1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Тележка может катиться вдоль прямой при одинаковых угловых скоростях колес относительно корпуса и поворачивать, когда относительные угловые скорости колес различны. Поступательно смещаться вдоль оси колес тележка не может. ег Рис. 7.3.1. Тележка Чаплыгина Найдем уравнения дифференциальных связей. Из-за абсолютного трения колеса не могут проскальзывать относительно опорнои плоскости в точке контакта с ней.
Скорость каждого колеса в точке контакта выразим по теореме 2.12.1 Зйлера как сумму скорости точки Р, составляющей скорости в точке контакта из-за поворота тележки по углу д и составляющей из-за поворота колеса вокруг своей оси. Для правого колеса получим ясовд+ узшд+ ад+ Яун = О. Для левого колеса будем иметь ф сов д + у вш д — ад + Яраг = О. Кроме того, колеса не должны иметь бокового проскальзывания. Сле- довательно, скорость точки Р должна быть направлена вдоль оси Е: из1пд — усозд = О. После преобразований систему дифференциальных связей можем пред- ставить в виде з = — (а соз д)д — (й сов д)~ры у = (ав1пд)д — (Из1п д)1Рг, 2а рг = — д+Ф В Система связей имеет лишь две независимые скорости д и угы а ее коэффициенты зависят только от координаты д. Кинетическую энергию Т тележки найдем как сумму кинетической энергии Тв кузова, кинетических энергий Т1 правого и Тг левого колеса.
534 Глава 7. Уравнения движения в лагранжевых координатак Тележка Чаплыгина имеет два одина- 7.3. Системы Чаплыгина 535 Для расчета кинетической энергии воспользуемся теоремой 5.2.2 Кенига. Вычислим скоростьч, центра масс кузова. Относительно точки Р кузов вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью д. По теореме Эйлера ч, = чр + дев х ( — 1ет) = (х+ д(в(пд)ет+ (у — д1совд)ея так как е', = ет созд+ езяпд.
Отсюда ч~ = хз + уз + 2д1(х згп д — у соз д) + дз1з, Кузов около центра масс вращается с угловой скоростью ьт = дез. По теореме Кенига Т = — (х~ + ут + 2д!(х яп д — у соз д) + х~здт), 2 где тпе — масса кузова, хез = А, + тиаР, так что йе — радиус инерции кузова относительно оси, параллельной ез и проходящей через точку Р, А, — центральный момент инерции, соответствующий направлению ез (теорема 1.10.2 Гюйгенса-Штейнера). Скорость ч,т центра масс правого колеса выражается формулой ч,т = чр+ дает — — (х+ дасозд) ет + (у+ даян д)ез. Колесо около своего центра вращается с угловой скоростью д вокруг диаметра, параллельного ез, и с угловой скоростью фт вокруг своей оси крепления.
Для колеса зти направления суть главные и центральные (пример 1.14,7). Обозначим А момент инерции относительно диаметра, С вЂ” момент инерции относительно оси колеса. Тогда Тт= ' + = — (х +у +2да(х саед+уз(пд)+азд~)+ гптч', Ад'+Су'зт тп, 2 2 2 +-(Ад + Сутт). 2 Аналогично для левого колеса Тз = — 1хз+ у — 2да(х сов д+ узгп д) + а~да( + -(Ад~+ Сут~~), 2 2 где гпт — масса каждого колеса. Кинетическая энергия системы в целом равна Т = — (х + у )+птвд1(хвтпд — усозд)+ — д + — (у +1т ), тп '1'3 С 2 3 2 2 2 т з 536 Глава у.
уравнения движения в лагранжевых координатах где гп = гпв + 2пт1 — масса всей системы, д = гпвбаэ + 2пт1ат + 2А — момент инерции всей тележки вокруг вертикальной оси, проходящей через точку В. Найдем выражения для обобщенных сил, Виртуальное перемещение точки В, к которой приложена единственная сила х', определено формулой Д 2АО): бгв = бгв + бд ез х ( — Ь е', ) = (бх + Ь бд в1п д) е1 + (бу — Ь бд сов д) ет. Пусть х' = Г~е1+ Гтет.
Работа силы Г на перемещении бгн дается равенством Ь' бгв = Г бх + Етбу + 6(Г зш д — Гт соз д)бд. Отсюда получаем обобщенные силы Яе = Г„Щ = Ге, Яе = 6(Г,з)пд — Гтсозд). Когда сила Е' зависит только от угла д ориентации тележки: Г. = Г.(д), Р„= Рэ(д), мы будем иметь дело с системой Чаплыгина, так как ни коэффициенты связей, ни выражение для кинетической энергии и обобщенных сил не будут содержать координат х, у, Рт. Для того чтобы получить уравнения Чаплыгина, найдем функцию Т'. После исключения зависимых скоростей с помощью уравнений связей будем иметь ° г1 Т' = — (ад + Вф1) + — д + — ф1 + ( — д+ ф1) ~ . г 1'з С~ г гг2а 2 2 2 ~ 1Гс Видим, что Т' не зависит явно от координат, Поэтому уравнения Ча- плыгина запишутся в виде И /ВТ' '1,, д /ВТ' '~ д1 1.дд) ) + 7е1А = Яе — 1 —.) — 7е1д = 91 Й дф, Для расчета 7е1 представим дифференциальные связи следующим обра- зом: х = Ьеед+Ь 1ан, у= Ьтед+Ьэ,у„1ст = Ьтед+Ьщу» где бее — — — а з1п д, бэ1 — — — Яз)п д, бее = — а соз д, Ь,1 = -В соз д, 2а Ь = —, Ь Я' 537 Контрольные вопросы к главе 7 По определению 7.2.1 коэффициентов гироскопических сил, выражаю- щих влияние дифференциальных связей, получим дТ д6,т дТ дбут тгдТ, дТ уо т = —.
