' Следствие 8.1.1. Коэффициенты однородных форм разлоэесеиия кинетической энергии имеют вид дг„дх„ " дд! дду Следствие 8.1.2. Для схлерономной механической системы связи ие зависят явно от времени: дг /д! = О, и = 1,..., У, и кинетическая энергия есть квадратичная форма оБобщенных скоростей: Т=Тг. Теорема 8.1.2. Форма Тх кинетической энергии полоэкительно определена.
Доказательство. По определению 1~ Тг = — з аеудедг. 2 ей=! Рассмотрим квадратичную дифференциальную форму 1 " 1 " 6 дг„дг„1 Ф(бд!,..., бд„) = — ~~! аеубд;бду = — ~~! ~ т„—" —" бд;бд = — ) т„~~ —" бд; ~~! —" бд! = — ~ ~т„~~ —" бд; з! Тг = — ~~~ т„ 2 г=! а! дг„ дг„ "дд! Й 8.1. Уравнения Лагранжа второго рода 543 где бдь бдд — дифференциалы лагранжевых координат при фиксированном времени. Массы точек системы строго положительны.
Поэтому значения формы Ф неотрицательны. Докажем, что форма Ф невырождена. Рассмотрим матрицу дг1 дгз дги ч/т1 —, ч/тз —, дд1' дд1' ''' дд1 дг1 дгз дгзе —,/тз —, ... ч/тив ддг' ддг' '' ддг дг1 дгг дгн ~/т1 —, ч/тз —, ... ч/тив дд» ' дд» * дд» С ее помощью матрицу формы Ф можно представить в виде (ад) = 11 Таким образом матрица (вез) есть матрица Грима для строк матрицы з.
Если связи, наложенные на систему материальных точек, независимы, то 1 имеет максимально возможный ранг, равный и, и, следовательно, ее строки линейно независимы. Поэтому с)еЦад ) Ф О.П Замечание 8.1.1. В отдельных изолированных точках пространства обобщенных координат матрица (ад) может вырождаться. Это — особые точки. Поведение механической системы в их окрестности нуждается в специальном исследовании. Следствие 8.1.3.
Систему уравнений Лагранзюа молсно, за исключением тех случаев, когда координаты принимают значения, соответствующие особым точкам, разрешить относительно вторых производных от обобщенных координат. Доказательство. Пользуясь равенством Т = Тз+Т1 +То, найдем дТ вЂ” ч = Еадду+'* дд» После выполнения в уравнениях Лагранжа операции дифференциро- вания по времени получим ( " даеу, дад~) " дЬ;, дй; дТ 4, ",~„,дд, дд ~ ',,дд, д дд, Глава В. Динамика голономных систем 544 Относительно вторых производных ог имеем систему линейных уравнений с невырожденной матрицей (ан),П Замечание 8.1.2.
Уравнения Лагранжа второго рода могут быть справедливыми не только для голономных систем. Например, уравнения Чаплыгина имеют форму уравнений Лагранжа, в которых реакции, введенные в соответствии с принципом освобождения от неголономных связей, оказываются гироскопическими и имеют специальную форму. Однако техника получения уравнений Чаплыгина не поддается лагранжеву формализму и оказывается более сложной (з 7.3). 8 8.2.
Энергетические соотношения Теорема 5.1.8 обусловливает существование интеграла энергии систем с произвольными связями, для которых действительные перемещения принадлежат множеству виртуальных. Для голономных систем интеграл энергии может существовать и тогда, когда действительные перемещения не содержатся среди виртуальных. Чтобы получить этот результат, докажем сначала обобщение теоремы 5.1.6 об изменении кинетической энергии.
Теорема 8.2.1. Для действительного элементарного перемеи1ения (до;, 1 = 1,..., и) голономной механической системы выполнено дифференциальное соотношение и(Т2 То) = Е В с1йг д1. дТ д1 Доказательство. Умножим каждое уравнение Лагранжа — — — — — 1=1...,п на о; и результаты почленно сложим: гп1 Это равенство можно представить в виде 8.2. Энергетические соотношения По теореме Эйлера об однородных функциях 545 дТ . ВТ2 . дТ1 ~, —.