— + —. — = Я ( —, в1п д — —, сов д да дд ду дд (т да ду поскольку 6го, 6гт — постоянные, а 6 о и 6уо не зависят от 1оь Далее — = та+ тпо!двтпд = то ~~ !в1пд — а — сов д) д — — И16т сов д дй ) дт . !' !" т, 1 т — = ту — то!д сов д = тпо ~ — ~!совд — а — в1пд) д — — 77уттьбпд . др тпо то Позтому уот = тпоИд. Вычислим теперь обобщенные силы: !уо = Яе+ !у 6 е+!уу6уо = (6гу — аГу)в)пд — (аГ, +6Гу)сов д, !т!т = !7х6ет + Яубут = 76(рк сов д + Ру в!и д).
Учитывая все полученные соотношения, выписываем уравнения Чаплы- гина: аг~ „ ат та + 7 + 4С вЂ” ~ д + ( тпаК+ 2С вЂ” ) отт + тоН!дутт — — Яо, 77г 77) (тпаЯ+ 2С вЂ” ) д+ (тпйг+2С)утт — тпоИдг = О;. 7! Это — замкнутая система из двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, которая может быть исследована независимо от системы уравнений дифференциальных связей.О Контрольные вопросы к главе Т 7.1. Пусть дифференциальные связи представлены в виде дре„= 1гр+„(1,4ы...,т!о,т)т,...,ур), р= и — т,и =1,...,тп, где ды, ..,д„— обобщенные координаты системы. Доказать, что тогда множество виртуальных перемещений определено равенствами д дду 538 Глава 7. Уравнения движения в лаграпжевых координатах 7.2. Показать, что если величины ф теоремы 7.2.1 не зависят от ускорений, то система связей линейна по скоростям. 7.3.
Допускают ли уравнения теоремы 7.2.1 интеграл энергии, если действительные перемещения принадлежат множеству виртуальных, а активные силы потенциальны. 7.4. Показать, что если дифференциальные, линейные по скоростям связи однородны, то ~ ';, фи; = О, где величины ф определены теоремой 7.2.1 (см. следствие 7.2.1). 7.5. Как будут выглядеть уравнения движения тележки Чаплыгина в примере 7.3.2, если колеса считать не имеющими массы? 7.6. В примере 7.3.2, приняв е = О, указать стационарные движения тележки Чаплыгина.
Глава 8 Динамика голономных систем В этой главе будут рассмотрены системы материальных точек со связями, имеющими геометрическую природу и выражаюшимися конечными зависимостями от радиусов-векторов точек системы. Такие связи допускают введение лагранжевых координат дм, .., д„, где и— число степеней свободы системы (определение 4.7.1).
Любое совместимое со связями положение всех точек системы однозначно определяется заданием момента времени 1 и значениями лагранжевых координат: г„ = г„(ды ...,д„,1), и = 1,...,7д. Здесь г„— радиусы-векторы точек системы, Х вЂ” число ее точек. На координаты дм..., д„и их обобщенные скорости дм..., д„не накладывается никаких кинематических условий. Действительные элементарные перемешения точек системы задаются равенствами дг„дг„ дг„=~~ — "Нд,+ — "й, и=1,...,У ,дд, ' й или дг„, дг„ .,дд; ' д1' Виртуальные перемещения выражаются формулами ~-~ дги ~ дв где бд; — дифференциалы независимых переменных дь й 8.1.
Уравнения Лагранжа второго рода Получить уравнения движения голономной системы с идеальными связями можно, воспользовавшись теоремой 7.1.1 о форме принципа Даламбера-Лагранжа в лагранжевых координатах. Основное Глава 8. Динамика голономных систем 540 тождество этого принципа имеет вид Поскольку для голономной системы дифференциалы бд! произвольны и независимы, а основное тождество должно выполняться при любых значениях бщ, то закон 4!(!), ! = 1,..., и, будет соответствовать действительному движению тогда и только тогда, когда он удовлетворяет системе обыкновенных дифференциальных уравнений которая называется системой уравнений Лагранжа второго роде. Эти уравнения удобны для использования, так как экономно описывают движение, определяя зависимость лишь лагранжевых координат от времени. Они не содержат неизвестных реакций идеальных связей, а правила составления этих уравнений стандартны и не зависят от специфики изучаемой голономной системы.
Лагранжев формализм — это последовательность стандартных операций, которые необходимо выполнить, чтобы получить уравнения Лагранжа второго рода. Вот эти операции. 1. Выбрать минимальный набор независимых координат д!, ..,, й„, с помощью которых желательно записать уравнения движения. 2. Найти обобщенные силы дг„ Ф=х~~ е» рн д Их можно получить как коэффициенты при дифференциалах обобщенных координат в выражении для элементарной работы всех сил, действующих на систему, на виртуальных перемещениях точек их приложения: еА = ~ ~в „. бг„= ) Я; бд!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