уе = ~, —. 41 +,» —. уг = 2Тг + Т1 дуг' . дуг ' . ду; Поэтому дТ дТ вЂ” (2Тг+Т1) — — + — = » фуь дг дг дМ или И . дТ вЂ” (Т,— Т) =~деуг — —. д1 дг Осталось умножить это соотношение на дг.П Теорема 8.2.2. (Обобщенный интеграл энергии Якбби). Пусть голономные связи, етесняющие систему материальных точек, зависят явно от времени, но кинетическая энергия Т от времени явно не зависит. Пусть, кроме того, активные силь, действующие на систему, обладают силовой фуикцией У, зависящей только от лагранжевых координат. Тогда уравнения Лагранжа допускают первый интеграл Тг — То ю У + и, где й — произвольная постоянная (константа энергии), определяе- мая начальными условиями.
Доказательство. Воспользуемся теоремой 8.2.1 и учтем, что если кинетическая энергия не зависит явно от'времени, то дТ)д1 = О, а если существует силовая функция У, то и ~ фдуг=дП.12 еи1 г Т= — = — (х +ы х ). г г 2 2 35 — 35(П П р и м е р 8.2.1. Пусть невесомая горизонтальная перекладина вращается с постоянной угловой скоростью иг вокруг вертикального стержня (рис.
8.2.1). На перекладине расположена материальная точка массы т, прикрепленная к вертикальному стержню пружиной жесткости с и могущая скользить по горизонтальной перекладине без трения. Найти вид интеграла энергии. Р е ш е н и е. Расстояние от материальной точки до вертикального стержня обозначим х. Кинетическая энергия точки дается формулой Глава 8. Динамика головомных систем 546 Материальная точка гп вынуждена даигаться вдоль прямой, вращающейся с постоянной углоаой скоростью. Реакция связи, перпендикулярная этой прямой, не равна нулю и совершает работу на абсолютном перемещении точки. Механическая энергия системы а этом случае не сохраняется, хотя сила пружины, действующая на точку, потенциальна. Вместе с тем имеет место обобщенный интеграл энергии Якоби.
Рис. 8.2.1. Связь, зависящая от времени Сила потенциальна с силовой функцией У = — — (х — ха), г 2 где ха — длина пружины а недеформироаанном состоянии. Однако сумма кинетической и потенциальной энергий Н = Т+ П = — (х~+ мах~) + — (х — х ) 2 2 не может служить интегралом уравнений движения, так как связи зааисят явно от времени, и реакция связи совершает работу на дейстаительном перемещении точки.
Вместе с тем кинетическая энергия от времени явно не зависит. Поэтому справедлив обобщенный интеграл энергии Якоби — (х — ы х )+ -(х — ха) = и, з г г 2 2 где Ь вЂ” постоянная интегрироаания.О Следствие 8.2.1. (Об изменении полной энергии). Пусть 'ге' = Т+ П вЂ” полная энергия системы, П = -У вЂ” потенциальная энергия части сил. Тогда дН т,~", д дт — = 7 фее+ — (Т1 + 2То) — —.
Й' Теорема 8.2.3. (Критерий гироскопических сил). Силы, дейетаующие на систему материальных точек, будут гироскопическими тогда и только гпогда, когда 8.2. Энергетические соотношения длл любых значений обобщенных скоростей д!. 547 Доказательство. Необходимость. В соответствии с определением 7.2.1 гироскопическими называются силы, для которых Ю! = ~7!!9, 711 = — 7В, 1,3 = 1,..., ».
Непосредственной подстановкой легко убедиться в том, что для них доказываемый критерий выполнен, Достаточность. Пусть силы таковы, что справедливо указанное в условии теоремы тождество. Продифференпируем его частным образом по о1; Š—,.' 71+в -=8 дф . тю1 дй! Обозначив 7; = дф /дд1, убеждаемся в том, что рассматриваемые си- лы удовлетворяют определению 7.2.1. Для них должно выполняться тождество 71!о!5 = У (711+ 7!1) Ч!ю!' — = О Е д! ю1 !Сею! Р, = — 2пз„(ео х ч,„), где ео — угловая скорость репера, ч„, — относительная скорость и-й точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
